「アイウエオ」について
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私立 明治大学 2012年 第1問空欄$[ ]$に当てはまるものを入れよ．
(1)$5$個の数字$0$，$1$，$2$，$3$，$4$を並べて$5$桁の整数を作る．小さい順にこれらの整数を並べたとき，$57$番目の整数は$\fbox{\footnotesize \phantom{a}アイウエオ\phantom{a}}$である．また，偶数である整数は$[カキ]$個あり，$4$の倍数である整数は$[クケ]$個ある．
(2)次の連立方程式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\log_xy+2 \log_y x=3 \\
\log_x(y^2+xy)=2
\end{array} \right. \]
の解は$\displaystyle x=\frac{-[コ]+\sqrt{[サ]}}{[シ]}$，$\displaystyle y=\frac{[ス]-\sqrt{[セ]}}{[ソ]}$である．
(3)自然数$1,\ 2,\ \cdots,\ n$の中から異なる二つの数を選んで積を作る．このような積全ての和を$S_n$とおく．ただし，$S_1=0$とする．$S_n$と$S_{n-1}$の間には漸化式
\[ S_n=S_{n-1}+n \cdot \frac{[タ]}{[チ]} \]
が成り立つ．これを使って，$S_n$を求めると
\[ S_n=\frac{1}{[ツテ]} \cdot n(n+1)([ト]) \]
となる．
(1)$5$個の数字$0$，$1$，$2$，$3$，$4$を並べて$5$桁の整数を作る．小さい順にこれらの整数を並べたとき，$57$番目の整数は$\fbox{\footnotesize \phantom{a}アイウエオ\phantom{a}}$である．また，偶数である整数は$[カキ]$個あり，$4$の倍数である整数は$[クケ]$個ある．
(2)次の連立方程式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\log_xy+2 \log_y x=3 \\
\log_x(y^2+xy)=2
\end{array} \right. \]
の解は$\displaystyle x=\frac{-[コ]+\sqrt{[サ]}}{[シ]}$，$\displaystyle y=\frac{[ス]-\sqrt{[セ]}}{[ソ]}$である．
(3)自然数$1,\ 2,\ \cdots,\ n$の中から異なる二つの数を選んで積を作る．このような積全ての和を$S_n$とおく．ただし，$S_1=0$とする．$S_n$と$S_{n-1}$の間には漸化式
\[ S_n=S_{n-1}+n \cdot \frac{[タ]}{[チ]} \]
が成り立つ．これを使って，$S_n$を求めると
\[ S_n=\frac{1}{[ツテ]} \cdot n(n+1)([ト]) \]
となる．