「なす角」について
タグ「なす角」の検索結果
(9ページ目:全241問中81問~90問を表示)![藤田保健衛生大学](./img/univ/fujitahoken.png)
原点$\mathrm{O}$を中心とした半径$1$の円$C$がある.円$C$上の$1$点$\mathrm{A}(a_1,\ a_2)$,$a_i>0$,$i=1,\ 2$を考える.$\mathrm{OA}$が$x$軸となす角度を$\theta$とする.
(1)円$C^\prime$を中心$(b_1,\ b_2)$,$b_i>0$,$i=1,\ 2$,半径$1$の円とし,点$\mathrm{A}$と$(1,\ 0)$で円$C$と交わっているものとすると,$(b_1,\ b_2)=[$14$]$である.また円$C^\prime$の点$\mathrm{A}$における接線の方程式は$[$15$]$である.
(2)次に$\theta$を限りなく$0$に近づけていくとき,
\[ \theta,\ \sin \theta,\ \sqrt{2(1-\cos \theta)},\ 1-\cos \theta+\sin \theta \]
の値の大小関係が定まり,これらを小さい順に並べて,$a<b<c<d$とすると
\[ a=[$16$],\ b=[$17$],\ c=[$18$],\ d=[$19$] \]
であり,$\displaystyle \frac{d-a}{bc}$は$[$20$]$に近づく.
(1)円$C^\prime$を中心$(b_1,\ b_2)$,$b_i>0$,$i=1,\ 2$,半径$1$の円とし,点$\mathrm{A}$と$(1,\ 0)$で円$C$と交わっているものとすると,$(b_1,\ b_2)=[$14$]$である.また円$C^\prime$の点$\mathrm{A}$における接線の方程式は$[$15$]$である.
(2)次に$\theta$を限りなく$0$に近づけていくとき,
\[ \theta,\ \sin \theta,\ \sqrt{2(1-\cos \theta)},\ 1-\cos \theta+\sin \theta \]
の値の大小関係が定まり,これらを小さい順に並べて,$a<b<c<d$とすると
\[ a=[$16$],\ b=[$17$],\ c=[$18$],\ d=[$19$] \]
であり,$\displaystyle \frac{d-a}{bc}$は$[$20$]$に近づく.
![南山大学](./img/univ/nanzan.png)
$a>0$,$b>0$,$c>0$とする.原点を$\mathrm{O}$とする座標空間に$3$点$\mathrm{A}(a,\ 0,\ 0)$,$\mathrm{B}(0,\ b,\ 0)$,$\mathrm{C}(0,\ 0,\ c)$をとり,$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする.
(1)$\mathrm{G}$の座標を$a,\ b,\ c$で表せ.
(2)$\mathrm{G}$を通り,$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$と垂直な平面を$\alpha$とし,$\alpha$と$x$軸,$y$軸,$z$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$とする.$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$の座標を$a,\ b,\ c$で表せ.
(3)$(2)$の$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$について,$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$のなす角を$\theta$とする.$\cos \theta$を$a,\ b,\ c$で表せ.
(1)$\mathrm{G}$の座標を$a,\ b,\ c$で表せ.
(2)$\mathrm{G}$を通り,$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$と垂直な平面を$\alpha$とし,$\alpha$と$x$軸,$y$軸,$z$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$とする.$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$の座標を$a,\ b,\ c$で表せ.
(3)$(2)$の$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$について,$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$のなす角を$\theta$とする.$\cos \theta$を$a,\ b,\ c$で表せ.
![安田女子大学](./img/univ/yasuda.png)
原点$\mathrm{O}$,半径$1$の円の円周上に点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$がある.また,$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{3}$であるような定数$\alpha$に対し,$\angle \mathrm{POQ}=\alpha$,$\angle \mathrm{QOR}=2 \alpha$,$\angle \mathrm{POR}=3 \alpha$が成り立っているものとする.このとき,次の問いに答えよ.
(1)四角形$\mathrm{PQRO}$の面積$S$を,$\alpha$を用いて表せ.
(2)線分$\mathrm{PR}$の長さ$l$を,$\alpha$を用いて表せ.
(3)$\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{6}$であるとき,直線$\mathrm{PR}$と直線$\mathrm{OQ}$がなす角$\beta$に対し,$\sin \beta$の値を求めよ.
(1)四角形$\mathrm{PQRO}$の面積$S$を,$\alpha$を用いて表せ.
(2)線分$\mathrm{PR}$の長さ$l$を,$\alpha$を用いて表せ.
(3)$\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{6}$であるとき,直線$\mathrm{PR}$と直線$\mathrm{OQ}$がなす角$\beta$に対し,$\sin \beta$の値を求めよ.
![神奈川大学](./img/univ/kanagawa.png)
次の空欄$(\mathrm{a})$~$(\mathrm{g})$を適当に補え.
(1)$2$次方程式$x^2-2x+2=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき,$\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}+\frac{\alpha}{\beta}$の値は$[$(\mathrm{a])$}$である.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{0}}$でない$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$は,なす角が${60}^\circ$で,$|\overrightarrow{a}|=2 |\overrightarrow{b}|$である.$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$と$2 \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$が垂直であるとき,$t$の値は$[$(\mathrm{b])$}$である.
(3)$a^x=\sqrt{3}+\sqrt{2}$のとき,$\displaystyle \frac{a^{3x}-a^{-3x}}{a^x-a^{-x}}$の値は$[$(\mathrm{c])$}$である.
(4)円$x^2+y^2-2x-4y-4=0$上の点$\mathrm{A}$と,円$x^2+y^2-12x-14y+81=0$上の点$\mathrm{B}$について,$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の距離の最小値は$[$(\mathrm{d])$}$である.
(5)$6$枚のコインを同時に投げるとき,ちょうど$3$枚のコインが表になる確率は$[$(\mathrm{e])$}$である.
(6)定数$a,\ b$に対して,$\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{x^2-b}{x-a}=6$が成り立つとする.このとき,$a=[($\mathrm{f])$}$,$b=[$(\mathrm{g])$}$である.
(1)$2$次方程式$x^2-2x+2=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき,$\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}+\frac{\alpha}{\beta}$の値は$[$(\mathrm{a])$}$である.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{0}}$でない$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$は,なす角が${60}^\circ$で,$|\overrightarrow{a}|=2 |\overrightarrow{b}|$である.$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$と$2 \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$が垂直であるとき,$t$の値は$[$(\mathrm{b])$}$である.
(3)$a^x=\sqrt{3}+\sqrt{2}$のとき,$\displaystyle \frac{a^{3x}-a^{-3x}}{a^x-a^{-x}}$の値は$[$(\mathrm{c])$}$である.
(4)円$x^2+y^2-2x-4y-4=0$上の点$\mathrm{A}$と,円$x^2+y^2-12x-14y+81=0$上の点$\mathrm{B}$について,$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の距離の最小値は$[$(\mathrm{d])$}$である.
(5)$6$枚のコインを同時に投げるとき,ちょうど$3$枚のコインが表になる確率は$[$(\mathrm{e])$}$である.
(6)定数$a,\ b$に対して,$\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{x^2-b}{x-a}=6$が成り立つとする.このとき,$a=[($\mathrm{f])$}$,$b=[$(\mathrm{g])$}$である.
![安田女子大学](./img/univ/yasuda.png)
$xy$座標平面上に$\mathrm{A}(3 \sqrt{3},\ 7)$,$\mathrm{B}(\sqrt{3},\ -5)$,$\mathrm{C}(0,\ -2)$の$3$点がある.
(1)$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$を求めよ.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{CA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CB}}$のなす角$\theta$を求めよ.ただし,$0^\circ \leqq \theta \leqq {180}^\circ$とする.
(3)線分$\mathrm{AB}$を$2:3$で内分する点を$\mathrm{P}$としたとき,$\triangle \mathrm{APC}$の面積$S$を求めよ.
(1)$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$を求めよ.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{CA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CB}}$のなす角$\theta$を求めよ.ただし,$0^\circ \leqq \theta \leqq {180}^\circ$とする.
(3)線分$\mathrm{AB}$を$2:3$で内分する点を$\mathrm{P}$としたとき,$\triangle \mathrm{APC}$の面積$S$を求めよ.
![北里大学](./img/univ/kitazato.png)
空間内に$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$,$\mathrm{A}(-3,\ 1,\ 0)$,$\mathrm{B}(1,\ t,\ -1)$,$\mathrm{C}(-1,\ 2,\ 0)$がある.ただし,$t$は定数とする.$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$,$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$,$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とするとき,次の$[ ]$にあてはまる答を求めよ.
(1)$\overrightarrow{a}$の大きさ$|\overrightarrow{a}|$は$[サ]$で,$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{c}$のなす角$\theta (0^\circ \leqq \theta \leqq {180}^\circ)$は$\theta=[シ]$である.また,$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角が${135}^\circ$となるような$t$の値は$t=[ス]$または$t=[セ]$である.
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$S$とするとき,$S$を$t$を用いて表すと$S=[ソ]$である.また,条件$\displaystyle S \geqq \frac{\sqrt{21}}{2}$を満たす$t$のとり得る値の範囲は$[タ]$である.
(1)$\overrightarrow{a}$の大きさ$|\overrightarrow{a}|$は$[サ]$で,$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{c}$のなす角$\theta (0^\circ \leqq \theta \leqq {180}^\circ)$は$\theta=[シ]$である.また,$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角が${135}^\circ$となるような$t$の値は$t=[ス]$または$t=[セ]$である.
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$S$とするとき,$S$を$t$を用いて表すと$S=[ソ]$である.また,条件$\displaystyle S \geqq \frac{\sqrt{21}}{2}$を満たす$t$のとり得る値の範囲は$[タ]$である.
![北里大学](./img/univ/kitazato.png)
つぎの$[ ]$にあてはまる答を記せ.
(1)空間に$4$点$\mathrm{A}(5,\ 1,\ 3)$,$\mathrm{B}(4,\ 4,\ 3)$,$\mathrm{C}(2,\ 3,\ 5)$,$\mathrm{D}(4,\ 1,\ 3)$がある.
(i) $\overrightarrow{\mathrm{DA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DB}}$のなす角を$\theta$とおくとき,$\theta=[ア]$である.ただし,$0^\circ \leqq \theta \leqq {180}^\circ$とする.
(ii) 四面体$\mathrm{ABCD}$の体積は$[イ]$である.
(2)$a$を実数とする.$x$についての$2$次方程式$x^2-2x \log_2 \{(a+1)(a-5)\}+4=0$の解の$1$つが$2$であるとき,$a$の値は$[ウ]$である.また,この$2$次方程式が実数解をもたないような$a$の値の範囲は$[エ]$である.
(3)不等式$\displaystyle x^2+2x \leqq y \leqq 2x+2 \leqq \frac{4}{3}y$の表す領域の面積は$[オ]$である.また,この領域上の点$(x,\ y)$のうち,$5x-3y$が最小となるような点の座標は$[カ]$である.
(4)$n$は正の整数とする.階段を$1$度に$1$段,$2$段または$3$段登る.このとき,$n$段からなる階段の登り方の総数を$a_n$とする.例えば,$a_1=1$であり,$a_2=2$である.
(i) $a_3$の値は$[キ]$である.
(ii) $a_4$の値は$[ク]$である.
(iii) $a_{10}$の値は$[ケ]$である.
(5)$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$とする.曲線$y=\sin x$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( t+\frac{\pi}{2},\ \sin \left( t+\frac{\pi}{2} \right) \right)$における法線を$\ell$とおく.直線$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$を$m$とおき,法線$\ell$と直線$m$の交点を$\mathrm{Q}$とする.
(i) $\displaystyle t=\frac{\pi}{3}$のとき,点$\mathrm{Q}$の座標は$[コ]$である.
(ii) 曲線$y=\sin x$と法線$\ell$および直線$m$で囲まれた部分の面積を$S(t)$とするとき,極限$\displaystyle \lim_{t \to +0} \frac{S(t)}{t}$の値は$[サ]$である.
(1)空間に$4$点$\mathrm{A}(5,\ 1,\ 3)$,$\mathrm{B}(4,\ 4,\ 3)$,$\mathrm{C}(2,\ 3,\ 5)$,$\mathrm{D}(4,\ 1,\ 3)$がある.
(i) $\overrightarrow{\mathrm{DA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DB}}$のなす角を$\theta$とおくとき,$\theta=[ア]$である.ただし,$0^\circ \leqq \theta \leqq {180}^\circ$とする.
(ii) 四面体$\mathrm{ABCD}$の体積は$[イ]$である.
(2)$a$を実数とする.$x$についての$2$次方程式$x^2-2x \log_2 \{(a+1)(a-5)\}+4=0$の解の$1$つが$2$であるとき,$a$の値は$[ウ]$である.また,この$2$次方程式が実数解をもたないような$a$の値の範囲は$[エ]$である.
(3)不等式$\displaystyle x^2+2x \leqq y \leqq 2x+2 \leqq \frac{4}{3}y$の表す領域の面積は$[オ]$である.また,この領域上の点$(x,\ y)$のうち,$5x-3y$が最小となるような点の座標は$[カ]$である.
(4)$n$は正の整数とする.階段を$1$度に$1$段,$2$段または$3$段登る.このとき,$n$段からなる階段の登り方の総数を$a_n$とする.例えば,$a_1=1$であり,$a_2=2$である.
(i) $a_3$の値は$[キ]$である.
(ii) $a_4$の値は$[ク]$である.
(iii) $a_{10}$の値は$[ケ]$である.
(5)$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$とする.曲線$y=\sin x$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( t+\frac{\pi}{2},\ \sin \left( t+\frac{\pi}{2} \right) \right)$における法線を$\ell$とおく.直線$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$を$m$とおき,法線$\ell$と直線$m$の交点を$\mathrm{Q}$とする.
(i) $\displaystyle t=\frac{\pi}{3}$のとき,点$\mathrm{Q}$の座標は$[コ]$である.
(ii) 曲線$y=\sin x$と法線$\ell$および直線$m$で囲まれた部分の面積を$S(t)$とするとき,極限$\displaystyle \lim_{t \to +0} \frac{S(t)}{t}$の値は$[サ]$である.
![久留米大学](./img/univ/kurume.png)
$xy$平面上において,原点を通り傾きが正の直線を$\ell$とする.直線$\ell$上の$y$座標が$1$の点に,$x$軸の正の方向から$x$軸に平行な光線を入射したとき,光線は直線$\ell$と$x$軸で次々と反射を繰り返し,$n$回目に反射した後,入射した経路を逆に進んだとする.このときの直線$\ell$と$x$軸とのなす角を$\theta$とする.直線$\ell$での最初の反射を$1$回目,反射した点を$\mathrm{P}_1$とし,その後光線が反射した点を$\mathrm{P}_2,\ \mathrm{P}_3,\ \cdots,\ \mathrm{P}_n$とする.また,$0^\circ<\theta<{90}^\circ$とする.
(1)$\theta={30}^\circ$のときの$\mathrm{P}_n$の座標は$[$4$]$である.
(2)$\theta$のうち,その値が整数となるものは全部で$[$5$]$個ある.
(3)$\mathrm{P}_1$から$\mathrm{P}_n$までの光の経路の長さは$[$6$]$である.
(1)$\theta={30}^\circ$のときの$\mathrm{P}_n$の座標は$[$4$]$である.
(2)$\theta$のうち,その値が整数となるものは全部で$[$5$]$個ある.
(3)$\mathrm{P}_1$から$\mathrm{P}_n$までの光の経路の長さは$[$6$]$である.
![同志社大学](./img/univ/doshisha.png)
曲線$\displaystyle C_1:y=1-\frac{1}{2}x^2$上を動く点$\mathrm{P}$の座標を$(x_0,\ y_0)$とする.点$\mathrm{P}$における曲線$C_1$の法線上にあり,点$\mathrm{P}$からの距離が$1$の点で$\displaystyle y>1-\frac{1}{2}x^2$を満たす点を$\mathrm{Q}(x_1,\ y_1)$とする.また,$2$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$を通る直線が$x$軸の正の向きとなす角を$\theta (0<\theta<\pi)$とする.次の問いに答えよ.
(1)$\displaystyle \theta \neq \frac{\pi}{2}$のとき,$\tan \theta$を$x_0$を用いて表せ.
(2)$x_0$と$y_0$を$\cos \theta$と$\sin \theta$を用いて表せ.
(3)$x_1$と$y_1$を$\cos \theta$と$\sin \theta$を用いて表せ.また,$y_1=0$となるときの$\theta$の値を求めよ.
(4)曲線$C_1$上を点$\mathrm{P}$が動くとき,点$\mathrm{Q}$が描く曲線を$C_2$とする.曲線$C_2$と$x$軸が囲む図形の面積$S$を求めよ.
(1)$\displaystyle \theta \neq \frac{\pi}{2}$のとき,$\tan \theta$を$x_0$を用いて表せ.
(2)$x_0$と$y_0$を$\cos \theta$と$\sin \theta$を用いて表せ.
(3)$x_1$と$y_1$を$\cos \theta$と$\sin \theta$を用いて表せ.また,$y_1=0$となるときの$\theta$の値を求めよ.
(4)曲線$C_1$上を点$\mathrm{P}$が動くとき,点$\mathrm{Q}$が描く曲線を$C_2$とする.曲線$C_2$と$x$軸が囲む図形の面積$S$を求めよ.
![獨協医科大学](./img/univ/dokkyoika.png)
次の問いに答えなさい.
(1)$a$を正の定数とし,$x$についての$2$つの不等式
$\log_3 (x+2a)+\log_3 (x+3a)<\log_3 10ax \cdots\cdots①$
$\log_3 (3x-4)+\log_3 (3x+2)<2 \log_9 (6x-5)+1 \cdots\cdots②$
を考える.
$①$の解は
\[ [ア]a<x<[イ]a \]
である.
$②$の解は
\[ \frac{[ウ]}{[エ]}<x<\frac{[オ]}{[カ]} \]
である.
$①,\ ②$をともに満たす実数$x$が存在するとき,$a$のとり得る値の範囲は
\[ \frac{[キ]}{[ク]}<a<\frac{[ケ]}{[コ]} \]
である.
(2)放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{2}x^2$上に$2$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$がある.$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$p,\ q$としたとき,$p,\ q$は$q<p$を満たす整数で,$p>0$,$p+q$は正の偶数とする.
また,点$\mathrm{P}$における放物線$C$の接線を$\ell$,$2$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$を通る直線を$m$とし,直線$\ell,\ m$が$x$軸の正の向きとなす角をそれぞれ$\displaystyle \alpha,\ \beta \left( 0<\alpha<\frac{\pi}{2},\ 0<\beta<\frac{\pi}{2} \right)$,$2$直線$\ell,\ m$のなす角を$\displaystyle \theta \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とする.
$p=5,\ q=1$のとき
\[ \tan \alpha=[サ],\quad \tan \beta=[シ] \]
であり
\[ \tan \theta=\frac{1}{[ス]} \]
である.
また,$\displaystyle \tan \theta=\frac{1}{7}$を満たす整数$p,\ q$の組$(p,\ q)$をすべてあげると,
\[ (p,\ q)=([セ],\ [ソ]),\ ([タチ],\ [ツテ]),\ ([トナ],\ [ニヌネ]) \]
である.ただし,$[セ]<[タチ]<[トナ]$とする.
(1)$a$を正の定数とし,$x$についての$2$つの不等式
$\log_3 (x+2a)+\log_3 (x+3a)<\log_3 10ax \cdots\cdots①$
$\log_3 (3x-4)+\log_3 (3x+2)<2 \log_9 (6x-5)+1 \cdots\cdots②$
を考える.
$①$の解は
\[ [ア]a<x<[イ]a \]
である.
$②$の解は
\[ \frac{[ウ]}{[エ]}<x<\frac{[オ]}{[カ]} \]
である.
$①,\ ②$をともに満たす実数$x$が存在するとき,$a$のとり得る値の範囲は
\[ \frac{[キ]}{[ク]}<a<\frac{[ケ]}{[コ]} \]
である.
(2)放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{2}x^2$上に$2$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$がある.$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$p,\ q$としたとき,$p,\ q$は$q<p$を満たす整数で,$p>0$,$p+q$は正の偶数とする.
また,点$\mathrm{P}$における放物線$C$の接線を$\ell$,$2$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$を通る直線を$m$とし,直線$\ell,\ m$が$x$軸の正の向きとなす角をそれぞれ$\displaystyle \alpha,\ \beta \left( 0<\alpha<\frac{\pi}{2},\ 0<\beta<\frac{\pi}{2} \right)$,$2$直線$\ell,\ m$のなす角を$\displaystyle \theta \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とする.
$p=5,\ q=1$のとき
\[ \tan \alpha=[サ],\quad \tan \beta=[シ] \]
であり
\[ \tan \theta=\frac{1}{[ス]} \]
である.
また,$\displaystyle \tan \theta=\frac{1}{7}$を満たす整数$p,\ q$の組$(p,\ q)$をすべてあげると,
\[ (p,\ q)=([セ],\ [ソ]),\ ([タチ],\ [ツテ]),\ ([トナ],\ [ニヌネ]) \]
である.ただし,$[セ]<[タチ]<[トナ]$とする.