「なす角」について
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国立 香川大学 2014年 第1問$1$辺の長さが$1$の正六角形$\mathrm{ABCDEF}$において，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{AF}}$と定める．このとき，次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$で表せ．
(2)辺$\mathrm{CD}$上に点$\mathrm{G}$を，辺$\mathrm{DE}$上に点$\mathrm{H}$をとり，線分$\mathrm{AG}$と$\mathrm{AH}$で正六角形の面積を$3$等分する．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$で表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$で表せ．
(2)辺$\mathrm{CD}$上に点$\mathrm{G}$を，辺$\mathrm{DE}$上に点$\mathrm{H}$をとり，線分$\mathrm{AG}$と$\mathrm{AH}$で正六角形の面積を$3$等分する．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$で表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．
国立 香川大学 2014年 第1問$1$辺の長さが$1$の正六角形$\mathrm{ABCDEF}$において，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{AF}}$と定める．このとき，次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$で表せ．
(2)辺$\mathrm{CD}$上に点$\mathrm{G}$を，辺$\mathrm{DE}$上に点$\mathrm{H}$をとり，線分$\mathrm{AG}$と$\mathrm{AH}$で正六角形の面積を$3$等分する．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$で表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$で表せ．
(2)辺$\mathrm{CD}$上に点$\mathrm{G}$を，辺$\mathrm{DE}$上に点$\mathrm{H}$をとり，線分$\mathrm{AG}$と$\mathrm{AH}$で正六角形の面積を$3$等分する．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$で表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．
国立 秋田大学 2014年 第3問原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C$上の点を$\mathrm{P}$とし，線分$\mathrm{OP}$と$x$軸の正の向きとのなす角を$\theta$とする．ただし，$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする．また，$C$上の点$\mathrm{Q}$を，線分$\mathrm{OQ}$と$x$軸の正の向きとのなす角が$\displaystyle \frac{\theta}{2}$となる点とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)直線$\mathrm{OQ}$と直線$x=1$との交点を$(1,\ t)$とするとき，$\mathrm{P}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{P}$から$x$軸におろした垂線の交点を$\mathrm{H}$とする．$\triangle \mathrm{OPH}$の三辺の長さの和を$\theta$で表す関数を$r(\theta)$とするとき，関数$\displaystyle y=\frac{1}{r(\theta)}$のグラフをかけ．ただし，横軸に$\theta$，縦軸に$y$をとるものとする．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{r(\theta)} \, d\theta$を求めよ．
(1)直線$\mathrm{OQ}$と直線$x=1$との交点を$(1,\ t)$とするとき，$\mathrm{P}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{P}$から$x$軸におろした垂線の交点を$\mathrm{H}$とする．$\triangle \mathrm{OPH}$の三辺の長さの和を$\theta$で表す関数を$r(\theta)$とするとき，関数$\displaystyle y=\frac{1}{r(\theta)}$のグラフをかけ．ただし，横軸に$\theta$，縦軸に$y$をとるものとする．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{r(\theta)} \, d\theta$を求めよ．
国立 秋田大学 2014年 第3問原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C$上の点を$\mathrm{P}$とし，線分$\mathrm{OP}$と$x$軸の正の向きとのなす角を$\theta$とする．ただし，$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする．また，$C$上の点$\mathrm{Q}$を，線分$\mathrm{OQ}$と$x$軸の正の向きとのなす角が$\displaystyle \frac{\theta}{2}$となる点とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)直線$\mathrm{OQ}$と直線$x=1$との交点を$(1,\ t)$とするとき，$\mathrm{P}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{P}$から$x$軸におろした垂線の交点を$\mathrm{H}$とする．$\triangle \mathrm{OPH}$の三辺の長さの和を$\theta$で表す関数を$r(\theta)$とするとき，関数$\displaystyle y=\frac{1}{r(\theta)}$のグラフをかけ．ただし，横軸に$\theta$，縦軸に$y$をとるものとする．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{r(\theta)} \, d\theta$を求めよ．
(1)直線$\mathrm{OQ}$と直線$x=1$との交点を$(1,\ t)$とするとき，$\mathrm{P}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{P}$から$x$軸におろした垂線の交点を$\mathrm{H}$とする．$\triangle \mathrm{OPH}$の三辺の長さの和を$\theta$で表す関数を$r(\theta)$とするとき，関数$\displaystyle y=\frac{1}{r(\theta)}$のグラフをかけ．ただし，横軸に$\theta$，縦軸に$y$をとるものとする．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{r(\theta)} \, d\theta$を求めよ．
国立 東京農工大学 2014年 第1問$r,\ s$は実数で，$r>0$とする．$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に$4$点$\mathrm{A}(2,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{D}(r,\ r,\ r)$がある．さらに，点$\mathrm{E}$を，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$が
\[ \overrightarrow{\mathrm{OE}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+s(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}) \]
で定まる点とする．次の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る球面の中心を$\mathrm{F}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{DE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$が成り立つとき，$s$を$r$の式で表せ．
(3)$(2)$の条件$\overrightarrow{\mathrm{DE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$を満たし，さらに$|\overrightarrow{\mathrm{DE}}|=r$，$\overrightarrow{\mathrm{DB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}}<0$を満たすような$r$の値を求めよ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OE}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+s(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}) \]
で定まる点とする．次の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る球面の中心を$\mathrm{F}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{DE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$が成り立つとき，$s$を$r$の式で表せ．
(3)$(2)$の条件$\overrightarrow{\mathrm{DE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$を満たし，さらに$|\overrightarrow{\mathrm{DE}}|=r$，$\overrightarrow{\mathrm{DB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}}<0$を満たすような$r$の値を求めよ．
国立 秋田大学 2014年 第3問原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C$上の点を$\mathrm{P}$とし，線分$\mathrm{OP}$と$x$軸の正の向きとのなす角を$\theta$とする．ただし，$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする．また，$C$上の点$\mathrm{Q}$を，線分$\mathrm{OQ}$と$x$軸の正の向きとのなす角が$\displaystyle \frac{\theta}{2}$となる点とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)直線$\mathrm{OQ}$と直線$x=1$との交点を$(1,\ t)$とするとき，$\mathrm{P}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{P}$から$x$軸におろした垂線の交点を$\mathrm{H}$とする．$\triangle \mathrm{OPH}$の三辺の長さの和を$\theta$で表す関数を$r(\theta)$とするとき，関数$\displaystyle y=\frac{1}{r(\theta)}$のグラフをかけ．ただし，横軸に$\theta$，縦軸に$y$をとるものとする．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{r(\theta)} \, d\theta$を求めよ．
(1)直線$\mathrm{OQ}$と直線$x=1$との交点を$(1,\ t)$とするとき，$\mathrm{P}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{P}$から$x$軸におろした垂線の交点を$\mathrm{H}$とする．$\triangle \mathrm{OPH}$の三辺の長さの和を$\theta$で表す関数を$r(\theta)$とするとき，関数$\displaystyle y=\frac{1}{r(\theta)}$のグラフをかけ．ただし，横軸に$\theta$，縦軸に$y$をとるものとする．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{r(\theta)} \, d\theta$を求めよ．
国立 秋田大学 2014年 第3問原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C$上の点を$\mathrm{P}$とし，線分$\mathrm{OP}$と$x$軸の正の向きとのなす角を$\theta$とする．ただし，$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする．また，$C$上の点$\mathrm{Q}$を，線分$\mathrm{OQ}$と$x$軸の正の向きとのなす角が$\displaystyle \frac{\theta}{2}$となる点とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)直線$\mathrm{OQ}$と直線$x=1$との交点を$(1,\ t)$とするとき，$\mathrm{P}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{P}$から$x$軸におろした垂線の交点を$\mathrm{H}$とする．$\triangle \mathrm{OPH}$の三辺の長さの和を$\theta$で表す関数を$r(\theta)$とするとき，関数$\displaystyle y=\frac{1}{r(\theta)}$のグラフをかけ．ただし，横軸に$\theta$，縦軸に$y$をとるものとする．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{r(\theta)} \, d\theta$を求めよ．
(1)直線$\mathrm{OQ}$と直線$x=1$との交点を$(1,\ t)$とするとき，$\mathrm{P}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{P}$から$x$軸におろした垂線の交点を$\mathrm{H}$とする．$\triangle \mathrm{OPH}$の三辺の長さの和を$\theta$で表す関数を$r(\theta)$とするとき，関数$\displaystyle y=\frac{1}{r(\theta)}$のグラフをかけ．ただし，横軸に$\theta$，縦軸に$y$をとるものとする．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{r(\theta)} \, d\theta$を求めよ．
国立 信州大学 2014年 第2問次の各問いに答えよ．
(1)$3$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(2,\ 1,\ 1)$，$\overrightarrow{b}=(2,\ s,\ t)$，$\overrightarrow{c}=(p,\ q,\ 2)$が次の条件をみたすような，$s,\ t,\ p,\ q$の値を求めよ．
(i) $|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|$
(ii) $\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角は$60^\circ$
(iii) $\overrightarrow{c}$は$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の両方に直交する．
(2)$n$を$0$以上の整数とする．$n+1$個の自然数$2^0,\ 2^1,\ \cdots,\ 2^n$の中に，最上位の桁の数字が$1$であるものはいくつあるか．ただし，$x$を超えない最大の整数を表す記号$[x]$を用いて解答してよい．
注：例えば$2014$の最上位の桁の数字は$2$であり，$14225$の最上位の桁の数字は$1$である．
(1)$3$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(2,\ 1,\ 1)$，$\overrightarrow{b}=(2,\ s,\ t)$，$\overrightarrow{c}=(p,\ q,\ 2)$が次の条件をみたすような，$s,\ t,\ p,\ q$の値を求めよ．
(i) $|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|$
(ii) $\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角は$60^\circ$
(iii) $\overrightarrow{c}$は$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の両方に直交する．
(2)$n$を$0$以上の整数とする．$n+1$個の自然数$2^0,\ 2^1,\ \cdots,\ 2^n$の中に，最上位の桁の数字が$1$であるものはいくつあるか．ただし，$x$を超えない最大の整数を表す記号$[x]$を用いて解答してよい．
注：例えば$2014$の最上位の桁の数字は$2$であり，$14225$の最上位の桁の数字は$1$である．
国立 信州大学 2014年 第3問次の各問いに答えよ．
(1)$3$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(2,\ 1,\ 1)$，$\overrightarrow{b}=(2,\ s,\ t)$，$\overrightarrow{c}=(p,\ q,\ 2)$が次の条件をみたすような，$s,\ t,\ p,\ q$の値を求めよ．
(i) $|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|$
(ii) $\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角は$60^\circ$
(iii) $\overrightarrow{c}$は$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の両方に直交する．
(2)$n$を$0$以上の整数とする．$n+1$個の自然数$2^0,\ 2^1,\ \cdots,\ 2^n$の中に，最上位の桁の数字が$1$であるものはいくつあるか．ただし，$x$を超えない最大の整数を表す記号$[x]$を用いて解答してよい．
注：例えば$2014$の最上位の桁の数字は$2$であり，$14225$の最上位の桁の数字は$1$である．
(1)$3$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(2,\ 1,\ 1)$，$\overrightarrow{b}=(2,\ s,\ t)$，$\overrightarrow{c}=(p,\ q,\ 2)$が次の条件をみたすような，$s,\ t,\ p,\ q$の値を求めよ．
(i) $|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|$
(ii) $\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角は$60^\circ$
(iii) $\overrightarrow{c}$は$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の両方に直交する．
(2)$n$を$0$以上の整数とする．$n+1$個の自然数$2^0,\ 2^1,\ \cdots,\ 2^n$の中に，最上位の桁の数字が$1$であるものはいくつあるか．ただし，$x$を超えない最大の整数を表す記号$[x]$を用いて解答してよい．
注：例えば$2014$の最上位の桁の数字は$2$であり，$14225$の最上位の桁の数字は$1$である．
私立 東北工業大学 2014年 第3問次の問いに答えよ．
(1)$\sqrt[3]{a^4} \times a^4 \times \sqrt[6]{a^2} \div (a \sqrt[3]{a^2})=a^{[ナ][ニ]}$
(2)$\log_3 108-3 \log_9 4+2 \log_9 6=[ヌ][ネ]$
(3)$2$個のさいころを同時に投げるとき，目の和が素数になる確率は$\displaystyle \frac{[ノ][ハ]}{12}$である．
(4)等比数列$\{a_n\}$の第$3$項は$12$，第$6$項は$96$である．この数列の初項から第$n$項までの和が$765$になった．このとき$n=[ヒ][フ]$である．
(5)平面上の$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(4,\ 2)$と$\overrightarrow{b}=(2 \sqrt{3}-1,\ 2+\sqrt{3})$のなす角は$[ヘ][ホ]^\circ$である．
(1)$\sqrt[3]{a^4} \times a^4 \times \sqrt[6]{a^2} \div (a \sqrt[3]{a^2})=a^{[ナ][ニ]}$
(2)$\log_3 108-3 \log_9 4+2 \log_9 6=[ヌ][ネ]$
(3)$2$個のさいころを同時に投げるとき，目の和が素数になる確率は$\displaystyle \frac{[ノ][ハ]}{12}$である．
(4)等比数列$\{a_n\}$の第$3$項は$12$，第$6$項は$96$である．この数列の初項から第$n$項までの和が$765$になった．このとき$n=[ヒ][フ]$である．
(5)平面上の$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(4,\ 2)$と$\overrightarrow{b}=(2 \sqrt{3}-1,\ 2+\sqrt{3})$のなす角は$[ヘ][ホ]^\circ$である．