以下の問に答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}+1}$を変形すると，$\displaystyle \frac{\sqrt{6}+[ア] \sqrt{3}-[イ] \sqrt{2}-[ウ]}{4}$となる．
(2)$2$次方程式$x^2+3x+4=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha^3,\ \beta^3$を$2$つの解とする$2$次方程式を求めると，$x^2-[エ]x+[オカ]=0$となる．
(3)$x>8$のとき$\displaystyle \frac{4x^2-4x-223}{2x-16}$の最小値は，$[キク]$である．

さいころを$3$回投げて$1$回目の数を$a$，$2$回目の数を$b$，$3$回目の数を$c$とおく．このとき，次の問に答えなさい．

(1)$a+b+c=6$となる確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イウエ]}$である．

(2)$abc \geqq 125$となる確率は$\displaystyle \frac{[オカ]}{[キクケ]}$である．

(3)$\displaystyle \frac{b}{a}$の期待値は$\displaystyle \frac{[コサシ]}{[スセソ]}$である．

(4)$\displaystyle \frac{bc}{a}$が整数となる確率は$\displaystyle \frac{[タチ]}{[ツテ]}$である．

次の各設問に答えよ．

(1)$a,\ b$が有理数である$x^2+ax+b=0$の一つの解が$2+\sqrt{3}$であるとき方程式
\[ ax^2-7x+2b=0 \]
の解は$\displaystyle x=[アイ],\ \frac{[ウ]}{[エ]}$である．
(2)$x$を実数とすると$\displaystyle x^2+\frac{100}{x^2+1}$の最小値は$[オカ]$であり，そのときの$x$の値は$[キク],\ [ケ]$である．
(3)$\mathrm{RISUKU}$の$6$文字をバラバラにして一列に並べるとき，$\mathrm{KUSURI}$という文字になる確率は$\displaystyle \frac{[コ]}{[サシス]}$である．
(4)$\displaystyle \int_{-3}^3 (x+1) |x-2| \, dx$の値は$\displaystyle \frac{[セソ]}{[タ]}$である．

正$12$角形の異なる$3$つの頂点を結んで三角形を作る．

(1)三角形は全部で$[アイウ]$個できる．

(2)正三角形となる確率は$\displaystyle \frac{[エ]}{[オカ]}$である．

(3)直角三角形となる確率は$\displaystyle \frac{[キ]}{[クケ]}$である．

(4)二等辺三角形となる確率は$\displaystyle \frac{[コサ]}{[シス]}$である．

次の各問に答えよ．

(1)数列$\{a_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が$\displaystyle a_1=\frac{1}{2}$，$\displaystyle a_{n+1}=\frac{3a_n}{2n \cdot a_n+3} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められている．$\displaystyle b_n=\frac{1}{a_n} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおくと，$b_1=[ア]$，$\displaystyle b_{n+1}-b_n=\frac{[イ]}{[ウ]}n$が成り立つ．$\displaystyle a_{10}=\frac{[エ]}{[オカ]}$であり，$\displaystyle a_n<\frac{1}{50}$をみたす最小の$n$は$[キク]$である．
(2)平行四辺形$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$とし，線分$\mathrm{CD}$を$3:4$に内分する点を$\mathrm{E}$とするとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[ケ]}{[コ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}},\quad \overrightarrow{\mathrm{OE}}=\frac{[サ]}{[シ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[ス]}{[セ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
である．直線$\mathrm{OE}$と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{F}$とするとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OF}}=\frac{[ソ]}{[タ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
であり，三角形$\mathrm{CEF}$の面積は平行四辺形$\mathrm{OABC}$の面積の$\displaystyle \frac{[チ]}{[ツテ]}$倍である．

次の$[　]$に適当な数，式を入れよ．ただし，$*$については，$+,\ -$の$1$つが入る．

(1)$2$次方程式$x^2-4x+2=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta (\alpha>\beta)$とすると，
\[ \alpha^2+\beta^2=[アイ],\quad \alpha^2-\beta^2=[ウ] \sqrt{[エ]},\quad \alpha^3+\beta^3=[オカ] \]
である．
(2)$\displaystyle \left( \frac{5}{2} \right)^{100}$の整数部分の桁数は$[キク]$である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とせよ．
(3)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．$\displaystyle S_n=\frac{3}{2}n^2-\frac{5}{2}n$であるとき，$a_n=[$*$ケ]n+[$*$コ]$である．
(4)$1$枚の硬貨を$5$回投げるとき，表が$3$回出る確率は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シス]}$であり，$3$度目の表が$5$回目の試行で出る確率は$\displaystyle \frac{[セ]}{[ソタ]}$である．

次の$[　]$を埋めよ．

(1)座標平面上の放物線$C:y=a(x-b)^2$（$a,\ b$は正の定数）が点$\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{4}{5},\ \frac{3}{5} \right)$を通り，点$\mathrm{A}$における$C$の法線が原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を通るとき，$\displaystyle a=\frac{[アイ]}{[ウエ]}$，$\displaystyle b=\frac{[オカ]}{[キク]}$である．
(2)不等式
\[ \log (n+9)-\log (n+8)<\frac{1}{100} \]
をみたす最小の正の整数$n$の値は$n=[ケコ]$である．ただし，対数は自然対数とする．

次の問いに答えよ．

(1)$x$についての$2$次式$P(x)$を$x+1$で割ると，商が$x-a$であり，余りが$b$であるとする．ただし，$b$は$0$ではないとする．

(i) $2$次方程式$P(x)=0$が異なる$2$つの実数解をもつための必要十分条件は，
$(a+[ア])^2>[イ]b$である．
(ii) $P(a)=P(-a)$を満たす$a$の値は$2$つあり，小さい順に，$[ウ]$，$[エ]$である．
(iii) $P(a+b)=P(a-b)$を満たすとき，$a=[オカ]$である．

(2)袋の中に赤玉$3$個，白玉$4$個が入っている．この袋から玉を$1$個取り出し，それを戻すと同時に，その玉と同じ色の玉を$1$個加える．このような操作を$3$回繰り返す．操作が終わったときに，袋の中の赤玉と白玉が同数になっている確率は，$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]}$であり，白玉が赤玉より$2$個多くなっている確率は，$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コサ]}$である．

次の問いに答えよ．

(1)$x$についての$2$次式$P(x)$を$x+1$で割ると，商が$x-a$であり，余りが$b$であるとする．ただし，$b$は$0$ではないとする．

(i) $2$次方程式$P(x)=0$が異なる$2$つの実数解をもつための必要十分条件は，
$(a+[ア])^2>[イ]b$である．
(ii) $P(a)=P(-a)$を満たす$a$の値は$2$つあり，小さい順に，$[ウ]$，$[エ]$である．
(iii) $P(a+b)=P(a-b)$を満たすとき，$a=[オカ]$である．

(2)袋の中に赤玉$3$個，白玉$4$個が入っている．この袋から玉を$1$個取り出し，それを戻すと同時に，その玉と同じ色の玉を$1$個加える．このような操作を$3$回繰り返す．操作が終わったときに，袋の中の赤玉と白玉が同数になっている確率は，$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]}$であり，白玉が赤玉より$2$個多くなっている確率は，$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コサ]}$である．

$n$を$2$以上$9$以下の自然数とする．$1$から$n$までの数字が書いてある$n$枚のカードを入れた袋から，カードを順に$2$枚引いて，引いた順に右から並べて$2$桁の数を作り，それらのカードを袋に戻す試行を考える．次の各問いに答えよ．

(1)$n=9$のとき，この試行によって得られた$2$桁の数が$3$の倍数である確率は$\displaystyle\frac{[ア]}{[イ]}$である．
(2)この試行を$2$回繰り返すとき，$1$回目の数が$2$回目の数以上となる確率を$P(n)$とする．このとき，$P(5)=\displaystyle\frac{[ウエ]}{[オカ]}$である．また，$P(n) \geq \displaystyle\frac{7}{13}$となる最大の$n$の値は[キ]である．