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信州大学 国立 信州大学 2010年 第4問
実数$a,\ b$は等式
\[ x^4+x^3+x^2+x+1=(x^2+ax+1)(x^2+bx+1) \]
を満たすものとする.次の問に答えよ.

(1)$a+b,\ ab$を求めよ.
(2)複素数$\alpha$が2次方程式$x^2+ax+1=0$の解ならば,$\displaystyle \frac{1}{\alpha}$もこの方程式の解であることを示せ.
(3)2次方程式$x^2+bx+1=0$の解は,(2)の$\alpha$を用いて$\displaystyle \alpha^2,\ \frac{1}{\alpha^2}$と表されることを示せ.
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