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国立 岩手大学 2010年 第2問座標平面上に$3$点$\mathrm{A}(1,\ 2)$，$\mathrm{B}(4,\ 11)$，$\mathrm{C}(-1,\ 6)$があるとき，次の問いに答えよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$のなす角$\theta$を求めよ．
(2)点$\mathrm{A}$を通り，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を方向ベクトルとする直線上の点を$\mathrm{D}$とする．$\triangle \mathrm{ABD}$の面積が$45$となる点$\mathrm{D}$の座標を求めよ．ただし，$\angle \mathrm{BAD}$は鋭角とする．
(3)線分$\mathrm{AB}$上の点を$\mathrm{E}$とするとき，$\angle \mathrm{ACE}$が$60^\circ$となる点$\mathrm{E}$の座標を求めよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$のなす角$\theta$を求めよ．
(2)点$\mathrm{A}$を通り，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を方向ベクトルとする直線上の点を$\mathrm{D}$とする．$\triangle \mathrm{ABD}$の面積が$45$となる点$\mathrm{D}$の座標を求めよ．ただし，$\angle \mathrm{BAD}$は鋭角とする．
(3)線分$\mathrm{AB}$上の点を$\mathrm{E}$とするとき，$\angle \mathrm{ACE}$が$60^\circ$となる点$\mathrm{E}$の座標を求めよ．
国立 秋田大学 2010年 第2問$xy$平面上の四角形OABCにおいて，対角線OBを考え，$\angle \text{AOB}$の二等分線と$\angle \text{OAB}$の二等分線の交点をI，$\angle \text{BOC}$の二等分線と$\angle \text{OCB}$の二等分線の交点を$\text{I}^\prime$とする．次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\ |\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=a,\ |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=b,\ |\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=p$とするとき，これらを用いて$\overrightarrow{\mathrm{OI}}$を表せ．
(2)4点O，A，B，CをO$(0,\ 0)$, A$(1,\ 1)$, B$\displaystyle (\frac{3-\sqrt{3}}{2},\ \frac{3+\sqrt{3}}{2})$, C$(-\sqrt{3},\ \sqrt{3})$と定める．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\text{I\,I}^\prime}$がなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\ |\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=a,\ |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=b,\ |\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=p$とするとき，これらを用いて$\overrightarrow{\mathrm{OI}}$を表せ．
(2)4点O，A，B，CをO$(0,\ 0)$, A$(1,\ 1)$, B$\displaystyle (\frac{3-\sqrt{3}}{2},\ \frac{3+\sqrt{3}}{2})$, C$(-\sqrt{3},\ \sqrt{3})$と定める．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\text{I\,I}^\prime}$がなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．
国立 香川大学 2010年 第3問座標平面上を運動する点Pの時刻$t$における座標を
\[ x=e^t \cos t, y=e^t \sin t \]
とするとき，次の問に答えよ．
(1)時刻$t$における点Pの速度$\overrightarrow{v}$およびその大きさ$|\overrightarrow{v}|$を求めよ．
(2)$\displaystyle t=\frac{\pi}{2}$のとき，ベクトル$\overrightarrow{v}$が$x$軸の正の向きとのなす角$\alpha$を求めよ．
(3)原点をOとするとき，ベクトル$\overrightarrow{v}$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$のなす角$\theta$は一定であることを示し，$\theta$を求めよ．
\[ x=e^t \cos t, y=e^t \sin t \]
とするとき，次の問に答えよ．
(1)時刻$t$における点Pの速度$\overrightarrow{v}$およびその大きさ$|\overrightarrow{v}|$を求めよ．
(2)$\displaystyle t=\frac{\pi}{2}$のとき，ベクトル$\overrightarrow{v}$が$x$軸の正の向きとのなす角$\alpha$を求めよ．
(3)原点をOとするとき，ベクトル$\overrightarrow{v}$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$のなす角$\theta$は一定であることを示し，$\theta$を求めよ．
国立 島根大学 2010年 第2問自然数$n$に対して，ベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を
\[ \overrightarrow{a}=\left(n^{\frac{1}{4}},\ n^{\frac{1}{4}}+1 \right),\quad \overrightarrow{b}=\left(n^{\frac{1}{4}},\ 1-n^{\frac{1}{4}} \right) \]
で定めるとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$を$n$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \frac{1}{\cos \theta}$が整数となるような$n$を小さい順に$n_1,\ n_2,\ \cdots$とするとき，$i$番目の$n_i$を$i$を用いて表せ．
(3)$n=n_i$に対する$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta_i$とおく．自然数$k$に対して，
\[ S_k= \frac{1}{\tan^2 \theta_1}+\frac{1}{\tan^2 \theta_2}+\cdots+\frac{1}{\tan^2 \theta_k} \]
とするとき，$\displaystyle \lim_{k \to \infty}S_k$を求めよ．
\[ \overrightarrow{a}=\left(n^{\frac{1}{4}},\ n^{\frac{1}{4}}+1 \right),\quad \overrightarrow{b}=\left(n^{\frac{1}{4}},\ 1-n^{\frac{1}{4}} \right) \]
で定めるとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$を$n$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \frac{1}{\cos \theta}$が整数となるような$n$を小さい順に$n_1,\ n_2,\ \cdots$とするとき，$i$番目の$n_i$を$i$を用いて表せ．
(3)$n=n_i$に対する$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta_i$とおく．自然数$k$に対して，
\[ S_k= \frac{1}{\tan^2 \theta_1}+\frac{1}{\tan^2 \theta_2}+\cdots+\frac{1}{\tan^2 \theta_k} \]
とするとき，$\displaystyle \lim_{k \to \infty}S_k$を求めよ．
国立 島根大学 2010年 第2問自然数$n$に対して，ベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を
\[ \overrightarrow{a}=\left(n^{\frac{1}{4}},\ n^{\frac{1}{4}}+1 \right),\quad \overrightarrow{b}=\left(n^{\frac{1}{4}},\ 1-n^{\frac{1}{4}} \right) \]
で定めるとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$を$n$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \frac{1}{\cos \theta}$が整数となるような$n$を小さい順に$n_1,\ n_2,\ \cdots$とするとき，$i$番目の$n_i$を$i$を用いて表せ．
(3)$n=n_i$に対する$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta_i$とおく．自然数$k$に対して，
\[ S_k= \frac{1}{\tan^2 \theta_1}+\frac{1}{\tan^2 \theta_2}+\cdots+\frac{1}{\tan^2 \theta_k} \]
とするとき，$\displaystyle \lim_{k \to \infty}S_k$を求めよ．
\[ \overrightarrow{a}=\left(n^{\frac{1}{4}},\ n^{\frac{1}{4}}+1 \right),\quad \overrightarrow{b}=\left(n^{\frac{1}{4}},\ 1-n^{\frac{1}{4}} \right) \]
で定めるとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$を$n$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \frac{1}{\cos \theta}$が整数となるような$n$を小さい順に$n_1,\ n_2,\ \cdots$とするとき，$i$番目の$n_i$を$i$を用いて表せ．
(3)$n=n_i$に対する$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta_i$とおく．自然数$k$に対して，
\[ S_k= \frac{1}{\tan^2 \theta_1}+\frac{1}{\tan^2 \theta_2}+\cdots+\frac{1}{\tan^2 \theta_k} \]
とするとき，$\displaystyle \lim_{k \to \infty}S_k$を求めよ．
国立 島根大学 2010年 第2問自然数$n$に対して，ベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を
\[ \overrightarrow{a}=\left(n^{\frac{1}{4}},\ n^{\frac{1}{4}}+1 \right),\quad \overrightarrow{b}=\left(n^{\frac{1}{4}},\ 1-n^{\frac{1}{4}} \right) \]
で定めるとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$を$n$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \frac{1}{\cos \theta}$が整数となるような$n$を小さい順に$n_1,\ n_2,\ \cdots$とするとき，$i$番目の$n_i$を$i$を用いて表せ．
(3)$n=n_i$に対する$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta_i$とおく．自然数$k$に対して，
\[ S_k= \frac{1}{\tan^2 \theta_1}+\frac{1}{\tan^2 \theta_2}+\cdots+\frac{1}{\tan^2 \theta_k} \]
とするとき，$\displaystyle \lim_{k \to \infty}S_k$を求めよ．
\[ \overrightarrow{a}=\left(n^{\frac{1}{4}},\ n^{\frac{1}{4}}+1 \right),\quad \overrightarrow{b}=\left(n^{\frac{1}{4}},\ 1-n^{\frac{1}{4}} \right) \]
で定めるとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$を$n$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \frac{1}{\cos \theta}$が整数となるような$n$を小さい順に$n_1,\ n_2,\ \cdots$とするとき，$i$番目の$n_i$を$i$を用いて表せ．
(3)$n=n_i$に対する$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta_i$とおく．自然数$k$に対して，
\[ S_k= \frac{1}{\tan^2 \theta_1}+\frac{1}{\tan^2 \theta_2}+\cdots+\frac{1}{\tan^2 \theta_k} \]
とするとき，$\displaystyle \lim_{k \to \infty}S_k$を求めよ．
国立 熊本大学 2010年 第4問原点Oを中心として半径1の円の第1象限の部分$C$について考える．$C$上に3点A$\displaystyle \biggl( \frac{\sqrt{2}}{2},\ \frac{\sqrt{2}}{2} \biggr)$，P$(1,\ 0)$，Q$(0,\ 1)$をとる．$s+t=1$を満たす$s,\ t \ (0<s<1,\ 0<t<1)$に対し，弧AQ上に点Xを2つのベクトル
\[ s^2\, \overrightarrow{\mathrm{OA}}-s\, \overrightarrow{\mathrm{OX}},\quad t\, \overrightarrow{\mathrm{OA}}-t^2\, \overrightarrow{\mathrm{OX}} \]
が垂直になるようにとる．以下の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OX}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$を$t$を用いて表せ．
(2)$\cos \theta$のとり得る値の範囲を求めよ．
(3)$\triangle$OAXの面積の最大値を求めよ．
\[ s^2\, \overrightarrow{\mathrm{OA}}-s\, \overrightarrow{\mathrm{OX}},\quad t\, \overrightarrow{\mathrm{OA}}-t^2\, \overrightarrow{\mathrm{OX}} \]
が垂直になるようにとる．以下の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OX}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$を$t$を用いて表せ．
(2)$\cos \theta$のとり得る値の範囲を求めよ．
(3)$\triangle$OAXの面積の最大値を求めよ．
国立 九州工業大学 2010年 第1問行列
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a-b & a \\
2a & a+b
\end{array} \right) \]
の定める移動(1次変換)
\[ \left( \begin{array}{c}
x^\prime \\
y^\prime
\end{array} \right) = A \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right) \]
を$f$とし，原点を通る2直線を$\ell_1:y=m_1x,\ \ell_2:y=m_2x$とする$(m_1<m_2)$．次に答えよ．
(1)$f$により，直線$\ell_1$上の点$(1,\ m_1)$は$\ell_1$上の点に移り，直線$\ell_2$上の点$(1,\ m_2)$は$\ell_2$上の点に移るとする．$m_1,\ m_2$を$a,\ b$を用いて表せ．ただし，$a>0$とする．
(2)実数$a,\ b$が$(a-2)^2+b^2=3$をみたすとき，$\displaystyle \frac{b}{a}$のとる値の範囲を求めよ．
(3)(1)で求めた$m_1,\ m_2$に対して2直線$\ell_1,\ \ell_2$のなす角を$\theta$とする$\displaystyle \left( 0<\theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$．実数$a,\ b$が$(a-2)^2+b^2=3$をみたすとき，$\cos \theta$のとる値の範囲を求めよ．
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a-b & a \\
2a & a+b
\end{array} \right) \]
の定める移動(1次変換)
\[ \left( \begin{array}{c}
x^\prime \\
y^\prime
\end{array} \right) = A \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right) \]
を$f$とし，原点を通る2直線を$\ell_1:y=m_1x,\ \ell_2:y=m_2x$とする$(m_1<m_2)$．次に答えよ．
(1)$f$により，直線$\ell_1$上の点$(1,\ m_1)$は$\ell_1$上の点に移り，直線$\ell_2$上の点$(1,\ m_2)$は$\ell_2$上の点に移るとする．$m_1,\ m_2$を$a,\ b$を用いて表せ．ただし，$a>0$とする．
(2)実数$a,\ b$が$(a-2)^2+b^2=3$をみたすとき，$\displaystyle \frac{b}{a}$のとる値の範囲を求めよ．
(3)(1)で求めた$m_1,\ m_2$に対して2直線$\ell_1,\ \ell_2$のなす角を$\theta$とする$\displaystyle \left( 0<\theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$．実数$a,\ b$が$(a-2)^2+b^2=3$をみたすとき，$\cos \theta$のとる値の範囲を求めよ．
国立 室蘭工業大学 2010年 第4問$s,\ t$を正の実数とする．平面上の3点A，B，Cは同一線上にないものとし，さらに平面上の2点P，Qを$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AP}}=s \overrightarrow{\mathrm{AB}}+t \overrightarrow{\mathrm{AC}},\ \overrightarrow{\mathrm{BQ}}=\frac{t}{s+t} \overrightarrow{\mathrm{BC}}$で定める．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$s,\ t,\ \overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$のなす角が$60^\circ$で$|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|=2 |\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$であるとする．$\overrightarrow{\mathrm{AP}} \perp \overrightarrow{\mathrm{CP}}$かつ$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|=5t |\overrightarrow{\mathrm{AQ}}|$であるとき，$s,\ t$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$s,\ t,\ \overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$のなす角が$60^\circ$で$|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|=2 |\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$であるとする．$\overrightarrow{\mathrm{AP}} \perp \overrightarrow{\mathrm{CP}}$かつ$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|=5t |\overrightarrow{\mathrm{AQ}}|$であるとき，$s,\ t$の値を求めよ．
国立 宮城教育大学 2010年 第1問平面上に大きさが1のベクトル$\overrightarrow{a}$と大きさが2のベクトル$\overrightarrow{b}$があり，そのなす角が$60^\circ$である．いま，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=k \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \ (k \neq -1)$となる$\triangle \mathrm{ABC}$がある．$\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$，辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{N}$とし，線分$\mathrm{AN}$と線分$\mathrm{CM}$の交点を$\mathrm{P}$とする．また，点$\mathrm{Q}$は2点$\mathrm{A},\ \mathrm{C}$を通る直線上にあり，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}$をみたす．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$および$k$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=l \overrightarrow{\mathrm{AC}}$をみたす$l$を$k$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{Q}$が辺$\mathrm{AC}$上にあるとき，$k$の値の範囲を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$および$k$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=l \overrightarrow{\mathrm{AC}}$をみたす$l$を$k$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{Q}$が辺$\mathrm{AC}$上にあるとき，$k$の値の範囲を求めよ．