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私立 慶應義塾大学 2015年 第5問数列$a_n (1 \leqq n)$に対して新しい数列$b_n (1 \leqq n)$をつぎのように定義する．まず$b_1=1$とする．つぎに$n>1$に対して
\[ a_{n-h}+b_h \quad (1 \leqq h \leqq \frac{n}{2}) \]
のなかで最小のものを$b_n$とする．さらに新しい数列$c_n (1 \leqq n)$をつぎのように定義する．
\[ c_n=b_{n+1}-b_n \quad (1 \leqq n) \]
さて$a_n=n^2$のときを考えよう．このとき$b_n$はつぎのようになる．
$1,\ 2,\ 5,\ [$101$][$102$],\ 11, 14,\ 21,\ 22,\ [$103$][$104$],\ 36,\ 47,\ 50,$
$63,\ 70,\ 85,\ 86,\ 103,\ 112,\ 131,\ [$105$][$106$][$107$],\ \cdots$
$c_n=5$をみたす$n$は小さい順に
\[ n=[$108$][$109$],\ [$110$][$111$],\ [$112$][$113$],\ 39,\ \cdots \]
である．
\[ a_{n-h}+b_h \quad (1 \leqq h \leqq \frac{n}{2}) \]
のなかで最小のものを$b_n$とする．さらに新しい数列$c_n (1 \leqq n)$をつぎのように定義する．
\[ c_n=b_{n+1}-b_n \quad (1 \leqq n) \]
さて$a_n=n^2$のときを考えよう．このとき$b_n$はつぎのようになる．
$1,\ 2,\ 5,\ [$101$][$102$],\ 11, 14,\ 21,\ 22,\ [$103$][$104$],\ 36,\ 47,\ 50,$
$63,\ 70,\ 85,\ 86,\ 103,\ 112,\ 131,\ [$105$][$106$][$107$],\ \cdots$
$c_n=5$をみたす$n$は小さい順に
\[ n=[$108$][$109$],\ [$110$][$111$],\ [$112$][$113$],\ 39,\ \cdots \]
である．