一般項が，$\displaystyle a_n=\frac{1}{\sqrt{5}} \left\{ \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n-\left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n \right\}$で与えられる数列$\{a_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$がある．

このとき，$\{a_n\}$は自然数からなる数列であることが次のようにして示される．
$\displaystyle \alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2},\ \beta=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$とおくと，$\alpha+\beta=[ア]$，$\alpha\beta=[イウ]$となる．
ここで
$a_1=[エ]$，$a_2=[オ]$ $\cdots\cdots①$
$a_n$を$\alpha,\ \beta$を用いて表すと，$\displaystyle a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}(\alpha^n-\beta^n)$である．
このとき
\[ \begin{array}{rcl}
a_{n+2} &=& \displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}}(\alpha^{n+2}-\beta^{n+2}) \\
\displaystyle\phantom{\frac{[　]}{2}} &=& \displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}} \left\{ \left( \alpha^{n+[カ]}-\beta^{n+[キ]} \right) (\alpha+\beta)-\alpha\beta (\alpha^n-\beta^n) \right\}
\end{array} \]
となり
\[ a_{n+2}=[ク] a_{n+1}+[ケ]a_n \cdots\cdots② \]
が成り立つ．よって$①$，$②$より，$a_3=[コ]$，$a_4=[サ]$，$\cdots$となり，$\{a_n\}$は自然数からなる数列であることが示された．

$[オ]$，$[タ]$，$[チ]$，$[ト]$，$[ナ]$の解答は対応する解答群の中から最も適当なものを$1$つ選べ．

条件$a_1=0$，$a_2=0$と漸化式
\[ a_{n+2}-3a_{n+1}+2a_n=2^n \log_2 \frac{(n+1)^2}{n} \cdots\cdots (*) \]
$(n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められる数列の一般項を，以下の要領で求めてみよう．

(1)漸化式$(*)$より，ベクトル$\overrightarrow{b_n}=\left( \begin{array}{c}
a_{n+1} \\
a_n
\end{array} \right)$に対して
\[ \overrightarrow{b_{n+1}}=A \overrightarrow{b_n}+\left( \begin{array}{c}
2^n \log_2 \displaystyle\frac{(n+1)^2}{n} \\
0
\end{array} \right) \]
が成立する．ただし，行列$A$は$A=\left( \begin{array}{cc}
[ア] & [イウ] \\
[エ] & 0
\end{array} \right)$である．
この式の両辺に，$A$の逆行列$A^{-1}$を左から$n$回かけると
\[ (A^{-1})^n \overrightarrow{b_{n+1}}=(A^{-1})^{n-1} \overrightarrow{b_n}+(A^{-1})^n \left( \begin{array}{c}
\displaystyle 2^n \log_2 \frac{(n+1)^2}{n} \\
0
\end{array} \right) \]
となり，$(A^{-1})^{n-1} \overrightarrow{b_n}$の階差数列がわかる．これより，$2$以上の整数$n$に対し，
\[ (A^{-1})^{n-1} \overrightarrow{b_{n}}=\overrightarrow{b_1}+\sum_{k=1}^{[オ]} (A^{-1})^k \left( \begin{array}{c}
\displaystyle 2^k \log_2 \frac{(k+1)^2}{k} \\
0
\end{array} \right) \cdots\cdots (**) \]
を得る．
(2)$(**)$式の右辺第一項は$\overrightarrow{b_1}=\left( \begin{array}{c}
[カ] \\
[キ]
\end{array} \right)$であり，$\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{2} \left( \begin{array}{cc}
[ク] & [ケ] \\
[コサ] & [シ]
\end{array} \right)$は行列$P=\left( \begin{array}{cc}
2 & 1 \\
1 & 1
\end{array} \right)$を用いて
\[ A^{-1}=P \left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{[ス]}{[セ]} & 0 \\
0 & [ソ]
\end{array} \right) P^{-1} \]
と表されるので，$(**)$式右辺の和の項について，次式が成立する．
\[ \sum_{k=1}^{[オ]} (A^{-1})^k \left( \begin{array}{c}
\displaystyle 2^k \log_2 \frac{(k+1)^2}{k} \\
0
\end{array} \right)=P \left( \begin{array}{c}
\log_2 [タ] \\
-2^n \log_2 [チ]
\end{array} \right) \]
(3)$(2)$の結果と，行列$A$が同じ$P$を用いて
\[ A=P \left( \begin{array}{cc}
[ツ] & 0 \\
0 & [テ]
\end{array} \right) P^{-1} \]
と表わされることに注意すると，$(**)$式の両辺に行列$A$を左から$(n-1)$回かけて得られる$\overrightarrow{b_n}$から，一般項$a_n$は
\[ a_n=2^{[ト]} \log_2 [ナ] \]
（$n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots$）となる．

$[オ]$，$[ト]$の解答群
\[ \begin{array}{llll}
\nagamaruichi n-1 & \nagamaruni n & \nagamarusan n+1 & \nagamarushi 1-n \\
\nagamarugo -n & \nagamaruroku -n-1 \phantom{AA} & \nagamarushichi \displaystyle\frac{n(n+1)}{2} \phantom{AA} & \nagamaruhachi n^2-1 \\
\nagamarukyu \displaystyle\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) & & &
\end{array} \]
$[タ]$，$[チ]$，$[ナ]$の解答群
\[ \begin{array}{llll}
\nagamaruichi n-1 & \nagamaruni n & \nagamarusan \displaystyle\frac{n+1}{n} \phantom{AA} & \nagamarushi \displaystyle\frac{4n-6}{n} \\
\nagamarugo n^2-4n+5 & \nagamaruroku (n-1)! \phantom{AA} & \nagamarushichi n! \phantom{AA} & \nagamaruhachi n!-1 \\
\nagamarukyu (n-1) \times n! \phantom{AA} & \nagamarurei n \times n! & &
\end{array} \]

$a=\sqrt{7}+\sqrt{5},\ b=\sqrt{7}-\sqrt{5}$とおく．

(1)$\displaystyle \frac{b}{a}=[ア]-\sqrt{[イウ]}$，$\displaystyle \frac{a}{b} = [エ]+\sqrt{[オカ]}$である．

(2)$\displaystyle \frac{b}{a},\ \frac{a}{b}$を解にもつ$2$次方程式は$x^2-[キク]x+[ケ]=0$と書くことができる．
(3)$A=\left( \begin{array}{cc}
a & -b \\
\displaystyle\frac{1}{a} & \displaystyle\frac{1}{b}
\end{array} \right)$とおくとき，$A$の逆行列$A^{-1}$は
\[ A^{-1}=\left( \begin{array}{rr}
\displaystyle\frac{\sqrt{7}}{[コサ]}+\frac{\sqrt{5}}{[シス]} & \displaystyle\frac{\sqrt{7}}{[セソ]}-\frac{\sqrt{5}}{[タチ]} \\ \\
-\displaystyle\frac{\sqrt{7}}{[ツテ]}+\frac{\sqrt{5}}{[トナ]} & \displaystyle\frac{\sqrt{7}}{[ニヌ]}+\frac{\sqrt{5}}{[ネノ]}
\end{array} \right) \]

原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}$が
\[ |\overrightarrow{\mathrm{OA}}| = 2\sqrt{3}, \quad |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=\sqrt{15}, \quad \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}} = 8 \]
を満たしているとする．ここで，$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|,\ |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|$はそれぞれ$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の大きさを表し，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$は$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の内積を表すものとする．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角を$\theta$とおくと
\[ \cos \theta = \frac{[ア]}{[イウ]} \sqrt{[エ]} \]
となる．\\
\quad また，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積は$\sqrt{[オカ]}$である．
(2)線分$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{C}$を$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$が垂直となるようにとる．このとき，点$\mathrm{C}$は線分$\mathrm{AB}$を$[キ]:[ク]$に内分する点である．

座標平面上において，原点$\mathrm{O}$と点$(6,\ 0)$からの距離の和が$10$である楕円を考える．

(1)この楕円の方程式は$\displaystyle \frac{(x-[ア])^2}{[イウ]}+\frac{y^2}{[エオ]}=1$である．

(2)この楕円と$x$軸，$y$軸との$4$個の交点を頂点とする四角形の面積は$[カキ]$である．

$a,\ b,\ c,\ d$を定数とし，$ab \neq 0$とする．関数$f(x)=ae^{bx}+cx+d$は等式
\[ f(x)+2 \int_0^x f(t) \, dt=4x^2+8x+10 \]
を満たしている．

(1)$a=[ア]$，$b=[イウ]$，$c=[エ]$，$d=[オ]$である．
(2)$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx=[カ]-[キ]e^{[クケ]}$である．

次の各設問に答えよ．

(1)空間内に点$\mathrm{A}(2,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 4)$がある．$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が定める平面上に原点$\mathrm{O}$から垂線を下ろし，この平面との交点を$\mathrm{P}$とする．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=a \overrightarrow{\mathrm{OA}}+b \overrightarrow{\mathrm{OB}}+c \overrightarrow{\mathrm{OC}} \quad (a,\ b,\ c \text{は実数}) \]
とすると$a+b+c=[ア]$となる．また

$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=[イウ] a+[エ] b=[オ]$

$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=[カキ] a+[クケ] c=[コ]$

となる．よって，点$\mathrm{P}$の座標は$\displaystyle \left( \frac{[サ]}{[シ]},\ \frac{[ス]}{[セ]},\ \frac{[ソ]}{[タ]} \right)$となる．
(2)$4$個のさいころを同時に投げるとき，出た目の積が偶数になる確率は$\displaystyle \frac{[チツ]}{[テト]}$である．また，出た目の積が偶数になる確率が$0.994$以上になるには，同時に投げるさいころの数は最低$[ナ]$個必要である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．

次の各問に答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{3 \sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}=[ア]+\sqrt{[イウ]}$である．
(2)整式$x^3-4x^2+7x+1$を$x^2-3x+2$で割った余りは$[エ]x+[オ]$である．
(3)$\displaystyle 3^{2x} \leqq \frac{9}{{27}^x}$をみたす$x$の範囲は$\displaystyle x \leqq \frac{[カ]}{[キ]}$である．
(4)直線$2x+3y+5=0$と点$(-4,\ 1)$において垂直に交わる直線の方程式は$\displaystyle y=\frac{[ク]}{[ケ]}x+[コ]$である．
(5)円$x^2+y^2=9$と円$x^2+(y+a)^2=9$が共有点をもつような定数$a$の値の範囲は$[サシ] \leqq a \leqq [ス]$である．
(6)$\overrightarrow{a}=(k,\ -2k,\ 5)$が$\overrightarrow{b}=(1,\ -2,\ -2)$に垂直であるとき，$k=[セ]$であり，$|\overrightarrow{a}|=[ソ] \sqrt{[タ]}$である．
(7)$1$個のサイコロを振り，出た目を$4$で割った余りを$X$とする．$X=1$となる確率は$\displaystyle \frac{[チ]}{[ツ]}$であり，また，$X$の期待値は$\displaystyle \frac{[テ]}{[ト]}$である．
(8)関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}x^3-ax^2+3x+1$（$a$は定数）が$x=3$で極値をとるとき，$a=[ナ]$であり，極大値は$\displaystyle \frac{[ニ]}{[ヌ]}$である．

座標平面上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$が$t \geqq 0$に対して
\[ x=1-e^{-3t},\quad y=8-3t-8e^{-3t} \]
で表されるとき，以下の問いに答えよ．

(1)$t \to \infty$のとき$x$の極限値は
\[ \lim_{t \to \infty} x=[ア] \]
であり，$t=0$のとき
\[ \frac{dy}{dt}=[イウ] \]
となる．また，任意の$t$に対して

$\displaystyle \frac{d^2 x}{dt^2}+[エ] \frac{dx}{dt}=[オ]$，

$\displaystyle \frac{d^2 y}{dt^2}+[カ] \frac{dy}{dt}=[キク]$

が成り立つ．
(2)$\displaystyle \frac{dy}{dx}=0$となる$t$の値を$\alpha$とすると，$e^\alpha=[ケ]$となる．このときの$x$の値を$\beta$とすると，$\displaystyle \beta=\frac{[コ]}{[サ]}$であり，$y$の値は$[シ]-[ス] \alpha$である．
(3)$0 \leqq t \leqq \alpha$に対して点$\mathrm{P}$の描く曲線と，直線$x=\beta$および$x$軸で囲まれた部分の面積は$\displaystyle \frac{[セソ]}{[タチ]}+\frac{[ツ]}{[テ]} \alpha$となる．

関数$f(x)=x^3+ax^2+bx+28$（$a,\ b$は定数）がある．曲線$y=f(x)$上の点$(2,\ f(2))$における接線の方程式が$y=15x$であるとき，次の設問に答えよ．

(1)$a$の値は$[ア]$，$b$の値は$[イウ]$である．
(2)$f(x)$は
$x=[エオ]$のとき，極大値$[カキ]$
$x=[ク]$のとき，極小値$[ケコ]$
をとる．
(3)$0 \leqq x \leqq 2$の範囲では，$f(x)$の最大値は$[サシ]$，最小値は$[スセ]$である．