$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 1)$がある．点$\mathrm{P}(x,\ y,\ z)$は$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$と異なっており，$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=1$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．直線$\mathrm{AG}$上に点$\mathrm{P}$があるとき，$x,\ y,\ z$の値を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$が$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面上にあって，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$のなす角が$\displaystyle \frac{\pi}{3}$である．このとき$x,\ y,\ z$の値を求めよ．

座標平面上で，原点$\mathrm{O}$を始点とし第$1$象限の点$\mathrm{A}$を通る半直線$\mathrm{OA}$と$x$軸の正の向きとのなす角を$\displaystyle \theta \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とする．点$\mathrm{B}$は$x$軸上にあり，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=b$，$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=a$とする．原点$\mathrm{O}$から直線$\mathrm{AB}$に下ろした垂線と直線$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{P}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=t \overrightarrow{\mathrm{AB}}$とおく．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=t \overrightarrow{\mathrm{OB}}+(1-t) \overrightarrow{\mathrm{OA}}$であることを示し，$t$を$a,\ b,\ \theta$で表せ．
(2)$\theta$を固定し$b=1$とする．点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{AB}$上に存在するような$a$の値の範囲を求めよ．
(3)(2)において，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積の最大値を求めよ．
(4)(2)において，$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$とする．面積が最大となる$\triangle \mathrm{OAB}$は直角三角形であることを示せ．

$s$を実数とするとき，座標平面上の$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(-1,\ 2)$，$\mathrm{B}(s,\ |1-s|)$に対して，以下の問いに答えよ．

(1)$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の内積を$t$とおく．$t$を$s$の関数で表せ．また，その$s$の関数を$f(s)$とおくとき，$t=f(s)$のグラフを描け．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta \leqq 0$となる$s$の範囲を求めよ．
(3)線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{C}$とするとき，線分$\mathrm{OC}$の長さの最小値を求めよ．また，そのときの$s$の値を求めよ．

行列$C=\left( \begin{array}{cc}
0 & \displaystyle\frac{1}{2} \\
-\displaystyle\frac{1}{2} & 0
\end{array} \right)$について，以下の問いに答えよ．

(1)座標平面上の原点$\mathrm{O}$とは異なる点$\mathrm{A}$が，$C$の表す$1$次変換によって点$\mathrm{B}$に移されたとする．線分$\mathrm{OA}$の長さを$|\mathrm{OA|}$，線分$\mathrm{OB}$の長さを$|\mathrm{OB|}$とするとき，$\displaystyle \frac{|\mathrm{OB|}}{|\mathrm{OA|}}$を求めよ．また，$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角を求めよ．
(2)$C,\ C^2,\ \cdots,\ C^n$の表す$n$個（$n \geqq 2$）の$1$次変換によって，座標平面上の点$\mathrm{P}_0$がそれぞれ点$\mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2,\ \cdots,\ \mathrm{P}_n$に移されるとする．点$\mathrm{P}_0$の座標が$(1,\ 1)$であるとき，線分$\mathrm{P}_0 \mathrm{P}_1$，線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$，$\cdots$，線分$\mathrm{P}_{n-1} \mathrm{P}_n$の長さの総和を$L_n$とする．$\displaystyle \lim_{n \to \infty}L_n$を求めよ．

原点を$\mathrm{O}$とする$xyz$空間内に$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OPQR}$がある．点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通り$z$軸に平行な$3$直線と$xy$平面との交点をそれぞれ$\mathrm{P}^\prime$，$\mathrm{Q}^\prime$，$\mathrm{R}^\prime$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{PQR}$，$\triangle \mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime \mathrm{R}^\prime$の面積をそれぞれ$S$，$S_1$とする．$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$の$3$点を通る平面と$xy$平面のなす角を$\theta$とするとき，$S_1=S |\cos \theta|$を示せ．
(2)$\mathrm{O}$が$\triangle \mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime \mathrm{R}^\prime$の周上を含む内部にあるとき，$z$軸と$\triangle \mathrm{PQR}$の交点を$\mathrm{A}$とする．このとき正四面体$\mathrm{OPQR}$の体積$V$は$\displaystyle V=\frac{1}{3} \mathrm{OA} \cdot S_1$となることを示し，$S_1$の最小値を求めよ．
(3)$\mathrm{O}$が$\triangle \mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime \mathrm{R}^\prime$の外部にあり，線分$\mathrm{OP}^\prime$と線分$\mathrm{Q}^\prime \mathrm{R}^\prime$が交点$\mathrm{B}$をもつとき，点$\mathrm{B}$を通り$z$軸に平行な直線と，直線$\mathrm{OP}$および直線$\mathrm{QR}$との交点をそれぞれ$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$とする．このとき四角形$\mathrm{OQ}^\prime \mathrm{P}^\prime \mathrm{R}^\prime$の面積を$S_2$とすると$\displaystyle V=\frac{1}{3} \mathrm{CD} \cdot S_2$となることを示し，$S_2$の最大値を求めよ．

空間内に$5$点$\mathrm{A}(1,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{B}(-1,\ 2,\ 2)$，$\mathrm{C}(0,\ 1,\ 3)$，$\mathrm{D}(2,\ 0,\ 2)$，$\mathrm{E}(3,\ 3,\ 2)$がある．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{DC}}$であることを示せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AD}}$のいずれにも垂直な単位ベクトルを求めよ．
(4)五面体$\mathrm{ABCDE}$の体積を求めよ．

座標平面上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$について，$x=4(1-2 \sin^2 \theta)$，$y=8 \sin \theta \cos \theta$とし，点$\mathrm{P}$を中心とする半径$1$の円$C$を考える．以下の設問に答えよ．各設問とも，解答とともに導出過程も記述せよ．

(1)$\theta=0$の場合，原点$\mathrm{O}$から円$C$に$2$本の接線を引いたとき，この$2$本の接線のなす角を$\alpha$とする．ただし，$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$とする．このときの$\displaystyle \tan \frac{\alpha}{2}$と$\tan \alpha$の値を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$の$x$座標と$y$座標を$\sin 2\theta$または$\cos 2\theta$を用いて表せ．
(3)$\theta$が$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．
(4)点$\mathrm{P}$が$(3)$で求められた軌跡をたどったとき，円$C$が通過してできた図形の面積を求めよ．

$\overrightarrow{a}$は長さ$1$のベクトル，$\overrightarrow{b}$は長さ$3$のベクトルで，これらのベクトルのなす角度を$\theta (0 \leqq \theta \leqq \pi)$としたとき，$\displaystyle \cos \theta=\frac{1}{2}$である．いま，ベクトル$k \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{a}$のなす角度が$2 \theta$であるとき，$k$の値を求めよ．

次の連立不等式で定まる座標平面上の領域$D$を考える．
\[ x^2+ (y-1)^2 \leqq 1, \quad x \geqq \frac{\sqrt{2}}{3} \]
直線$\ell$は原点を通り，$D$との共通部分が線分となるものとする．その線分の長さ$L$の最大値を求めよ．また，$L$が最大値をとるとき，$x$軸と$\ell$のなす角$\theta\ (0<\theta<\displaystyle\frac{\pi}{2})$の余弦$\cos \theta$を求めよ．

下図のように，$x$軸，$y$軸，$z$軸上に辺があり，一辺の長さが3である立方体がある．点A$(0,\ 0,\ 3)$，B$(3,\ 0,\ 2)$，C$(3,\ 3,\ 1)$を通る平面で立方体を切断したときの切り口を四角形ABCDとする．このとき，次の問に答えよ．\\
\setlength\unitlength{1truecm}
（図は省略）

(1)$\overrightarrow{\mathrm{BA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．
(2)点P$(3,\ 3,\ 3)$から四角形ABCDに下ろした垂線の足をHとする．このとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{BH}}=s \overrightarrow{\mathrm{BA}}+t \overrightarrow{\mathrm{BC}} \]
を満たす$s,\ t$を求めよ．
(3)点Pを頂点とし，四角形ABCDを底面とする四角すいの体積を求めよ．