「なす角」について
タグ「なす角」の検索結果
(6ページ目:全241問中51問~60問を表示)![日本獣医生命科学大学](./img/univ/nihonjuui.png)
ベクトル$(1,\ 1,\ -1)$と直交し,ベクトル$(1,\ 0,\ 1)$とのなす角が${30}^\circ$で,大きさが$\sqrt{6}$のベクトルは$2$つある.これらをすべて求めよ.
![西南学院大学](./img/univ/seinan.png)
以下の問に答えよ.
(1)正$12$角形の辺と対角線の数を合わせると全部で$[クケ]$本ある.
(2)正$12$角形の辺と対角線を組み合わせてできる四角形は,全部で$[コサシ]$個である.
(3)円$C$に内接する正$12$角形がある.その正$12$角形の隣りあう$2$つの頂点を$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$とする.頂点$\mathrm{A}$を通る直線$\ell$が円$C$に接しているとき,直線$\ell$と直線$\mathrm{AB}$とがなす角は,${[スセ]}^\circ$である.ただし,$0^\circ \leqq {[スセ]}^\circ \leqq {90}^\circ$とする.
(1)正$12$角形の辺と対角線の数を合わせると全部で$[クケ]$本ある.
(2)正$12$角形の辺と対角線を組み合わせてできる四角形は,全部で$[コサシ]$個である.
(3)円$C$に内接する正$12$角形がある.その正$12$角形の隣りあう$2$つの頂点を$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$とする.頂点$\mathrm{A}$を通る直線$\ell$が円$C$に接しているとき,直線$\ell$と直線$\mathrm{AB}$とがなす角は,${[スセ]}^\circ$である.ただし,$0^\circ \leqq {[スセ]}^\circ \leqq {90}^\circ$とする.
![山口東京理科大学](./img/univ/yamaguchitokyorika.png)
$2$直線$y=3x-2$,$\displaystyle y=\frac{1}{2}x+2$のなす角$\theta$は$\theta={[チ][ツ]}^\circ$である.ただし,$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする.
![昭和大学](./img/univ/showa.png)
一辺の長さが$2$の正三角形$\mathrm{ABC}$の$3$辺$\mathrm{AB}$,$\mathrm{BC}$,$\mathrm{CA}$の中点をそれぞれ$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$,$\mathrm{F}$とする.$0<a<1$として,線分$\mathrm{AD}$を$(1-a):a$に内分する点を$\mathrm{O}$,線分$\mathrm{CE}$を$a:(1-a)$に内分する点を$\mathrm{P}$とし,直線$\mathrm{OP}$と直線$\mathrm{EF}$の交点を$\mathrm{Q}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{x}$,$\overrightarrow{\mathrm{AF}}=\overrightarrow{y}$とするとき,以下の各問いに答えよ.
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{x},\ \overrightarrow{y},\ a$で表せ.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}},\ a$で表せ.
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OP}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角を$\theta$とするとき,$\cos^2 \theta$を$a$で表せ.
(4)$\theta={45}^\circ$のときの$a$の値を求めよ.
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{x},\ \overrightarrow{y},\ a$で表せ.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}},\ a$で表せ.
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OP}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角を$\theta$とするとき,$\cos^2 \theta$を$a$で表せ.
(4)$\theta={45}^\circ$のときの$a$の値を求めよ.
![西南学院大学](./img/univ/seinan.png)
原点を$\mathrm{O}$とし,三角形$\mathrm{OAB}$がある.$\mathrm{A}(\overrightarrow{a})$,$\mathrm{B}(\overrightarrow{b})$を通る直線を$\ell$とするとき,以下の問に答えよ.
(1)$\ell$上の任意の点を$\mathrm{P}(\overrightarrow{p})$とすると,直線$\ell$のベクトル方程式は実数$t$に対して,
\[ \overrightarrow{p}=(1-t) \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b} \cdots\cdots① \]
となることを証明せよ.
(2)$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$のなす角を$2$等分する直線$m$上の任意の点を$\mathrm{Q}(\overrightarrow{q})$とすると,直線$m$のベクトル方程式は,実数$k$に対して,
\[ \overrightarrow{q}=k \left( \frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|} +\frac{\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|} \right) \]
となることを証明せよ.
また,$\mathrm{P}(\overrightarrow{p})$が直線$\ell$と直線$m$の交点であるとき,式$①$の$t$を$|\overrightarrow{a}|$と$|\overrightarrow{b}|$で表せ.
(1)$\ell$上の任意の点を$\mathrm{P}(\overrightarrow{p})$とすると,直線$\ell$のベクトル方程式は実数$t$に対して,
\[ \overrightarrow{p}=(1-t) \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b} \cdots\cdots① \]
となることを証明せよ.
(2)$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$のなす角を$2$等分する直線$m$上の任意の点を$\mathrm{Q}(\overrightarrow{q})$とすると,直線$m$のベクトル方程式は,実数$k$に対して,
\[ \overrightarrow{q}=k \left( \frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|} +\frac{\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|} \right) \]
となることを証明せよ.
また,$\mathrm{P}(\overrightarrow{p})$が直線$\ell$と直線$m$の交点であるとき,式$①$の$t$を$|\overrightarrow{a}|$と$|\overrightarrow{b}|$で表せ.
![東京理科大学](./img/univ/tokyoridai.png)
$s$を$-1 \leqq s \leqq 1$を満たす実数とする.$xy$平面上のベクトル$\overrightarrow{a_s},\ \overrightarrow{b_s},\ \overrightarrow{c_s}$を
\[ \overrightarrow{a_s}=\left( s,\ \sqrt{1-s^2} \right),\quad \overrightarrow{b_s}=\left( \sqrt{1-s^2},\ -s \right),\quad \overrightarrow{c_s}=\left( s \sqrt{1+s^2},\ \sqrt{1-s^4} \right) \]
と定める.$t$を実数とし,$f_t(s),\ g_t(s),\ h_t(s),\ k_t(s)$を
$\displaystyle \overrightarrow{a_s}+\frac{t}{|\overrightarrow{b_s}|} \overrightarrow{b_s}=(f_t(s),\ g_t(s))$
$\displaystyle \overrightarrow{a_s}-\frac{t}{|\overrightarrow{c_s}|} \overrightarrow{c_s}=(h_t(s),\ k_t(s))$
により定める.さらに,$s$を媒介変数とする$2$つの曲線
$\displaystyle C_t:x=f_t(s),\ y=g_t(s) \quad \left( -\frac{1}{2} \leqq s \leqq 1 \right),$
$K_t:x=h_t(s),\ y=k_t(s) \quad (-1 \leqq s \leqq 1)$
を考える.次の各問いに答えよ.
(1)$f_t(s),\ g_t(s),\ h_t(s),\ k_t(s)$を$s$と$t$を用いて表せ.
(2)$\overrightarrow{a_s}$と$\overrightarrow{b_s}$のなす角,および,$\overrightarrow{a_s}$と$\overrightarrow{c_s}$のなす角を求めよ.
(3)${f_t(s)}^2+{g_t(s)}^2$を$t$のみを用いて表せ.
(4)$t$が$0$から$\sqrt{3}$まで動くとき,$C_t$が通過する部分を$D$とする.$D$を図示せよ.
(5)$(4)$で定めた$D$の面積を求めよ.
(6)$(4)$で定めた$D$を$x$軸のまわりに$1$回転して得られる回転体の体積を求めよ.
(7)$K_{\frac{1}{2}},\ K_1,\ K_{\frac{3}{2}}$を図示せよ.
(8)$t$が$\displaystyle \frac{1}{2} \leqq |t-1| \leqq 1$を満たす範囲を動くとき,$K_t$が通過する部分の面積を求めよ.
\[ \overrightarrow{a_s}=\left( s,\ \sqrt{1-s^2} \right),\quad \overrightarrow{b_s}=\left( \sqrt{1-s^2},\ -s \right),\quad \overrightarrow{c_s}=\left( s \sqrt{1+s^2},\ \sqrt{1-s^4} \right) \]
と定める.$t$を実数とし,$f_t(s),\ g_t(s),\ h_t(s),\ k_t(s)$を
$\displaystyle \overrightarrow{a_s}+\frac{t}{|\overrightarrow{b_s}|} \overrightarrow{b_s}=(f_t(s),\ g_t(s))$
$\displaystyle \overrightarrow{a_s}-\frac{t}{|\overrightarrow{c_s}|} \overrightarrow{c_s}=(h_t(s),\ k_t(s))$
により定める.さらに,$s$を媒介変数とする$2$つの曲線
$\displaystyle C_t:x=f_t(s),\ y=g_t(s) \quad \left( -\frac{1}{2} \leqq s \leqq 1 \right),$
$K_t:x=h_t(s),\ y=k_t(s) \quad (-1 \leqq s \leqq 1)$
を考える.次の各問いに答えよ.
(1)$f_t(s),\ g_t(s),\ h_t(s),\ k_t(s)$を$s$と$t$を用いて表せ.
(2)$\overrightarrow{a_s}$と$\overrightarrow{b_s}$のなす角,および,$\overrightarrow{a_s}$と$\overrightarrow{c_s}$のなす角を求めよ.
(3)${f_t(s)}^2+{g_t(s)}^2$を$t$のみを用いて表せ.
(4)$t$が$0$から$\sqrt{3}$まで動くとき,$C_t$が通過する部分を$D$とする.$D$を図示せよ.
(5)$(4)$で定めた$D$の面積を求めよ.
(6)$(4)$で定めた$D$を$x$軸のまわりに$1$回転して得られる回転体の体積を求めよ.
(7)$K_{\frac{1}{2}},\ K_1,\ K_{\frac{3}{2}}$を図示せよ.
(8)$t$が$\displaystyle \frac{1}{2} \leqq |t-1| \leqq 1$を満たす範囲を動くとき,$K_t$が通過する部分の面積を求めよ.
![東京薬科大学](./img/univ/tokyoyakka.png)
次の問に答えよ.ただし,$*$については$+,\ -$の$1$つが入る.
(1)$\displaystyle a=\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}},\ b=\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}$のとき,$a+b=[$*$ア] \sqrt{[イ]}$,$a^2+b^2=[ウエ]$である.
(2)$\overrightarrow{p},\ \overrightarrow{q}$が$|\overrightarrow{p|}=2$,$|\overrightarrow{q|}=3$を満たし,$\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q}$,$6 \overrightarrow{p}-\overrightarrow{q}$が垂直のとき,$\overrightarrow{p}$と$\overrightarrow{q}$とのなす角$\theta$は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カ]} \pi$である.ただし,$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする.
(3)$1.44^n$の整数部分が$4$桁となるような整数$n$の範囲は$[キク] \leqq n \leqq [ケコ]$である.必要ならば$\log_{10}2=0.301$,$\log_{10}3=0.477$を用いよ.
(4)$x,\ y$が$2^x=3^y$を満たす正の実数であるとする.$2x$と$3y$の小さい方の値が$1$であるとき,$\displaystyle x+y=\frac{[サ]}{[シ]}$である.ただし,$\displaystyle \log_{10}2=\frac{3}{10}$,$\displaystyle \log_{10}3=\frac{1}{2}$として計算せよ.
(1)$\displaystyle a=\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}},\ b=\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}$のとき,$a+b=[$*$ア] \sqrt{[イ]}$,$a^2+b^2=[ウエ]$である.
(2)$\overrightarrow{p},\ \overrightarrow{q}$が$|\overrightarrow{p|}=2$,$|\overrightarrow{q|}=3$を満たし,$\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q}$,$6 \overrightarrow{p}-\overrightarrow{q}$が垂直のとき,$\overrightarrow{p}$と$\overrightarrow{q}$とのなす角$\theta$は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カ]} \pi$である.ただし,$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする.
(3)$1.44^n$の整数部分が$4$桁となるような整数$n$の範囲は$[キク] \leqq n \leqq [ケコ]$である.必要ならば$\log_{10}2=0.301$,$\log_{10}3=0.477$を用いよ.
(4)$x,\ y$が$2^x=3^y$を満たす正の実数であるとする.$2x$と$3y$の小さい方の値が$1$であるとき,$\displaystyle x+y=\frac{[サ]}{[シ]}$である.ただし,$\displaystyle \log_{10}2=\frac{3}{10}$,$\displaystyle \log_{10}3=\frac{1}{2}$として計算せよ.
![兵庫県立大学](./img/univ/hyougokenritsu.png)
放物線$C:y=x^2$上の点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$における$C$の接線$\ell_T$,さらに,点$\mathrm{A}$を通り,$\ell_T$に直交する直線(法線)$\ell_N$を考える.また,法線$\ell_N$に関して直線$x=a$と対称な直線を$\ell_R$とする.次の問に答えなさい.
(1)接線$\ell_T$と$x$軸のなす角を$\theta$とする.ただし,$a>0$の範囲では$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする.$a>0$のとき,$\displaystyle \tan \left( \frac{\pi}{2}+2\theta \right)$を$a$を用いて表しなさい.
(2)直線$\ell_R$は$a$の値によらず定点を通ることを示しなさい.
(1)接線$\ell_T$と$x$軸のなす角を$\theta$とする.ただし,$a>0$の範囲では$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする.$a>0$のとき,$\displaystyle \tan \left( \frac{\pi}{2}+2\theta \right)$を$a$を用いて表しなさい.
(2)直線$\ell_R$は$a$の値によらず定点を通ることを示しなさい.
![島根県立大学](./img/univ/shimanekenritsu.png)
$1$辺の長さが$1$である正四面体$\mathrm{ABCD}$がある.面$\mathrm{ABC}$と面$\mathrm{DBC}$のなす角を$\theta$とするとき,次の問いに答えなさい.
(1)$\cos \theta$を求めなさい.
(2)正四面体$\mathrm{ABCD}$の体積$V$を求めなさい.
(3)正四面体$\mathrm{ABCD}$に内接する球の半径$r$を求めなさい.
(1)$\cos \theta$を求めなさい.
(2)正四面体$\mathrm{ABCD}$の体積$V$を求めなさい.
(3)正四面体$\mathrm{ABCD}$に内接する球の半径$r$を求めなさい.
![広島市立大学](./img/univ/hiroshimashiritsu.png)
$1$辺の長さが$1$である正四面体$\mathrm{OABC}$において,$\mathrm{OA}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{P}$,$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{Q}$,$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{R}$,$\mathrm{OC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{S}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき,以下の問いに答えよ.
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$をそれぞれ求めよ.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$および$\overrightarrow{\mathrm{QS}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(3)$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$と$\overrightarrow{\mathrm{QS}}$のなす角を$\theta$とするとき,$\theta$は鋭角,直角,鈍角のいずれであるかを調べよ.
(4)線分$\mathrm{PR}$と線分$\mathrm{QS}$は交点をもつかどうかを調べよ.
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$をそれぞれ求めよ.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$および$\overrightarrow{\mathrm{QS}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(3)$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$と$\overrightarrow{\mathrm{QS}}$のなす角を$\theta$とするとき,$\theta$は鋭角,直角,鈍角のいずれであるかを調べよ.
(4)線分$\mathrm{PR}$と線分$\mathrm{QS}$は交点をもつかどうかを調べよ.