「なす角」について
タグ「なす角」の検索結果
(5ページ目:全241問中41問~50問を表示)![北海道大学](./img/univ/hokkaido.png)
平面において,一直線上にない$3$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$がある.$\mathrm{O}$を通り直線$\mathrm{OA}$と垂直な直線上に$\mathrm{O}$と異なる点$\mathrm{P}$をとる.$\mathrm{O}$を通り直線$\mathrm{OB}$と垂直な直線上に$\mathrm{O}$と異なる点$\mathrm{Q}$をとる.ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$は$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$に垂直であるとする.
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OQ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}$を示せ.
(2)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角を$\alpha$とする.ただし,$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$とする.このときベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$のなす角が$\pi-\alpha$であることを示せ.
(3)$\displaystyle \frac{|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|}=\frac{|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|}$を示せ.
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OQ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}$を示せ.
(2)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角を$\alpha$とする.ただし,$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$とする.このときベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$のなす角が$\pi-\alpha$であることを示せ.
(3)$\displaystyle \frac{|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|}=\frac{|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|}$を示せ.
![長崎大学](./img/univ/nagasaki.png)
放物線$C:y=x^2$上に異なる$2$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$をとる.$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$p$,$q$(ただし,$p<q$)とする.直線$\mathrm{PQ}$の傾きを$a$とおく.以下の問いに答えよ.
(1)$a$を$p,\ q$を用いて表せ.
(2)$a=1$とする.直線$\mathrm{PQ}$と$x$軸の正の向きとなす角$\theta_1$(ただし,$0<\theta_1<\pi$)を求めよ.
(3)$a=1$とする.放物線$C$上に点$\mathrm{R}$をとる.$\mathrm{R}$の$x$座標を$r$(ただし,$r<p$)とする.三角形$\mathrm{PQR}$が正三角形になるとき,直線$\mathrm{PR}$と$x$軸の正の向きとのなす角$\theta_2$(ただし,$0<\theta_2<\pi$)を求めよ.また,このとき直線$\mathrm{PR}$の傾き,および直線$\mathrm{QR}$の傾きを,それぞれ求めよ.さらに,正三角形$\mathrm{PQR}$の面積を求めよ.
(4)$a=2$とする.放物線$C$上に点$\mathrm{S}(1,\ 1)$をとる.三角形$\mathrm{PQS}$が$\displaystyle \angle \mathrm{S}=\frac{\pi}{2}$である直角三角形になるとき,この三角形の面積を求めよ.
(1)$a$を$p,\ q$を用いて表せ.
(2)$a=1$とする.直線$\mathrm{PQ}$と$x$軸の正の向きとなす角$\theta_1$(ただし,$0<\theta_1<\pi$)を求めよ.
(3)$a=1$とする.放物線$C$上に点$\mathrm{R}$をとる.$\mathrm{R}$の$x$座標を$r$(ただし,$r<p$)とする.三角形$\mathrm{PQR}$が正三角形になるとき,直線$\mathrm{PR}$と$x$軸の正の向きとのなす角$\theta_2$(ただし,$0<\theta_2<\pi$)を求めよ.また,このとき直線$\mathrm{PR}$の傾き,および直線$\mathrm{QR}$の傾きを,それぞれ求めよ.さらに,正三角形$\mathrm{PQR}$の面積を求めよ.
(4)$a=2$とする.放物線$C$上に点$\mathrm{S}(1,\ 1)$をとる.三角形$\mathrm{PQS}$が$\displaystyle \angle \mathrm{S}=\frac{\pi}{2}$である直角三角形になるとき,この三角形の面積を求めよ.
![長崎大学](./img/univ/nagasaki.png)
放物線$C:y=x^2$上に異なる$2$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$をとる.$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$p$,$q$(ただし,$p<q$)とする.直線$\mathrm{PQ}$の傾きを$a$とおく.以下の問いに答えよ.
(1)$a$を$p,\ q$を用いて表せ.
(2)$a=1$とする.直線$\mathrm{PQ}$と$x$軸の正の向きとなす角$\theta_1$(ただし,$0<\theta_1<\pi$)を求めよ.
(3)$a=1$とする.放物線$C$上に点$\mathrm{R}$をとる.$\mathrm{R}$の$x$座標を$r$(ただし,$r<p$)とする.三角形$\mathrm{PQR}$が正三角形になるとき,直線$\mathrm{PR}$と$x$軸の正の向きとのなす角$\theta_2$(ただし,$0<\theta_2<\pi$)を求めよ.また,このとき直線$\mathrm{PR}$の傾き,および直線$\mathrm{QR}$の傾きを,それぞれ求めよ.さらに,正三角形$\mathrm{PQR}$の面積を求めよ.
(4)$a=2$とする.放物線$C$上に点$\mathrm{S}(1,\ 1)$をとる.三角形$\mathrm{PQS}$が$\displaystyle \angle \mathrm{S}=\frac{\pi}{2}$である直角三角形になるとき,この三角形の面積を求めよ.
(1)$a$を$p,\ q$を用いて表せ.
(2)$a=1$とする.直線$\mathrm{PQ}$と$x$軸の正の向きとなす角$\theta_1$(ただし,$0<\theta_1<\pi$)を求めよ.
(3)$a=1$とする.放物線$C$上に点$\mathrm{R}$をとる.$\mathrm{R}$の$x$座標を$r$(ただし,$r<p$)とする.三角形$\mathrm{PQR}$が正三角形になるとき,直線$\mathrm{PR}$と$x$軸の正の向きとのなす角$\theta_2$(ただし,$0<\theta_2<\pi$)を求めよ.また,このとき直線$\mathrm{PR}$の傾き,および直線$\mathrm{QR}$の傾きを,それぞれ求めよ.さらに,正三角形$\mathrm{PQR}$の面積を求めよ.
(4)$a=2$とする.放物線$C$上に点$\mathrm{S}(1,\ 1)$をとる.三角形$\mathrm{PQS}$が$\displaystyle \angle \mathrm{S}=\frac{\pi}{2}$である直角三角形になるとき,この三角形の面積を求めよ.
![長崎大学](./img/univ/nagasaki.png)
放物線$C:y=x^2$上に異なる$2$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$をとる.$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$p$,$q$(ただし,$p<q$)とする.直線$\mathrm{PQ}$の傾きを$a$とおく.以下の問いに答えよ.
(1)$a$を$p,\ q$を用いて表せ.
(2)$a=1$とする.直線$\mathrm{PQ}$と$x$軸の正の向きとなす角$\theta_1$(ただし,$0<\theta_1<\pi$)を求めよ.
(3)$a=1$とする.放物線$C$上に点$\mathrm{R}$をとる.$\mathrm{R}$の$x$座標を$r$(ただし,$r<p$)とする.三角形$\mathrm{PQR}$が正三角形になるとき,直線$\mathrm{PR}$と$x$軸の正の向きとのなす角$\theta_2$(ただし,$0<\theta_2<\pi$)を求めよ.また,このとき直線$\mathrm{PR}$の傾き,および直線$\mathrm{QR}$の傾きを,それぞれ求めよ.さらに,正三角形$\mathrm{PQR}$の面積を求めよ.
(4)$a=2$とする.放物線$C$上に点$\mathrm{S}(1,\ 1)$をとる.三角形$\mathrm{PQS}$が$\displaystyle \angle \mathrm{S}=\frac{\pi}{2}$である直角三角形になるとき,この三角形の面積を求めよ.
(1)$a$を$p,\ q$を用いて表せ.
(2)$a=1$とする.直線$\mathrm{PQ}$と$x$軸の正の向きとなす角$\theta_1$(ただし,$0<\theta_1<\pi$)を求めよ.
(3)$a=1$とする.放物線$C$上に点$\mathrm{R}$をとる.$\mathrm{R}$の$x$座標を$r$(ただし,$r<p$)とする.三角形$\mathrm{PQR}$が正三角形になるとき,直線$\mathrm{PR}$と$x$軸の正の向きとのなす角$\theta_2$(ただし,$0<\theta_2<\pi$)を求めよ.また,このとき直線$\mathrm{PR}$の傾き,および直線$\mathrm{QR}$の傾きを,それぞれ求めよ.さらに,正三角形$\mathrm{PQR}$の面積を求めよ.
(4)$a=2$とする.放物線$C$上に点$\mathrm{S}(1,\ 1)$をとる.三角形$\mathrm{PQS}$が$\displaystyle \angle \mathrm{S}=\frac{\pi}{2}$である直角三角形になるとき,この三角形の面積を求めよ.
![島根大学](./img/univ/shimane.png)
$xy$平面上に原点$\mathrm{O}$と$2$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$がある.$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$の大きさを$3$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の大きさを$4$とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角が$\displaystyle \frac{2 \pi}{3}$であるとき,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+2 \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の大きさを求めよ.
(2)$\alpha$が$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$の範囲にあり,$\displaystyle \sin \alpha=\frac{1}{4}$をみたすとする.$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角が$4 \alpha$であるとき,$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を求めよ.
(3)点$\mathrm{E}(1,\ 0)$に対し,
\[ 4 \overrightarrow{\mathrm{OA}}+3 \overrightarrow{\mathrm{OB}}-12 \overrightarrow{\mathrm{OE}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
が成り立つとき,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を求めよ.
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角が$\displaystyle \frac{2 \pi}{3}$であるとき,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+2 \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の大きさを求めよ.
(2)$\alpha$が$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$の範囲にあり,$\displaystyle \sin \alpha=\frac{1}{4}$をみたすとする.$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角が$4 \alpha$であるとき,$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を求めよ.
(3)点$\mathrm{E}(1,\ 0)$に対し,
\[ 4 \overrightarrow{\mathrm{OA}}+3 \overrightarrow{\mathrm{OB}}-12 \overrightarrow{\mathrm{OE}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
が成り立つとき,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を求めよ.
![島根大学](./img/univ/shimane.png)
$xy$平面上に原点$\mathrm{O}$と$2$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$がある.$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$の大きさを$3$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の大きさを$4$とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角が$\displaystyle \frac{2 \pi}{3}$であるとき,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+2 \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の大きさを求めよ.
(2)$\alpha$が$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$の範囲にあり,$\displaystyle \sin \alpha=\frac{1}{4}$をみたすとする.$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角が$4 \alpha$であるとき,$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を求めよ.
(3)点$\mathrm{E}(1,\ 0)$に対し,
\[ 4 \overrightarrow{\mathrm{OA}}+3 \overrightarrow{\mathrm{OB}}-12 \overrightarrow{\mathrm{OE}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
が成り立つとき,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を求めよ.
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角が$\displaystyle \frac{2 \pi}{3}$であるとき,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+2 \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の大きさを求めよ.
(2)$\alpha$が$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$の範囲にあり,$\displaystyle \sin \alpha=\frac{1}{4}$をみたすとする.$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角が$4 \alpha$であるとき,$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を求めよ.
(3)点$\mathrm{E}(1,\ 0)$に対し,
\[ 4 \overrightarrow{\mathrm{OA}}+3 \overrightarrow{\mathrm{OB}}-12 \overrightarrow{\mathrm{OE}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
が成り立つとき,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を求めよ.
![豊橋技術科学大学](./img/univ/toyohashi.png)
二次関数$f(x)=x^2+ax+b$に関する以下の問いに答えよ.ただし,関数$f(x)$の導関数を$f^\prime(x)$とする.
【補足説明】$(2)$~$(5)$は,$(1)$で得られた$f(x)$を用いて解答すること.
(1)$f(x)$が$2f(x)=xf^\prime(x)+6$を満たすとき,$a=0$,$b=3$となることを示せ.
(2)点$(0,\ -1)$から曲線$y=f(x)$に引いた$2$本の接線が,$L_1:y=4x-1$,$L_2:y=-4x-1$になることを示せ.
(3)$2$本の接線$L_1,\ L_2$のなす角のうち鋭角を$\theta$とするとき,$\cos \theta$の値を求めよ.
(4)曲線$y=f(x)$と$2$本の接線$L_1,\ L_2$で囲まれた部分の面積を求めよ.
(5)曲線$y=f(x)$と$2$本の接線$L_1,\ L_2$で囲まれた部分を,$y$軸のまわりに$1$回転して得られる回転体の体積を求めよ.
【補足説明】$(2)$~$(5)$は,$(1)$で得られた$f(x)$を用いて解答すること.
(1)$f(x)$が$2f(x)=xf^\prime(x)+6$を満たすとき,$a=0$,$b=3$となることを示せ.
(2)点$(0,\ -1)$から曲線$y=f(x)$に引いた$2$本の接線が,$L_1:y=4x-1$,$L_2:y=-4x-1$になることを示せ.
(3)$2$本の接線$L_1,\ L_2$のなす角のうち鋭角を$\theta$とするとき,$\cos \theta$の値を求めよ.
(4)曲線$y=f(x)$と$2$本の接線$L_1,\ L_2$で囲まれた部分の面積を求めよ.
(5)曲線$y=f(x)$と$2$本の接線$L_1,\ L_2$で囲まれた部分を,$y$軸のまわりに$1$回転して得られる回転体の体積を求めよ.
![名城大学](./img/univ/meijou.png)
空間内の$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$,$\mathrm{A}(2,\ 1,\ 1)$,$\mathrm{B}(1,\ 2,\ -1)$,$\mathrm{C}(-2,\ 4,\ 3)$を頂点とする四面体$\mathrm{OABC}$について,次の各問に答えよ.
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角$\theta$を求めよ.
(2)点$\mathrm{C}$から三角形$\mathrm{OAB}$に垂線を下ろす.この垂線と三角形$\mathrm{OAB}$との交点を$\mathrm{P}$とするとき,$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$を求めよ.
(3)点$\mathrm{Q}$を辺$\mathrm{OC}$上にとる.四面体$\mathrm{OABQ}$の体積が$\displaystyle \frac{9}{4}$となるとき,$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を求めよ.
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角$\theta$を求めよ.
(2)点$\mathrm{C}$から三角形$\mathrm{OAB}$に垂線を下ろす.この垂線と三角形$\mathrm{OAB}$との交点を$\mathrm{P}$とするとき,$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$を求めよ.
(3)点$\mathrm{Q}$を辺$\mathrm{OC}$上にとる.四面体$\mathrm{OABQ}$の体積が$\displaystyle \frac{9}{4}$となるとき,$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を求めよ.
![慶應義塾大学](./img/univ/keio.png)
次の$[ ]$にあてはまる最も適当な数または式などを解答欄に記入しなさい.
(1)$2$次方程式$x^2+kx+k+8=0$が異なる$2$つの実数解$\alpha$,$\beta$をもつとする.このとき,定数$k$の値の範囲は$k<[ア]$または$k>[イ]$である.さらに,このとき$\alpha^2+\beta^2=19$となるような定数$k$の値は$k=[ウ]$である.
(2)$xyz$空間の$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$,$\mathrm{B}(-1,\ 0,\ 0)$,$\mathrm{C}(0,\ \sqrt{3},\ 0)$を$3$頂点とする三角形を底面にもち,$z \geqq 0$の部分にある正四面体$\mathrm{ABCD}$を考える.頂点$\mathrm{D}$の座標は$[エ]$である.また$4$頂点において正四面体$\mathrm{ABCD}$に外接する球の中心$\mathrm{E}$の座標は$[オ]$であり,$\overrightarrow{\mathrm{EA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{EB}}$のなす角を$\theta ({0}^\circ \leqq \theta \leqq {180}^\circ)$とすると$\cos \theta=[カ]$である.
(3)$n$を自然数とする.白玉$5$個と赤玉$n$個が入っている袋から同時に玉を$2$個取り出すとき,取り出した玉の色が異なる確率を$p_n$とする.このとき$p_n=[キ]$である.また$\displaystyle p_n \leqq \frac{1}{5}$となる最小の自然数$n$は$n=[ク]$である.
(1)$2$次方程式$x^2+kx+k+8=0$が異なる$2$つの実数解$\alpha$,$\beta$をもつとする.このとき,定数$k$の値の範囲は$k<[ア]$または$k>[イ]$である.さらに,このとき$\alpha^2+\beta^2=19$となるような定数$k$の値は$k=[ウ]$である.
(2)$xyz$空間の$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$,$\mathrm{B}(-1,\ 0,\ 0)$,$\mathrm{C}(0,\ \sqrt{3},\ 0)$を$3$頂点とする三角形を底面にもち,$z \geqq 0$の部分にある正四面体$\mathrm{ABCD}$を考える.頂点$\mathrm{D}$の座標は$[エ]$である.また$4$頂点において正四面体$\mathrm{ABCD}$に外接する球の中心$\mathrm{E}$の座標は$[オ]$であり,$\overrightarrow{\mathrm{EA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{EB}}$のなす角を$\theta ({0}^\circ \leqq \theta \leqq {180}^\circ)$とすると$\cos \theta=[カ]$である.
(3)$n$を自然数とする.白玉$5$個と赤玉$n$個が入っている袋から同時に玉を$2$個取り出すとき,取り出した玉の色が異なる確率を$p_n$とする.このとき$p_n=[キ]$である.また$\displaystyle p_n \leqq \frac{1}{5}$となる最小の自然数$n$は$n=[ク]$である.
![早稲田大学](./img/univ/waseda.png)
平面上に長さ$1$のベクトル$\overrightarrow{n}$がある.また,$a$は$a>1$をみたす定数とする.平面上のベクトル$\overrightarrow{x}$に対して,ベクトル$\overrightarrow{y}$を
\[ \overrightarrow{y}=\overrightarrow{x}-a(\overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{n}) \overrightarrow{n} \]
により定める.ただし,$\overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{n}$はベクトルの内積を意味し,$a(\overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{n})$はその$a$倍の実数を表している.
(1)すべてのベクトル$\overrightarrow{x}$に対して$|\overrightarrow{x}|=|\overrightarrow{y}|$が成り立つための必要十分条件は,$a=2$であることを示せ.
(2)$\overrightarrow{x} \neq \overrightarrow{\mathrm{0}}$とする.$\overrightarrow{x}$と$\overrightarrow{n}$のなす角を$\theta$とし,$\overrightarrow{y}$と$\overrightarrow{n}$のなす角を$\phi$とする.このとき,$a$と$\cos \theta$を用いて$\cos \phi$を表せ.
\[ \overrightarrow{y}=\overrightarrow{x}-a(\overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{n}) \overrightarrow{n} \]
により定める.ただし,$\overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{n}$はベクトルの内積を意味し,$a(\overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{n})$はその$a$倍の実数を表している.
(1)すべてのベクトル$\overrightarrow{x}$に対して$|\overrightarrow{x}|=|\overrightarrow{y}|$が成り立つための必要十分条件は,$a=2$であることを示せ.
(2)$\overrightarrow{x} \neq \overrightarrow{\mathrm{0}}$とする.$\overrightarrow{x}$と$\overrightarrow{n}$のなす角を$\theta$とし,$\overrightarrow{y}$と$\overrightarrow{n}$のなす角を$\phi$とする.このとき,$a$と$\cos \theta$を用いて$\cos \phi$を表せ.