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金沢工業大学 私立 金沢工業大学 2016年 第1問
次の問いに答えよ.

(1)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$,$\displaystyle y=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$のとき,$x^2+y^2-xy=[アイ]$である.

(2)$\displaystyle 1+\frac{1}{2+\displaystyle\frac{1}{2+\displaystyle\frac{1}{x}}}=\frac{[ウ]x+[エ]}{[オ]x+[カ]}$である.
(3)$k$を定数とする.$2$次方程式$x^2+(3k+1)x+2k^2+2k-1=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とし,$\beta-\alpha=2$とする.このとき,$k=[キ]$であり,$\alpha=[クケ]$,$\beta=[コサ]$である.
(4)不等式$|2x^2+x-2|>1$の解は$\displaystyle x<\frac{[シス]}{[セ]}$,$\displaystyle [ソタ]<x<\frac{[チ]}{[ツ]}$,$[テ]<x$である.
(5)等式$720x=y^3$を満たす正の整数$x,\ y$の組のうち,$x$が最小であるものは$x=[アイウ]$,$y=[エオ]$である.
(6)点$(1,\ 2)$に関して点$(2,\ -1)$と対称な点の座標は$([カ],\ [キ])$である.また,直線$2x-y-1=0$に関して,点$(2,\ -1)$と対称な点の座標は$\displaystyle \left( \frac{[クケ]}{[コ]},\ \frac{[サ]}{[シ]} \right)$である.
(7)$a,\ b$を定数とし,$a>0$とする.関数$y=ax^2-6ax+b (1 \leqq x \leqq 4)$の最大値が$5$,最小値が$-2$であるとき,$\displaystyle a=\frac{[ス]}{[セ]}$,$\displaystyle b=\frac{[ソタ]}{[チ]}$である.
(8)$2$個のさいころを同時に投げるとき,出る目の差の絶対値が$2$である確率は$\displaystyle \frac{[ツ]}{[テ]}$である.
北海道薬科大学 私立 北海道薬科大学 2014年 第3問
円$(x-2)^2+(y-3)^2=9$と放物線$y=x^2-4x+a+4$($a$は定数)は,$2$つの点で接している.

(1)$a$の値は$\displaystyle \frac{[アイウ]}{[エ]}$である.
(2)接点の座標は$\displaystyle \left( [オ] \pm \frac{\sqrt{[カキ]}}{[ク]},\ \frac{[ケ]}{[コ]} \right)$であり,$2$つの接線の方程式は$y=\pm \sqrt{[サシ]}(x-[ス])+[セソタ]$である(複号同順).
(3)$(2)$で得られた$2$つの接線の交点の座標は$([チ],\ [ツテト])$である.
玉川大学 私立 玉川大学 2014年 第1問
$[ア]$~$[ツ]$を埋めよ.

(1)次を計算せよ.
\[ 3+\frac{1}{3+\displaystyle\frac{1}{3+\displaystyle\frac{1}{3}}}=\frac{[アイウ]}{[エオ]},\quad 3 \times 2 \div 3^{-1}=[カキ] \]
(2)空欄を埋めよ.
\[ \frac{\sqrt{2}+2i}{1-\sqrt{2}i}=-\frac{\sqrt{[ク]}}{[ケ]}+\frac{[コ]}{[サ]}i \]
(3)$\mathrm{A}$君と,$\mathrm{A}$君の姉の年齢の和は$28$,積は$180$である.$\mathrm{A}$君の年齢は$[シス]$歳,姉の年齢は$[セソ]$歳である.
(4)$\log_8 x+\log_8 (x+2) \geqq 1$を解くと
\[ x \geqq [タ] \]
である.
(5)曲線$y=x^2$上の点$(1,\ 1)$における接線の方程式は$y=[チ]x-[ツ]$である.
松山大学 私立 松山大学 2013年 第1問
正$12$角形の異なる$3$つの頂点を結んで三角形を作る.

(1)三角形は全部で$[アイウ]$個できる.

(2)正三角形となる確率は$\displaystyle \frac{[エ]}{[オカ]}$である.

(3)直角三角形となる確率は$\displaystyle \frac{[キ]}{[クケ]}$である.

(4)二等辺三角形となる確率は$\displaystyle \frac{[コサ]}{[シス]}$である.
法政大学 私立 法政大学 2012年 第2問
$n$を$2$以上の整数とする.

(1)平面上の平行な$2$直線上に,相異なる点がそれぞれ$n$個ずつある.これらの$2n$個の点から$3$点を選ぶ.

(i) $n=5$のとき,この選び方は全部で$[アイウ]$通りあり,選んだ$3$点が$1$直線上にあるような選び方は$[エオ]$通りある.
(ii) 選んだ$3$点が三角形をつくるような選び方は$\displaystyle \left( [カ]-[キ] \right)$通りある.
ただし,$[カ]$,$[キ]$については,以下の$①$~$\marukyu$からそれぞれ$1$つを選べ.ここで,同じものを何回選んでもよい.
\[ \begin{array}{lllllllll}
① n & & ② 2n & & ③ 3n & & ④ n^2 & & ⑤ 2n^2 \\
⑥ 3n^2 & & ④chi n^3 & & \maruhachi 2n^3 & & \marukyu 3n^3 & &
\end{array} \]

(2)$\mathrm{O}$を中心とする円の円周を等分する$2n$個の点がある.これらの$2n$個の点と点$\mathrm{O}$から$3$点を選ぶ.

(i) $n=3$のとき,選んだ$3$点が三角形をつくるような選び方は$[クケ]$通りある.

(ii) 選んだ$3$点が三角形をつくるような選び方は$\displaystyle \frac{n \left( [コ] n^{[サ]}-[シ] \right)}{[ス]}$通りある.
(iii) $n=12$のとき,選んだ$3$点が正三角形をつくるような選び方は$[セソ]$通りある.
杏林大学 私立 杏林大学 2012年 第1問
$[カ]$,$[キ]$の解答はそれぞれの解答群の中から最も適当なものを$1$ずつ選べ.

袋の中に,$1$から$13$までの数字が書かれたカードが$1$枚ずつ入っている.この袋から$3$枚のカードを同時に取り出して,カードに書かれた数字を小さい方から順に$x,\ y,\ z$と定め,カードを袋に戻すという操作を行う.このような操作によって取りうるすべての整数の組$(x,\ y,\ z)$を,重複なく集めてできる集合
\[ U=\{ (x,\ y,\ z) \;|\; x,\ y,\ z \text{はカードを取り出して定められる数} \} \]
を全体集合と定める.また,集合$U$の部分集合$P,\ Q$をそれぞれ
$P=\{ (x,\ y,\ z) \;|\; z>x+y,\ (x,\ y,\ z) \in U \},$
$Q=\{ (x,\ y,\ z) \;|\; z<x+y,\ (x,\ y,\ z) \in U \}$
とする.

(1)集合$U$の要素の個数は$[アイウ]$である.また,$\overline{P} \cap \overline{Q}$に含まれる要素の個数は$[エオ]$である.
(2)集合$U$の要素$(x,\ y,\ z)$を
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x^\prime=z-y \\
y^\prime=z-x \\
z^\prime=z
\end{array} \right. \]
で表わされる$(x^\prime,\ y^\prime,\ z^\prime)$に移す変換を$f$とする.このとき,集合$P$の要素$p$の変換$f$による像$p^\prime$は$p^\prime [カ]$を満たし,$p^\prime$の変換$f$による像$p^{\prime\prime}$は$p^{\prime\prime} [キ]$となる.
また,集合$Q$の要素の個数は$[クケコ]$である.

$[カ]$の解答群
\[ \begin{array}{lll}
① \in P \phantom{AAA} & ② \in Q & ③ \in \overline{P} \\
④ \in \overline{Q} & ⑤ \in \overline{P} \cap \overline{Q} \phantom{AAA} & ⑥ \not\in U
\end{array} \]
$[キ]$の解答群
\[ \begin{array}{llll}
① \in Q \phantom{AAA} & ② \in \overline{P} \phantom{AAA} & ③ \in \overline{Q} \phantom{AAA} & ④ \in \overline{P} \cap \overline{Q} \\
⑤ \not\in U & ⑥ =p & ④chi =p^\prime &
\end{array} \]
(3)$3$辺の長さがそれぞれ$x,\ y,\ z$である直角三角形を作ることができる$(x,\ y,\ z)$の組は$[サ]$通りある.また,$z=13$の場合,$3$辺の長さが$x,\ y,\ z$である鋭角三角形を作ることができる$(x,\ y,\ z)$の組は$[シス]$通りである.
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「アイウ」とは・・・

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