「はずれ」について
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私立 立教大学 2014年 第2問メダル$1$個を入れて，「一等賞」か「二等賞」か「はずれ」が出るゲーム機がある．一等賞だとメダル$10$個が戻り，二等賞だとメダル$2$個が戻り，はずれだとメダルは戻らない．二等賞が出る確率を$p$，はずれが出る確率を$q$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)メダルを$1$個もっている人が，$1$回ゲームをする．ゲーム終了後，手にしているメダルの個数の期待値を$p$と$q$を用いて表せ．
(2)メダルを$2$個もっている人が，$2$回ゲームをする．ゲーム終了後，$12$個のメダルを手にしている確率を$p$と$q$を用いて表せ．
(3)メダルを$3$個もっている人が，$3$回ゲームをする．ゲーム終了後，$12$個のメダルを手にしている確率を$p$と$q$を用いて表せ．
(4)メダルを$5$個もっている人が，$5$回ゲームをする．ゲーム終了後，$10$個のメダルを手にしている確率を$p$と$q$を用いて表せ．
(5)メダルを$5$個もっている人が，メダルがなくなるまでゲームをする．ちょうど$7$回目でゲームが終了する確率を$p$と$q$を用いて表せ．
(1)メダルを$1$個もっている人が，$1$回ゲームをする．ゲーム終了後，手にしているメダルの個数の期待値を$p$と$q$を用いて表せ．
(2)メダルを$2$個もっている人が，$2$回ゲームをする．ゲーム終了後，$12$個のメダルを手にしている確率を$p$と$q$を用いて表せ．
(3)メダルを$3$個もっている人が，$3$回ゲームをする．ゲーム終了後，$12$個のメダルを手にしている確率を$p$と$q$を用いて表せ．
(4)メダルを$5$個もっている人が，$5$回ゲームをする．ゲーム終了後，$10$個のメダルを手にしている確率を$p$と$q$を用いて表せ．
(5)メダルを$5$個もっている人が，メダルがなくなるまでゲームをする．ちょうど$7$回目でゲームが終了する確率を$p$と$q$を用いて表せ．
国立 鳴門教育大学 2013年 第4問$5$本のくじの中に当たりくじが$2$本ある．まず，$\mathrm{A}$さんが当たりくじを引くまで繰り返し引くとする．ただし，引いたくじは元に戻さない．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{A}$さんが引くはずれくじの本数の期待値を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$さんが当たりくじを引いた後，$\mathrm{B}$さんも同様に当たりくじを引くまで繰り返し引くとする．$\mathrm{B}$さんが引くはずれくじの本数の期待値を求めよ．
(1)$\mathrm{A}$さんが引くはずれくじの本数の期待値を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$さんが当たりくじを引いた後，$\mathrm{B}$さんも同様に当たりくじを引くまで繰り返し引くとする．$\mathrm{B}$さんが引くはずれくじの本数の期待値を求めよ．
私立 京都女子大学 2012年 第3問当たりくじが$a$本，はずれくじが$b$本，合計$n=a+b$本のくじがある．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$人がこの順に$1$本ずつ引くとき，次の確率を求めよ．ただし，$a \geqq 2$，$b \geqq 2$で，引いたくじはもとに戻さないとする．
(1)$3$人の中の誰かが当たる確率
(2)$3$人の中の$1$人だけが当たる確率
(3)$\mathrm{C}$が当たる確率
(1)$3$人の中の誰かが当たる確率
(2)$3$人の中の$1$人だけが当たる確率
(3)$\mathrm{C}$が当たる確率
公立 高崎経済大学 2012年 第1問以下の各問に答えよ．
(1)$3$次関数$f(x)=ax^3+bx^2-6$がある．$f^{\prime}(1)=7,\ f^{\prime}(-2)=4$となるように定数$a,\ b$の値を定めよ．
(2)次の計算をせよ．ただし，$i^2=-1$である．$\displaystyle \frac{2-i}{1+2i}$
(3)$(2x^2-1)^6$を展開したとき，$x^4$の項の係数を求めよ．
(4)$20$本のくじがあり，当たりくじの賞金と本数は$1$等$1000$円が$1$本，$2$等$500$円が$2$本，$3$等$300$円が$3$本である．ただし，はずれくじの賞金は$0$円である．いま，この中から$1$本のくじを引くときの賞金の期待値を求めよ．
(5)$x$は実数とする．命題「$x>0 \Longrightarrow |-x|>|x-1|$」の真偽を答えよ．また，偽であるときは反例をあげよ．
(6)初項$1$，公比$9$の等比数列$\{a_n\} \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$を考える．不等式
\[ a_1+a_2+\cdots +a_k \leqq 2^{20}-2^{-3} \]
を満たす最大の整数$k$の値を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$とする．
(7)$\sqrt[12]{20000},\ \sqrt[3]{6+4\sqrt{3}},\ \sqrt[2]{4+\sqrt{2}}$の$3$数の大小を比較せよ．
(8)三角形$\mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{OA}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{C}$，辺$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{D}$，$2$直線$\mathrm{AD}$，$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$として，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(1)$3$次関数$f(x)=ax^3+bx^2-6$がある．$f^{\prime}(1)=7,\ f^{\prime}(-2)=4$となるように定数$a,\ b$の値を定めよ．
(2)次の計算をせよ．ただし，$i^2=-1$である．$\displaystyle \frac{2-i}{1+2i}$
(3)$(2x^2-1)^6$を展開したとき，$x^4$の項の係数を求めよ．
(4)$20$本のくじがあり，当たりくじの賞金と本数は$1$等$1000$円が$1$本，$2$等$500$円が$2$本，$3$等$300$円が$3$本である．ただし，はずれくじの賞金は$0$円である．いま，この中から$1$本のくじを引くときの賞金の期待値を求めよ．
(5)$x$は実数とする．命題「$x>0 \Longrightarrow |-x|>|x-1|$」の真偽を答えよ．また，偽であるときは反例をあげよ．
(6)初項$1$，公比$9$の等比数列$\{a_n\} \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$を考える．不等式
\[ a_1+a_2+\cdots +a_k \leqq 2^{20}-2^{-3} \]
を満たす最大の整数$k$の値を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$とする．
(7)$\sqrt[12]{20000},\ \sqrt[3]{6+4\sqrt{3}},\ \sqrt[2]{4+\sqrt{2}}$の$3$数の大小を比較せよ．
(8)三角形$\mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{OA}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{C}$，辺$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{D}$，$2$直線$\mathrm{AD}$，$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$として，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
公立 三重県立看護大学 2011年 第1問次の$(1)$から$(8)$に答えなさい．
(1)$\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x^2+px+q}{x-3}=7$が成り立つように，$p$と$q$の値を求めなさい．
(2)関数$f(x)=ax^2+bx$について，$\displaystyle \int_{-1}^1 f(x) \, dx=2$および$\displaystyle \int_2^4 f(x) \, dx=50$を満足するように，$a$と$b$の値を求めなさい．
(3)$\displaystyle \frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+\frac{1}{4 \cdot 5}+\frac{1}{5 \cdot 6}+\cdots +\frac{1}{n(n+1)}$の和を求めなさい．
(4)$a(b^2-c^2)-b(a^2-c^2)-c(b^2-a^2)$を因数分解しなさい．
(5)学生$10$人が$3$台の車（$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$）に分乗する．$\mathrm{A}$に$5$人，$\mathrm{B}$に$3$人，$\mathrm{C}$に$2$人ずつ分乗する方法は何通りになるか，求めなさい．
(6)$\displaystyle \log_2 \frac{1}{2}+2 \log_2 \sqrt{32}$を簡単にしなさい．
(7)$\sin 75^\circ+\cos 15^\circ$を求めなさい．
(8)$3$つの箱（$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$）に「くじ」が$10$本ずつ入っている．そのうち，「当たり」が$\mathrm{A}$の箱には$2$本，$\mathrm{B}$の箱には$3$本，$\mathrm{C}$の箱には$1$本入っている．それぞれの箱から$1$本ずつ無作為に「くじ」を引いたとき，$3$本とも「はずれ」である確率を求めなさい．
(1)$\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x^2+px+q}{x-3}=7$が成り立つように，$p$と$q$の値を求めなさい．
(2)関数$f(x)=ax^2+bx$について，$\displaystyle \int_{-1}^1 f(x) \, dx=2$および$\displaystyle \int_2^4 f(x) \, dx=50$を満足するように，$a$と$b$の値を求めなさい．
(3)$\displaystyle \frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+\frac{1}{4 \cdot 5}+\frac{1}{5 \cdot 6}+\cdots +\frac{1}{n(n+1)}$の和を求めなさい．
(4)$a(b^2-c^2)-b(a^2-c^2)-c(b^2-a^2)$を因数分解しなさい．
(5)学生$10$人が$3$台の車（$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$）に分乗する．$\mathrm{A}$に$5$人，$\mathrm{B}$に$3$人，$\mathrm{C}$に$2$人ずつ分乗する方法は何通りになるか，求めなさい．
(6)$\displaystyle \log_2 \frac{1}{2}+2 \log_2 \sqrt{32}$を簡単にしなさい．
(7)$\sin 75^\circ+\cos 15^\circ$を求めなさい．
(8)$3$つの箱（$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$）に「くじ」が$10$本ずつ入っている．そのうち，「当たり」が$\mathrm{A}$の箱には$2$本，$\mathrm{B}$の箱には$3$本，$\mathrm{C}$の箱には$1$本入っている．それぞれの箱から$1$本ずつ無作為に「くじ」を引いたとき，$3$本とも「はずれ」である確率を求めなさい．