「なす角」について
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国立 富山大学 2011年 第3問平面内の2つの単位ベクトル$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$に対して
\[ \overrightarrow{v} = \frac{1}{2 \sin \frac{\theta}{2}} (\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}) \]
とおく．ただし，$\theta$は$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角であり，$0<\theta<\pi$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{v}$と$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{v}$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{x}$を，$\overrightarrow{a}$に垂直で，$\overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{b}>0$をみたす単位ベクトルとする．このとき$\overrightarrow{x}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{v}$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{6}$のとき，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{v}$の値を求めよ．
\[ \overrightarrow{v} = \frac{1}{2 \sin \frac{\theta}{2}} (\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}) \]
とおく．ただし，$\theta$は$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角であり，$0<\theta<\pi$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{v}$と$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{v}$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{x}$を，$\overrightarrow{a}$に垂直で，$\overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{b}>0$をみたす単位ベクトルとする．このとき$\overrightarrow{x}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{v}$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{6}$のとき，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{v}$の値を求めよ．
国立 福井大学 2011年 第1問1辺の長さが1の正十二面体を考える．点O，A，B，C，D， \\
E，F，Gを図に示す正十二面体の頂点とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$， \\
$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，以下の問いに答えよ． \\
ただし，1辺の長さが1の正五角形の対角線の長さは \\
$\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}$であることを用いてよい．なお，正十二面体では， \\
すべての面は合同な正五角形であり， 各頂点は$3$つの正五 \\
角形に共有されている．
\img{366_2547_2011_1}{55}
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$，$\overrightarrow{\mathrm{BE}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{DF}}$と$\overrightarrow{\mathrm{EF}}$のなす角を求めよ．
E，F，Gを図に示す正十二面体の頂点とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$， \\
$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，以下の問いに答えよ． \\
ただし，1辺の長さが1の正五角形の対角線の長さは \\
$\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}$であることを用いてよい．なお，正十二面体では， \\
すべての面は合同な正五角形であり， 各頂点は$3$つの正五 \\
角形に共有されている．
\img{366_2547_2011_1}{55}
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$，$\overrightarrow{\mathrm{BE}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{DF}}$と$\overrightarrow{\mathrm{EF}}$のなす角を求めよ．
国立 三重大学 2011年 第2問座標平面において直線$\ell:y=ax+b$と直線$m:y=2x$を考える．
(1)2点$(0,\ 0)$，$(2,\ 0)$から直線$\ell$までの距離が一致するための$a,\ b$についての必要十分条件を求めよ．
(2)(1)の条件のもとで2直線$\ell,\ m$のなす角が$\displaystyle \frac{\pi}{4}$であるとき$a,\ b$の値を求めよ．ただし2直線のなす角$\theta$は常に$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で考えるものとする．
(1)2点$(0,\ 0)$，$(2,\ 0)$から直線$\ell$までの距離が一致するための$a,\ b$についての必要十分条件を求めよ．
(2)(1)の条件のもとで2直線$\ell,\ m$のなす角が$\displaystyle \frac{\pi}{4}$であるとき$a,\ b$の値を求めよ．ただし2直線のなす角$\theta$は常に$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で考えるものとする．
国立 三重大学 2011年 第2問座標平面において直線$\ell:y=ax+b$と直線$m:y=2x$を考える．
(1)2点$(0,\ 0)$，$(2,\ 0)$から直線$\ell$までの距離が一致するための$a,\ b$についての必要十分条件を求めよ．
(2)(1)の条件のもとで2直線$\ell,\ m$のなす角が$\displaystyle \frac{\pi}{4}$であるとき$a,\ b$の値を求めよ．ただし2直線のなす角$\theta$は常に$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で考えるものとする．
(1)2点$(0,\ 0)$，$(2,\ 0)$から直線$\ell$までの距離が一致するための$a,\ b$についての必要十分条件を求めよ．
(2)(1)の条件のもとで2直線$\ell,\ m$のなす角が$\displaystyle \frac{\pi}{4}$であるとき$a,\ b$の値を求めよ．ただし2直線のなす角$\theta$は常に$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で考えるものとする．
国立 愛知教育大学 2011年 第6問$\theta$を$0 \leqq \theta \leqq \pi$をみたす実数とする．単位円上の点Pを，動径OPと$x$軸の正の部分とのなす角が$\theta$である点とし，点Qを$x$軸の正の部分の点で，点Pからの距離が2であるものとする．また，$\theta=0$のときの点Qの位置をAとする．
(1)線分OQの長さを$\theta$を使って表せ．
(2)線分QAの長さを$L$とするとき，極限値$\displaystyle \lim_{\theta \to 0}\frac{L}{\theta^2}$を求めよ．
(1)線分OQの長さを$\theta$を使って表せ．
(2)線分QAの長さを$L$とするとき，極限値$\displaystyle \lim_{\theta \to 0}\frac{L}{\theta^2}$を求めよ．
国立 福島大学 2011年 第1問以下の問いに答えなさい．
(1)次の不等式を解きなさい．
\[ -2(\log_2x)^2+9\log_82x<1 \]
(2)放物線$y=-x^2$に，点$\mathrm{A}(0,\ a)$から引いた$2$本の接線のなす角が$\displaystyle \frac{\pi}{2}$になるときの$a$の値を求めなさい．
(3)$\displaystyle \int_0^\pi x^2 \sin 2x \, dx$を求めなさい．
(1)次の不等式を解きなさい．
\[ -2(\log_2x)^2+9\log_82x<1 \]
(2)放物線$y=-x^2$に，点$\mathrm{A}(0,\ a)$から引いた$2$本の接線のなす角が$\displaystyle \frac{\pi}{2}$になるときの$a$の値を求めなさい．
(3)$\displaystyle \int_0^\pi x^2 \sin 2x \, dx$を求めなさい．
国立 福島大学 2011年 第2問以下の問いに答えなさい．
(1)点Oを頂点とし，1辺の長さ1の正方形ABCDを底面とする四角錐O-ABCDが，$\text{OA}=\text{OB}=\text{OC}=\text{OD}=1$を満たしているとする．辺OAを$2:1$に内分する点をP，辺OCを$t:1-t$に内分する点をQとする．線分BPと線分BQのなす角が$\displaystyle \frac{\pi}{3}$になるときの$t$の値を求めなさい．
(2)点Pが放物線$y=x^2$上を動くき，定点A$(1,\ a)$と点Pとを結ぶ線分APを$1:2$に内分する点Qの軌跡の方程式を$a$を用いて書きなさい．
(3)$\displaystyle \frac{d}{dx} \int_0^{\sin 3x} e^{2t} \, dt$を求めなさい．
(1)点Oを頂点とし，1辺の長さ1の正方形ABCDを底面とする四角錐O-ABCDが，$\text{OA}=\text{OB}=\text{OC}=\text{OD}=1$を満たしているとする．辺OAを$2:1$に内分する点をP，辺OCを$t:1-t$に内分する点をQとする．線分BPと線分BQのなす角が$\displaystyle \frac{\pi}{3}$になるときの$t$の値を求めなさい．
(2)点Pが放物線$y=x^2$上を動くき，定点A$(1,\ a)$と点Pとを結ぶ線分APを$1:2$に内分する点Qの軌跡の方程式を$a$を用いて書きなさい．
(3)$\displaystyle \frac{d}{dx} \int_0^{\sin 3x} e^{2t} \, dt$を求めなさい．
国立 電気通信大学 2011年 第4問直線$\ell:y=2x$の法線ベクトルを$\overrightarrow{n}=(a,\ b)$とし，点P$(x,\ y)$と直線$\ell$との距離を$h$とする．ただし，$|\overrightarrow{n}|=1$で，$a>0$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{n}$の成分$a,\ b$を求めよ．
(2)原点をOとし，$\overrightarrow{\mathrm{0}}$でない$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$に対し，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{n}$のなす角を$\theta$とする．このとき，$h$を$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$と$\theta$を用いて表せ．また，$h$を$x,\ y$を用いて表せ．
以下では，曲線$C$を，点A$(1,\ 0)$と直線$\ell$からの距離が等しい点P$(x,\ y)$の軌跡とする．
\mon[(3)] 曲線$C$の方程式($x,\ y$の関係式)を求めよ．
\mon[(4)] 曲線$C$と直線$y=t \ (t \text{は定数})$との共有点の個数を求めよ．
\mon[(5)] 曲線$C$と直線$y=t$が2個の共有点Q，Rをもつとき，線分QRの長さを$t$を用いて表せ．
\mon[(6)] 曲線$C$と直線$y=0$とで囲まれる部分の面積$S$を求めよ．
(1)$\overrightarrow{n}$の成分$a,\ b$を求めよ．
(2)原点をOとし，$\overrightarrow{\mathrm{0}}$でない$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$に対し，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{n}$のなす角を$\theta$とする．このとき，$h$を$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$と$\theta$を用いて表せ．また，$h$を$x,\ y$を用いて表せ．
以下では，曲線$C$を，点A$(1,\ 0)$と直線$\ell$からの距離が等しい点P$(x,\ y)$の軌跡とする．
\mon[(3)] 曲線$C$の方程式($x,\ y$の関係式)を求めよ．
\mon[(4)] 曲線$C$と直線$y=t \ (t \text{は定数})$との共有点の個数を求めよ．
\mon[(5)] 曲線$C$と直線$y=t$が2個の共有点Q，Rをもつとき，線分QRの長さを$t$を用いて表せ．
\mon[(6)] 曲線$C$と直線$y=0$とで囲まれる部分の面積$S$を求めよ．
国立 山形大学 2011年 第4問$xy$平面上に曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x} \ (x>0)$がある．曲線$C$上の点P$\displaystyle \left( t,\ \frac{1}{t} \right)$における接線を$\ell$とし，原点Oから$\ell$に下ろした垂線をOHとするとき，次の問いに答えよ．
(1)直線$\ell$の方程式は$\displaystyle y=-\frac{1}{t^2}x+\frac{2}{t}$であることを示せ．
(2)点Hの座標は$\displaystyle \left( \frac{2t}{1+t^4},\ \frac{2t^3}{1+t^4} \right)$であることを示せ．
(3)直線$\ell$と$y$軸のなす角を$\displaystyle \theta \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とし，線分OHの長さを$d$とする．
\mon[(i)] $t^2,\ d^2$を$\theta$の式で表せ．
\mon[(ii)] $\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\frac{d^2}{\theta}$を求めよ．
(1)直線$\ell$の方程式は$\displaystyle y=-\frac{1}{t^2}x+\frac{2}{t}$であることを示せ．
(2)点Hの座標は$\displaystyle \left( \frac{2t}{1+t^4},\ \frac{2t^3}{1+t^4} \right)$であることを示せ．
(3)直線$\ell$と$y$軸のなす角を$\displaystyle \theta \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とし，線分OHの長さを$d$とする．
\mon[(i)] $t^2,\ d^2$を$\theta$の式で表せ．
\mon[(ii)] $\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\frac{d^2}{\theta}$を求めよ．
国立 京都工芸繊維大学 2011年 第2問Oを原点とする$xy$平面上を動く点Pの時刻$t$における座標$(x,\ y)$が
\[ x=(1+t^2)\cos t,\quad y=(1+t^2)\sin t \]
で与えられている．時刻$t$におけるPの速度を$\overrightarrow{v}$とし，2つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$，$\overrightarrow{v}$のなす角を$\theta$とする．ただし，$0 \leqq \theta \leqq \pi$である．
(1)時刻$t$において，ベクトル$\overrightarrow{a}=(\cos t,\ \sin t),\ \overrightarrow{b}=(-\sin t,\ \cos t)$と実数$c,\ d$が$\overrightarrow{v}=c \overrightarrow{a}+d \overrightarrow{b}$を満たすとき，$c,\ d$を$t$を用いて表せ．
(2)$t>0$のとき，$\tan \theta$を$t$を用いて表せ．
(3)$t>0$における$\theta$の最小値を求めよ．
\[ x=(1+t^2)\cos t,\quad y=(1+t^2)\sin t \]
で与えられている．時刻$t$におけるPの速度を$\overrightarrow{v}$とし，2つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$，$\overrightarrow{v}$のなす角を$\theta$とする．ただし，$0 \leqq \theta \leqq \pi$である．
(1)時刻$t$において，ベクトル$\overrightarrow{a}=(\cos t,\ \sin t),\ \overrightarrow{b}=(-\sin t,\ \cos t)$と実数$c,\ d$が$\overrightarrow{v}=c \overrightarrow{a}+d \overrightarrow{b}$を満たすとき，$c,\ d$を$t$を用いて表せ．
(2)$t>0$のとき，$\tan \theta$を$t$を用いて表せ．
(3)$t>0$における$\theta$の最小値を求めよ．