次の問に答えよ．

(1)$a$を定数とする．放物線$y=ax^2$と曲線$y=\log x$がただ$1$つの共有点$\mathrm{P}$をもち，点$\mathrm{P}$で共通の接線をもつ．$a$の値と点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．ただし，$\log$は自然対数とする．

(2)$a,\ b$を定数とし，$f(x)=ax^2+(b-a)x-b$とする．$\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x-1}=1$，$f(2)=5$が成り立つとき，$a,\ b$の値を求めよ．

(3)定積分$\displaystyle \int_2^3 \frac{x^3-1}{x^2-1} \, dx$の値を求めよ．

放物線$y=x^2-2ax+b$（$a,\ b$は定数）と直線$y=2x+3$が$2$つの交点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$をもち，点$\mathrm{P}$がこの放物線の頂点であるとき，次の問に答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$の座標を$a$で表せ．
(2)点$\mathrm{Q}$の座標を$a$で表せ．
(3)原点を$\mathrm{O}$とする．$b$が最小値をとるときの$\triangle \mathrm{QPO}$の面積を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)$3$点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を頂点とする$\triangle \mathrm{ABC}$において，点$\mathrm{B}$から対辺に下ろした垂線の方程式は$x-3y+2=0$であり，点$\mathrm{C}$から対辺に下ろした垂線の方程式は$4x+2y-5=0$である．このとき，$3$直線$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BC}$の方程式を求めよ．
(2)$a$を定数とする．関数$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^3-\frac{15}{4}x^2+8x+5$のグラフと直線$y=2x+a$が共有点を$3$個もち，それらの$x$座標がすべて正の数となるような$a$の値の範囲を求めよ．

$xy$平面上に関数$y=e^x$のグラフ$C_1$と関数$y=a \sqrt{x} (a>0)$のグラフ$C_2$があり，ただ$1$つの共有点$\mathrm{A}$をもち，点$\mathrm{A}$で同一の接線をもつ．このとき，次の問に答えよ．

(1)点$\mathrm{A}$の$x$座標と$a$の値を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$と$y$軸で囲まれる部分の面積を求めよ．
(3)$(2)$の図形を$x$軸で$1$回転させた回転体の体積を求めよ．

$a$を実数とする．円$C$は点$(a,\ -a)$で直線$y = -x$を接線にもち，点$(0,\ 1)$を通るものとする．$C$の中心を $\mathrm{P}(X,\ Y)$として，以下の問いに答えよ．

(1)$X,\ Y$を$a$を用いて表せ．
(2)$a$が動くときの点$\mathrm{P}$の軌跡と直線$y = 1$で囲まれる図形の面積を求めよ．