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福島大学 国立 福島大学 2014年 第5問
正の整数$n$を
\[ n=a_1+a_2+\cdots +a_k \]
のようにいくつかの正の整数の和として表す.このとき,正の整数の組$(a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_k)$を$n$の分割とよぶ.ここで,$k=1$の場合,すなわち$n=a_1$として$(a_1)$も$n$の分割とみなす.

いま,$n$の分割$(a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_k)$であって,積$a_1a_2 \cdots a_k$が最大となるものを$n$の最大分割と呼ぶことにし,その積の値を$P(n)$と書くことにする.

(1)$P(4)$を求めなさい.
(2)$n>1$とする.$n$の分割$(a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_k)$で$a_1=1$のものは最大分割でないことを示しなさい.
(3)最大分割に$2$が$3$回現れることはないことを示しなさい.
(4)最大分割に$5$以上の正の整数は現れないことを示しなさい.
(5)$P(20)$を求めなさい.
東京薬科大学 私立 東京薬科大学 2013年 第5問
$a$は実数の定数で,$0<a \leqq 1$とする.$2$次関数$f(x)=x^2-ax+b$が
\[ \int_0^1 f(x) \, dx=0 \]
を満たすとき,次の各問に答えよ.

(1)$a$と$b$の関係式を求めると,$\displaystyle b=\frac{[$*$け]}{[こ]}a+\frac{[$*$さ]}{[し]}$となる.
(2)実数$k$が$\displaystyle \int_1^2 f(x) \, dx=k \int_{-1}^0 f(x) \, dx$を満たすとき,$k$の最小値は$[$*$す]$である.$k$が最小であるとき,$y=f(x)$の接線で傾きが$1$のものは$\displaystyle y=x+\frac{[$*$せ]}{[そ]}$である.
(3)$f(x)$の$0 \leqq x \leqq 1$における最大値と最小値を$a$の式で表したものをそれぞれ$M(a)$,$m(a)$と記すと,
\[ M(a)=\frac{[$*$た]}{[ち]} a+\frac{[$*$つ]}{[て]},\quad m(a)=\frac{[$*$と]}{[な]} a^2+\frac{[$*$に]}{[ぬ]}a+\frac{[$*$ね]}{[の]} \]
となる.
(4)最大値と最小値の差$M(a)-m(a)$の最小値は$\displaystyle \frac{[は]}{[ひ]}$である.
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