次の各設問に答えよ．

(1)連立方程式

$\log_5 |x-7|+\log_5(20-y)=2$
$\log_{\frac{1}{3}}(5x+y-32)=-1$

を満たす実数$x,\ y$は，$x=[ア]$，$y=[イウ]$である．
(2)数列$\{a_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の初項から第$n$項までの和が$37n^2+15n$のとき一般項は
\[ a_n=[エオ](n-1)+[カキ] \]
であり，$a_n$が$2000$より大きくなるのは第$[クケ]$項からである．

$2$点$\mathrm{A}(2,\ 6)$，$\mathrm{B}(6,\ 2)$を結ぶ直線$\mathrm{AB}$の中点$\mathrm{P}$と原点$\mathrm{O}$を通る直線$\mathrm{OP}$がある．

(1)点$\mathrm{P}$の座標は$([ア],\ [イ])$であり，直線$\mathrm{OP}$の傾きは$[ウ]$である．
(2)$x$の$2$次関数のグラフで定める$2$つの放物線$C_1$と$C_2$が，点$\mathrm{P}$で共通接線$\mathrm{OP}$をもち，さらに$C_1$は点$\mathrm{A}$，$C_2$は点$\mathrm{B}$を通るとすると

$C_1$は$y=x^2+[エオ]x+[カキ]$
$C_2$は$y=[ク]x^2+[ケ]x+[コサシ]$

となる．

次の各問に答えよ．

(1)関数$f(x)=8 \cos 2x+9 \tan^2 x$は，$\displaystyle f(x)=[アイ] \cos^2 x+\frac{[ウ]}{\cos^2 x}-[エオ]$と変形できる．$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$において，$f(x)$は$\displaystyle x=\frac{[カ]}{[キ]} \pi$のとき最小値$[ク]$をとる．
(2)$x$の不等式$\log_a(x+1)^2>\log_a \{9(x+5)\}$の解は，$a>1$のとき，$[ケコ]<x<[サシ]$，$[スセ]<x$であり，$0<a<1$のときは，$[サシ]<x<[ソタ]$，$[ソタ]<x<[スセ]$である．

座標平面上の楕円$\displaystyle C:\frac{(x-a)^2}{b}+\frac{(y-c)^2}{2}=1$（$a,\ b,\ c$は正の定数）は$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(4,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2)$を通るとする．

(1)定数$a,\ b,\ c$は$a=[ア]$，$b=[イ]$，$c=[ウ]$である．
(2)点$\mathrm{P}$が楕円$C$上を動くとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AP}}$の最大値を$M$とすれば$\displaystyle M=\frac{[エオ]}{[カ]}$である．

曲線$C:y=x^3-tx$上の点$\mathrm{P}(a,\ a^3-ta) (a<0)$における接線$\ell$が$C$と交わる点を$\mathrm{Q}$とする．

(1)点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$a$を用いて表すと$x=[アイ]a$である．
(2)点$\mathrm{Q}$における$C$の接線が直線$\mathrm{PQ}$と直交するとき$([ウ]a^2-t)([エオ]a^2-t)=-1$である．
(3)$(2)$を満たす$a$の値がただ$1$つ決まるとき，$\displaystyle t=\frac{[カ]}{[キ]}$である．

$n$を$2$以上の整数とする．

(1)平面上の平行な$2$直線上に，相異なる点がそれぞれ$n$個ずつある．これらの$2n$個の点から$3$点を選ぶ．

(i) $n=5$のとき，この選び方は全部で$[アイウ]$通りあり，選んだ$3$点が$1$直線上にあるような選び方は$[エオ]$通りある．
(ii) 選んだ$3$点が三角形をつくるような選び方は$\displaystyle \left( [カ]-[キ] \right)$通りある．
ただし，$[カ]$，$[キ]$については，以下の$①$～$\marukyu$からそれぞれ$1$つを選べ．ここで，同じものを何回選んでもよい．
\[ \begin{array}{lllllllll}
① n & & ② 2n & & ③ 3n & & ④ n^2 & & ⑤ 2n^2 \\
⑥ 3n^2 & & ④chi n^3 & & \maruhachi 2n^3 & & \marukyu 3n^3 & &
\end{array} \]

(2)$\mathrm{O}$を中心とする円の円周を等分する$2n$個の点がある．これらの$2n$個の点と点$\mathrm{O}$から$3$点を選ぶ．

(i) $n=3$のとき，選んだ$3$点が三角形をつくるような選び方は$[クケ]$通りある．

(ii) 選んだ$3$点が三角形をつくるような選び方は$\displaystyle \frac{n \left( [コ] n^{[サ]}-[シ] \right)}{[ス]}$通りある．
(iii) $n=12$のとき，選んだ$3$点が正三角形をつくるような選び方は$[セソ]$通りある．

座標平面上において，原点$\mathrm{O}$と点$(6,\ 0)$からの距離の和が$10$である楕円を考える．

(1)この楕円の方程式は$\displaystyle \frac{(x-[ア])^2}{[イウ]}+\frac{y^2}{[エオ]}=1$である．

(2)この楕円と$x$軸，$y$軸との$4$個の交点を頂点とする四角形の面積は$[カキ]$である．

次の各設問に答えよ．

(1)放物線$y=ax^2+bx-11$が頂点$(2,\ -3)$をもつとすると，$a=[アイ]$，$b=[ウ]$である．
(2)$\displaystyle \frac{1}{x(x+1)}+\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\frac{1}{(x+2)(x+3)}=\frac{1}{18}$を満たす$x$の値は$[エオ]$，$[カ]$である．
(3)$\log_{\frac{1}{3}} \sqrt{27}+\log_{27}9 \sqrt{3}$を計算すると，$\displaystyle \frac{[キク]}{[ケ]}$である．
(4)$\displaystyle \int_{-3}^1 |(x+1)(x-3)| \, dx$の値は$[コサ]$である．

関数$f(x)=x^3-2x^2$に対して，曲線$C$を$y=f(x)$で定義する．

(1)$C$上の点$(t,\ f(t))$における接線の方程式は
\[ y=([ア]t^2-[イ]t)(x-t)+t^3-[ウ]t^2 \]
である．
(2)$C$上の点$(a_n,\ f(a_n))$における接線が$C$上の他の点$(a_{n+1},\ f(a_{n+1}))$で交わるとすると
\[ a_{n+1}=[エオ]a_n+[カ] \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
が成り立つ．この式を$a_{n+1}-p=q(a_n-p)$とおくと，定数$p,\ q$の値は
\[ p=\frac{[キ]}{[ク]},\quad q=[ケコ] \]
となる．
(3)$a_1=3$のとき，$(2)$の結果より
\[ a_n=\frac{[サ]}{[シ]}+\frac{[ス]}{[セ]}([ソタ])^{n-1} \]
が得られる．

次の問題は，生命科学部生命機能学科植物医科学専修を志望する受験生のみ解答せよ．
$t$を正の定数とする．曲線$y=x^3-x$を$C$，$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ t^3-t)$における接線を$\ell$とする．$\ell$の方程式は
\[ y=\left( [ア] t^2-[イ] \right) x-[ウ] t^3 \]
である．
$C$と$\ell$の，$\mathrm{P}$以外の共有点を$\mathrm{Q}$とすると，$\mathrm{Q}$の$x$座標は$[エオ] t$である．
$\mathrm{Q}$における$C$の接線を$m$とすると，$m$の方程式は
\[ y=\left( [カキ] t^2-[イ] \right)x+[クケ] t^3 \]
である．
$C$と$m$の，$\mathrm{Q}$以外の共有点を$\mathrm{R}$とすると，$\mathrm{R}$の$x$座標は$[コ] t$であり，
\[ \overrightarrow{\mathrm{QP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{QR}}=18 \left( [サシ] t^6-[スセ] t^4+[ソ] t^2 \right) \]
となる．ここで，
\[ f(t)=\frac{\overrightarrow{\mathrm{QP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{QR}}}{18t^6} \]
とおくと，$\displaystyle t=\frac{[タ] \sqrt{[チツ]}}{[チツ]}$のとき，$f(t)$は最小値$\displaystyle \frac{[テト]}{[ナ]}$をとる．