$10$個のアルファベットの大文字$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$，$\mathrm{H}$，$\mathrm{I}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{X}$を重複を許して並べてできる$5$文字の順列を$1$枚のカードに$1$つずつ書くとする．なお，文字$\mathrm{H}$，$\mathrm{I}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{X}$は上下を逆さまにしてもそれぞれ$\mathrm{H}$，$\mathrm{I}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{X}$と読めるので，これらの文字で書かれた$5$文字の順列はカードごと上下を逆さまにすると，$i=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$に対して$i$番目の文字がもとの$6-i$番目の文字に対応する$5$文字の順列が書かれたカードとして使えるとする．例えば，$\mathrm{HIOXX}$と書かれたカードは上下を逆さまにして，$\mathrm{XXOIH}$と書かれたカードとしても使える．しかし，$\mathrm{ABEIF}$と書かれたカードは上下を逆さまにすると$5$文字の順列を表すカードとしては使えない．このとき，次の問に答えよ．

(1)上下を逆さまにして読んでも同じ順列を表すカードの総数を求めよ．
(2)上下を逆さまにして読むと異なる順列を表すカードの総数を求めよ．
(3)上下を逆さまにすることにより$1$枚のカードを$2$度まで使うことを許すとする．すべての順列を書くためには，最小限で何枚のカードが必要か．

$10$個のアルファベットの大文字$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$，$\mathrm{H}$，$\mathrm{I}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{X}$を重複を許して並べてできる$5$文字の順列を$1$枚のカードに$1$つずつ書くとする．なお，文字$\mathrm{H}$，$\mathrm{I}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{X}$は上下を逆さまにしてもそれぞれ$\mathrm{H}$，$\mathrm{I}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{X}$と読めるので，これらの文字で書かれた$5$文字の順列はカードごと上下を逆さまにすると，$i=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$に対して$i$番目の文字がもとの$6-i$番目の文字に対応する$5$文字の順列が書かれたカードとして使えるとする．例えば，$\mathrm{HIOXX}$と書かれたカードは上下を逆さまにして，$\mathrm{XXOIH}$と書かれたカードとしても使える．しかし，$\mathrm{ABEIF}$と書かれたカードは上下を逆さまにすると$5$文字の順列を表すカードとしては使えない．このとき，次の問に答えよ．

(1)上下を逆さまにして読んでも同じ順列を表すカードの総数を求めよ．
(2)上下を逆さまにして読むと異なる順列を表すカードの総数を求めよ．
(3)上下を逆さまにすることにより$1$枚のカードを$2$度まで使うことを許すとする．すべての順列を書くためには，最小限で何枚のカードが必要か．

円周を$12$等分し，各点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$，$\mathrm{I}$，$\mathrm{J}$，$\mathrm{K}$，$\mathrm{L}$と表記する．$3$つの点を同時に選び，三角形をつくるとき，その三角形が直角二等辺三角形となる確率を$p$とする．$55p$の値を求めよ．ただし，得られた三角形の頂点のアルファベット記号が$1$つでも異なれば，別の三角形とみなすものとする．