さいころを$3$回投げて$1$回目の数を$a$，$2$回目の数を$b$，$3$回目の数を$c$とおく．このとき，次の問に答えなさい．

(1)$a+b+c=6$となる確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イウエ]}$である．

(2)$abc \geqq 125$となる確率は$\displaystyle \frac{[オカ]}{[キクケ]}$である．

(3)$\displaystyle \frac{b}{a}$の期待値は$\displaystyle \frac{[コサシ]}{[スセソ]}$である．

(4)$\displaystyle \frac{bc}{a}$が整数となる確率は$\displaystyle \frac{[タチ]}{[ツテ]}$である．

次の$[　]$を埋めよ．

(1)数列$\{a_n\}$が関係式
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=\frac{(n+1)a_n}{(3n+1)a_n+n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められているとき，$\displaystyle a_{200}=\frac{[ア]}{[イウエ]}$である．
(2)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$かつ$\displaystyle \cos \theta=\frac{1}{8}$のとき，$\displaystyle \sin \frac{3 \theta}{2}=\frac{[オ] \sqrt{[カ]}}{[キク]}$である．

関数
\[ y=f(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
-x^2-12x & (x<0) \\
3x^2-12x+a & (0 \leqq x)
\end{array} \right. \]
を考える．関数$y=f(x)$の区間$0 \leqq x \leqq 6$における最小値が$-12$であるという．このとき，次の問に答えなさい．

(1)$a$の値は$[ア]$である．
(2)$f(x)=0$となる$x$の値を小さい方から並べると$x=[イウエ],\ [オ],\ [カ]$である．
(3)曲線$y=f(x)$の点$\mathrm{P}(k,\ -k^2-12k)$（$k<0$とする）における接線$\ell$が点$(-1,\ 15)$を通るという．このとき，$k$の値は$[キク]$である．
(4)接線$\ell$と曲線$y=f(x)$の共有点は点$\mathrm{P}$と$([ケ],\ [コサ])$で，接線$\ell$と曲線$y=f(x)$で囲まれる部分の面積は$[シス]$である．

さいころを$4$個同時に振って$x$種類の数字がでたら$x$点とする．例えば$1,\ 2,\ 2,\ 5$がでたら$3$点である．このとき，次の問に答えなさい．

(1)$1$点となる確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イウエ]}$である．

(2)$4$点となる確率は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カキ]}$である．

(3)$2$点となる確率は$\displaystyle \frac{[クケ]}{[コサシ]}$である．

(4)$3$点となる確率は$\displaystyle \frac{[ス]}{[セ]}$である．

(5)得点$x$の期待値は$\displaystyle \frac{[ソタチ]}{[ツテト]}$である．