$n$を$2$以上$9$以下の自然数とする．$1$から$n$までの数字が書いてある$n$枚のカードを入れた袋から，カードを順に$2$枚引いて，引いた順に右から並べて$2$桁の数を作り，それらのカードを袋に戻す試行を考える．次の各問いに答えよ．

(1)$n=9$のとき，この試行によって得られた$2$桁の数が$3$の倍数である確率は$\displaystyle\frac{[ア]}{[イ]}$である．
(2)この試行を$2$回繰り返すとき，$1$回目の数が$2$回目の数以上となる確率を$P(n)$とする．このとき，$P(5)=\displaystyle\frac{[ウエ]}{[オカ]}$である．また，$P(n) \geq \displaystyle\frac{7}{13}$となる最大の$n$の値は[キ]である．

半径$R$の円に，四角形$\mathrm{ABCD}$が内接している．$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\sqrt{19}$，$\mathrm{AD}=2$，$\mathrm{CD}=3$のとき，$\mathrm{AC}=\sqrt{[アイ]}$，$\displaystyle R=\frac{\sqrt{[ウエ]}}{[オ]}$，$\mathrm{BD}=[カ]$である．

$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=3$，$\mathrm{AC}=2$である$\triangle \mathrm{ABC}$について，次の問に答えよ．

(1)次の問に答えよ．

(i) $\theta=\angle \mathrm{ACB}$とするとき，$\displaystyle \cos \theta=-\frac{[ア]}{[イ]}$である．
(ii) $\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ウエ]}}{[オ]}$である．

(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円と辺$\mathrm{AB}$との接点を$\mathrm{P}$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$を$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{CA}}$および$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{CB}}$を用いて表すと，
\[ \overrightarrow{\mathrm{CP}}=\frac{[カ]}{[キ]} \overrightarrow{a}+\frac{[ク]}{[ケ]} \overrightarrow{b} \]
である．

関数$y=1-x^2$，$y=4+3x-x^2$を考える．このとき，次の問に答えなさい．

(1)不等式$0 \leqq y \leqq 1-x^2$で表される領域の面積は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ]}$である．また，不等式
\[ y \geqq 1-x^2,\quad y \leqq 4+3x-x^2,\quad y \geqq 0 \]
で表される領域の面積は$\displaystyle \frac{[ウエ]}{[オ]}$である．
(2)曲線$y=1-x^2$上の点$\mathrm{P}(k,\ 1-k^2)$における接線を$\ell$とおく．このとき接線$\ell$が曲線$y=4+3x-x^2$と異なる$2$点で交わるような$k$の値の範囲は$\displaystyle \frac{[カキ]}{[ク]}<k$である．また，このとき交点の$x$座標の値を$\alpha$，$\beta$とおくと
\[ \alpha+\beta=[ケ]+[コ]k,\quad \alpha\beta=[サシ]+k^{[ス]} \]
である．
(3)接線$\ell$と曲線$y=4+3x-x^2$で囲まれる領域の面積が$\displaystyle \frac{125}{6}$となる$k$の値は$\displaystyle \frac{[セ]}{[ソ]}$である．

点$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{A}_3$，$\mathrm{A}_4$，$\mathrm{A}_5$と点$\mathrm{B}_1$，$\mathrm{B}_2$，$\mathrm{B}_3$，$\mathrm{B}_4$，$\mathrm{B}_5$が次のように並んでいる．
\[ \begin{array}{ccccc}
\mathrm{A}_1 & \mathrm{A}_2 & \mathrm{A}_3 & \mathrm{A}_4 & \mathrm{A}_5 \\
\bullet & \bullet & \bullet & \bullet & \bullet \\ \\
\bullet & \bullet & \bullet & \bullet & \bullet \\
\mathrm{B}_1 & \mathrm{B}_2 & \mathrm{B}_3 & \mathrm{B}_4 & \mathrm{B}_5
\end{array} \]
各点$\mathrm{A}_i (1 \leqq i \leqq 5)$に対し，それぞれすべて異なる点$\mathrm{B}_j (1 \leqq j \leqq 5)$を$1$つずつ選んで線分で結ぶ．こうしてできた$5$本の線分を次のような集まりに分ける分け方を考える．

(i) 他の線分と交わらない線分はその線分だけで$1$つの集まりとする．
(ii) 他の線分と交わる線分は，その線分と交わる線分，及び，これらのいずれかに交わる線分を繰り返しすべて集めて$1$つの集まりとする．

例えば，次は集まりの個数が$3$個となる分け方である．
（図は省略）
また，次は集まりの個数が$2$個となる分け方である．
（図は省略）
このとき，次の問に答えなさい．

(1)集まりの個数が$5$個となる分け方は全部で$[ア]$通りである．
(2)集まりの個数が$4$個となる分け方は全部で$[イ]$通りである．
(3)集まりの個数が$3$個となる分け方は全部で$[ウエ]$通りである．
(4)集まりの個数が$2$個となる分け方は全部で$[オカ]$通りである．

$a,\ b$を定数とする．$2$次関数$f(x)=x^2+ax+b$に対して，$1$次関数$g(x)$が$f(x)=(x-2)g(x)$を満たしており，$g(2)=3$である．放物線$y=f(x)$上の点$(2,\ f(2))$における接線を$\ell$とする．このとき

(1)定数$a,\ b$の値は$a=[アイ]$，$b=[ウエ]$である．
(2)直線$\ell$の方程式は$y=[オ]x-[カ]$である．
(3)直線$\ell$，直線$y=g(x)$および$x$軸で囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{[キク]}{[ケ]}$である．

(4)放物線$y=f(x)$と直線$y=g(x)$で囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{[コサ]}{[シ]}$である．

次の各問に答えよ．

(1)放物線$C:y=-x^2+4x+5$の頂点を$\mathrm{A}$とし，$C$と$x$軸の正の部分との交点を$\mathrm{B}$とする．このとき，$\mathrm{A}([ア],\ [イ])$であり，$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線$\ell$の方程式は$y=[ウエ]x+[オカ]$である．また，$C$の$0 \leqq x \leqq [ア]$の部分，$y$軸，および$\ell$で囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{[キク]}{[ケ]}$である．
(2)数列$\{a_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を$a_1=-3$，$a_2=1$，
\[ a_{n+2}=-2a_{n+1}-4a_n \cdots\cdots① \]
で定める．このとき，
\[ a_{n+3}=-2a_{n+2}-4a_{n+1} \cdots\cdots② \]
であり，$②$に$①$を代入すると$a_{n+3}=[コ]a_n$となる．$b_n=a_{3n} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおくと，数列$\{b_n\}$は初項$[サシ]$，公比$[ス]$の等比数列であり，$b_n$が初めて$7$桁の数になるのは$n=[セ]$のときである．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．

次の問いに答えよ．

(1)$3x^2+6x-2=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．

(i) $\displaystyle \alpha^2\beta+\alpha\beta^2=\frac{[ア]}{[イ]}$である．

(ii) $\displaystyle (\alpha-\beta)^2=\frac{[ウエ]}{[オ]}$である．

(iii) $\alpha^3+\beta^3=[カキク]$である．

(2)平面上の$3$点$(-1,\ 9)$，$(0,\ 3)$，$(2,\ 3)$を通る放物線の方程式は$y=[ケ]x^2-[コ]x+[サ]$である．
(3)$\displaystyle f(x)=(\log_3 27x)(\log_3 \frac{x}{3})=(\log_3 x)^2+[シ] \log_3 x-[ス]$である．$f(x)$は$\displaystyle x=\frac{[セ]}{[ソ]}$で最小値$[タチ]$をとる．
(4)$7$個の小石を$3$人の子供$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$に配る．このとき，$1$個ももらえない子供はいないとする．また，小石は互いに区別されないものとする．

(i) 小石の配り方は$[ツテ]$通りである．
(ii) 子供$\mathrm{A}$にちょうど$3$個の小石が配られる確率は$\displaystyle \frac{[ト]}{[ナ]}$である．

次の問いに答えよ．

(1)$x=\sqrt{3}+\sqrt{2}$のとき，$\displaystyle x+\frac{1}{x}=[ア] \sqrt{[イ]}$，$\displaystyle x^3+\frac{1}{x^3}=[ウエ] \sqrt{[オ]}$である．
(2)$(2a+1)(2a-1)(a^2-a+4)$の展開式における$a^2$の項の係数は$[カキ]$である．
(3)整式$A=x^2-2xy+3y^2$，$B=2x^2+3y^2$，$C=x^2-2xy$について
\[ 2(A-B)-\{C-(3A-B)\}=[クケ]x^2-[コ]xy+[サ]y^2 \]
である．
(4)方程式$x^2+3kx+k^2+5k=0$が重解をもつような定数$k$の値は$[シ]$，$[ス]$である．ただし，$[シ]<[ス]$とする．また，$k=[ス]$のとき，この方程式の重解は$x=[セソ]$である．
(5)$2$次関数$y=2x^2-2mx-m^2+9$のグラフが$x$軸の正の部分と異なる$2$点で交わるような定数$m$の値の範囲は$\sqrt{[タ]}<m<[チ]$である．
(6)$\displaystyle \tan \theta=-\frac{\sqrt{5}}{2}$のとき，$\displaystyle \sin \theta=\frac{\sqrt{5}}{[ツ]}$，$\displaystyle \cos \theta=\frac{[テト]}{[ナ]}$である．ただし，$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$とする．
(7)数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$を使い$4$桁の整数を作る．このとき，$4$桁の整数は全部で$[アイ]$個あり，このうち$2$の倍数は$[ウエ]$個ある．ただし，同じ数字を重複して使わないこととする．
(8)大小$2$個のさいころを同時に投げ，大きいさいころの出た目を$X$，小さいさいころの出た目を$Y$とする．このとき，$X+Y=8$となる確率は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カキ]}$であり，$2X-Y=4$となる確率は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケコ]}$である．

$\mathrm{O}$を原点とする平面において，$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$を$2$辺とし，$\mathrm{OC}$を対角線とする平行四辺形$\mathrm{OACB}$があり，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくと，それぞれのベクトルの大きさは
\[ |\overrightarrow{a}|=2,\quad |\overrightarrow{b}|=3,\quad |\overrightarrow{c}|=\sqrt{19} \]
である．このとき，

(1)$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=[ア]$であり，$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{[イ]}$である．

(2)ベクトル$\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$が$\overrightarrow{b}$に直交する$t$の値を$t_0$とすると，$\displaystyle t_0=\frac{[ウエ]}{[オ]}$であり，$|\overrightarrow{a}+t_0 \overrightarrow{b}|=\sqrt{[カ]}$である．

(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]} \sqrt{[ケ]}$である．