厚さ$1 \, \mathrm{cm}$のアクリル板で半球形の容器を作るとき，アクリル板の強度を考慮すると，最大で$50 \, l$の容積をもつ容器を作ることができるものとする．このアクリル板の厚さを$1 \, \mathrm{cm}$増やすごとに，作れる容器の最大の容積は$1.3$倍になる．一方，このアクリル板は，厚さ$1 \, \mathrm{cm}$のときに光の透過率が$90 \, \%$で，厚さを$1 \, \mathrm{cm}$増やすごとに透過率は$0.9$倍になる．次の各問に答えよ．ただし，アクリル板は$1 \, \mathrm{cm}$単位の加工しかできないこととし，必要ならば$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$を用いてもよい．

(1)アクリル板の厚さを$2 \, \mathrm{cm}$としたとき，その透過率は$[アイ] \, \%$になる．
(2)アクリル板の厚さを$2 \, \mathrm{cm}$としたとき，容器の容積は最大で$[ウエ] \, l$になる．
(3)アクリル板の透過率を$50 \, \%$以上としながら，容積の最も大きな容器を作りたい．このとき，アクリル板の厚さを$[オ] \, \mathrm{cm}$とすればよく，その容器の容積は，小数第$1$位を切り捨てて$[カキク] \, l$である．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$，$\displaystyle y=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$のとき，$x^2+y^2-xy=[アイ]$である．

(2)$\displaystyle 1+\frac{1}{2+\displaystyle\frac{1}{2+\displaystyle\frac{1}{x}}}=\frac{[ウ]x+[エ]}{[オ]x+[カ]}$である．
(3)$k$を定数とする．$2$次方程式$x^2+(3k+1)x+2k^2+2k-1=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とし，$\beta-\alpha=2$とする．このとき，$k=[キ]$であり，$\alpha=[クケ]$，$\beta=[コサ]$である．
(4)不等式$|2x^2+x-2|>1$の解は$\displaystyle x<\frac{[シス]}{[セ]}$，$\displaystyle [ソタ]<x<\frac{[チ]}{[ツ]}$，$[テ]<x$である．
(5)等式$720x=y^3$を満たす正の整数$x,\ y$の組のうち，$x$が最小であるものは$x=[アイウ]$，$y=[エオ]$である．
(6)点$(1,\ 2)$に関して点$(2,\ -1)$と対称な点の座標は$([カ],\ [キ])$である．また，直線$2x-y-1=0$に関して，点$(2,\ -1)$と対称な点の座標は$\displaystyle \left( \frac{[クケ]}{[コ]},\ \frac{[サ]}{[シ]} \right)$である．
(7)$a,\ b$を定数とし，$a>0$とする．関数$y=ax^2-6ax+b (1 \leqq x \leqq 4)$の最大値が$5$，最小値が$-2$であるとき，$\displaystyle a=\frac{[ス]}{[セ]}$，$\displaystyle b=\frac{[ソタ]}{[チ]}$である．
(8)$2$個のさいころを同時に投げるとき，出る目の差の絶対値が$2$である確率は$\displaystyle \frac{[ツ]}{[テ]}$である．

$i$を虚数単位とする．異なる$3$つの複素数$\alpha,\ \beta,\ \gamma$の間に等式$\gamma-i \beta=(1-i) \alpha$が成り立つものとする．さらに，$\alpha$は方程式$|\alpha-2|=|\alpha-2 \sqrt{3|i}$を満たすとする．複素数平面において$3$点$\mathrm{A}(\alpha)$，$\mathrm{B}(\beta)$，$\mathrm{C}(\gamma)$を頂点とする$\triangle \mathrm{ABC}$を考える．

(1)$\angle \mathrm{BAC}={[アイ]}^\circ$，$\angle \mathrm{ABC}={[ウエ]}^\circ$，$\angle \mathrm{ACB}={[オカ]}^\circ$である．

(2)点$\mathrm{A}$が虚軸上にあるとき，$\displaystyle \alpha=\frac{[キ] \sqrt{[ク]}}{[ケ]}i$である．さらに点$\mathrm{B}$が実軸上にあるとすると，点$\mathrm{C}$は方程式
\[ |\gamma|=|\gamma-\delta| \quad \text{（ただし$\delta$は$0$と異なる定数）} \]
を満たす．このとき$\displaystyle \delta=\frac{[コ] \sqrt{[サ]}}{[シ]}$である．

(3)点$\mathrm{B}$および点$\mathrm{C}$がそれぞれ，実軸上，虚軸上にあるとき
\[ \alpha=[ス]-\sqrt{[セ]}+\left( [ソタ]+\sqrt{[チ]} \right) i \]
である．さらに，$\gamma$が方程式$|\gamma-2|=|\gamma-2 \sqrt{3|i}$を満たすとき
\[ \beta=\frac{[ツ]-[テ] \sqrt{[ト]}}{[ナ]} \]
である．

座標平面において，次の式で与えられる$2$つの円$C$，$C^\prime$を考える．

$C:x^2+y^2=13$
$C^\prime:x^2+y^2-8x+14y+13=0$

$2$つの円の$2$つの共通接線は，点$([アイ],\ [ウ])$で交わり，共通接線$\ell_1,\ \ell_2$の方程式は，それぞれ

$\ell_1:[エ]x+[オ]y=13$
$\ell_2:[カキ]x+y=[クケコ]$

である．

(1)円$C^\prime$と直線$\ell_1$の共有点の座標は$([サ],\ [シス])$である．
(2)$2$つの円の異なる$2$つの交点と$\ell_1$上の点$\mathrm{P}$が同一直線上にあるとき，点$\mathrm{P}$の座標は$([セ],\ [ソ])$である．
(3)円$C$，$C^\prime$の中心をそれぞれ$\mathrm{O}$，$\mathrm{O}^\prime$とする．$\ell_1$上の点$\mathrm{Q}$に対し，$\mathrm{OQ}+\mathrm{O}^\prime \mathrm{Q}$が最小となるとき，$\mathrm{Q}$の座標は
\[ \left( [タ],\ \displaystyle\frac{[チ]}{[ツ]} \right) \]
である．

同じ大きさの$5$枚の正方形の板を一列に並べて，図のような掲示板を作り，壁に固定する．赤色，緑色，青色のペンキを用いて，隣り合う正方形どうしが異なる色となるように，この掲示板を塗り分ける．ただし，塗り分ける際には，$3$色のペンキをすべて使わなければならないわけではなく，$2$色のペンキだけで塗り分けることがあってもよいものとする．
（図は省略）

(1)このような塗り方は，全部で$[アイ]$通りある．
(2)塗り方が左右対称となるのは，$[ウエ]$通りある．
(3)青色と緑色の$2$色だけで塗り分けるのは，$[オ]$通りある．
(4)赤色に塗られる正方形が$3$枚であるのは，$[カ]$通りある．
(5)赤色に塗られる正方形が$1$枚である場合について考える．
\begin{itemize}
どちらかの端の$1$枚が赤色に塗られるのは，$[キ]$通りある．
端以外の$1$枚が赤色に塗られるのは，$[クケ]$通りある．
\end{itemize}
よって，赤色に塗られる正方形が$1$枚であるのは，$[コサ]$通りある．
(6)赤色に塗られる正方形が$2$枚であるのは，$[シス]$通りある．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=5$，$\mathrm{BC}=\sqrt{5}$とする．辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{D}$を$\mathrm{AD}=3$となるようにとり，辺$\mathrm{BC}$の$\mathrm{B}$の側の延長と$\triangle \mathrm{ABD}$の外接円との交点で$\mathrm{B}$と異なるものを$\mathrm{E}$とする．

$\mathrm{CE} \cdot \mathrm{CB}=[アイ]$であるから，$\mathrm{BE}=\sqrt{[ウ]}$である．
$\triangle \mathrm{ACE}$の重心を$\mathrm{G}$とすると，$\displaystyle \mathrm{AG}=\frac{[エオ]}{[カ]}$である．
$\mathrm{AB}$と$\mathrm{DE}$の交点を$\mathrm{P}$とすると
\[ \frac{\mathrm{DP}}{\mathrm{EP}}=\frac{[キ]}{[ク]} \cdots\cdots① \]
である．
$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{EDC}$において，点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$は同一円周上にあるので$\angle \mathrm{CAB}=\angle \mathrm{CED}$で，$\angle \mathrm{C}$は共通であるから
\[ \mathrm{DE}=[ケ] \sqrt{[コ]} \cdots\cdots② \]
である．
$①$，$②$から，$\displaystyle \mathrm{EP}=\frac{[サ] \sqrt{[シ]}}{[ス]}$である．

次の$[　]$を埋めよ．

(1)ベクトル$\overrightarrow{a}=(2,\ 1)$，$\overrightarrow{b}=(4,\ 3)$，$\overrightarrow{c}=(3,\ 0)$，$\overrightarrow{d}=(1,\ 2)$に対して，等式
\[ |\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}+t \overrightarrow{d}| \]
をみたす実数$t$の値は$2$つあり，それらを$t_1,\ t_2 (t_1<t_2)$とすれば，
\[ t_1=[アイ],\quad t_2=\frac{[ウ]}{[エ]} \]
である．
(2)座標平面上の$2$つの放物線
\[ C_1:y=x^2,\quad C_2:y=-(x-9)^2+28 \]
を考える．$C_1,\ C_2$の両方に接する直線は$2$つあり，それらの方程式を傾きの小さい方から順に並べれば，
\[ y=[オ]x-[カ],\quad y=[キク]x-[ケコ] \]
である．

座標空間における$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 2)$に対して，点$\mathrm{P}(x,\ y,\ z)$が条件
\[ \mathrm{AP}=\mathrm{BP}=\mathrm{CP} \]
をみたしながら動くとする．このとき，$\mathrm{AP}^2$のとり得る最小値を$m$とすれば
\[ m=\frac{[アイ]}{[ウエ]} \]
である．

点$\mathrm{A}(3,\ 4)$，$\mathrm{B}(8,\ 6)$と，$x$軸上を動く点$\mathrm{P}$がある．$\mathrm{AP}+\mathrm{BP}$が最小となるとき，以下の問に答えよ．

(1)点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{P}$を通る直線$\ell$の方程式は，$y=[アイ]x+[ウエ]$である．
(2)点$\mathrm{P}$を頂点として，点$\mathrm{A}$を通る放物線$C$の方程式は，$y=[オ]x^2-[カキ]x+[クケ]$である．
(3)$\ell$と$C$で囲まれる図形の面積は，$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]}$である．

以下の問に答えよ．

(1)$2$次不等式$ax^2+8x+b>0$の解が$-1<x<5$であるとき，$a=[アイ]$，$b=[ウエ]$である．
(2)$y=|x^2+x-2|+x+1$の$-3 \leqq x \leqq 1$における最大値は$[オ]$，最小値は$[カキ]$である．