「なす角」について
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国立 岐阜大学 2013年 第7問$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{d}$は空間のベクトルであり，次の条件を満たしている．
\[ \begin{array}{l}
\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \\
|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}|=|\overrightarrow{d}|=1
\end{array} \]
以下の問に答えよ．ここで$2$つのベクトルのなす角$\theta$は$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$である．
(1)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角と$\overrightarrow{c}$と$\overrightarrow{d}$のなす角が等しいことを示せ．
(2)内積$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$が$0$であることを示せ．
(3)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角と$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$のなす角が等しいとする．このとき，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角$\theta$は，$\cos \theta \leqq 0$を満たすことを示せ．
\[ \begin{array}{l}
\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \\
|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}|=|\overrightarrow{d}|=1
\end{array} \]
以下の問に答えよ．ここで$2$つのベクトルのなす角$\theta$は$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$である．
(1)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角と$\overrightarrow{c}$と$\overrightarrow{d}$のなす角が等しいことを示せ．
(2)内積$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$が$0$であることを示せ．
(3)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角と$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$のなす角が等しいとする．このとき，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角$\theta$は，$\cos \theta \leqq 0$を満たすことを示せ．
国立 島根大学 2013年 第2問数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$を，$\displaystyle a_1=1,\ b_1=0,\ a_{n+1}=\frac{1}{4}a_n-\frac{\sqrt{3}}{4}b_n,\ b_{n+1}=\frac{\sqrt{3}}{4}a_n+\frac{1}{4}b_n$によって定め，座標が$(a_n,\ b_n)$である点を$\mathrm{C}_n$とする．原点を$\mathrm{O}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}_n}$の大きさ$|\overrightarrow{\mathrm{OC}_n}|$を，$n$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OC}_n}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}_{n+1}}$のなす角を求めよ．
(3)$S_n$を$\triangle \mathrm{OC}_n \mathrm{C}_{n+1}$の面積とするとき，$\displaystyle S_n \leqq \frac{1}{2^{2013}}$をみたす最小の自然数$n$を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}_n}$の大きさ$|\overrightarrow{\mathrm{OC}_n}|$を，$n$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OC}_n}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}_{n+1}}$のなす角を求めよ．
(3)$S_n$を$\triangle \mathrm{OC}_n \mathrm{C}_{n+1}$の面積とするとき，$\displaystyle S_n \leqq \frac{1}{2^{2013}}$をみたす最小の自然数$n$を求めよ．
国立 宮崎大学 2013年 第3問次の各問に答えよ．
(1)方程式$2 \cdot 8^x-3 \cdot 4^{x+1}+5 \cdot 2^{x+1}+24=0$を満たすような実数$x$をすべて求めよ．
(2)下図のような点$\mathrm{O}$を中心とする円において，弦$\mathrm{AB}$と点$\mathrm{A}$における接線$\ell$とのなす角$\angle \mathrm{BAT}$は，その角内にある弧$\mathrm{AB}$に対する円周角$\angle \mathrm{APB}$に等しいことを証明せよ．ただし，$\angle \mathrm{BAT}$は鋭角とする．
（図は省略）
(1)方程式$2 \cdot 8^x-3 \cdot 4^{x+1}+5 \cdot 2^{x+1}+24=0$を満たすような実数$x$をすべて求めよ．
(2)下図のような点$\mathrm{O}$を中心とする円において，弦$\mathrm{AB}$と点$\mathrm{A}$における接線$\ell$とのなす角$\angle \mathrm{BAT}$は，その角内にある弧$\mathrm{AB}$に対する円周角$\angle \mathrm{APB}$に等しいことを証明せよ．ただし，$\angle \mathrm{BAT}$は鋭角とする．
（図は省略）
国立 香川大学 2013年 第1問次の問に答えよ．
(1)座標平面上の原点$\mathrm{O}$を通り，$x$軸とのなす角が$30^\circ$で傾きが正の直線と，放物線$y=x^2$の交点で$\mathrm{O}$と異なるものを$\mathrm{A}$とおく．点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．
(2)線分$\mathrm{OA}$を$1$辺とする正方形$\mathrm{OABC}$をつくる．ただし，点$\mathrm{C}$は第$2$象限にとる．点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の座標をそれぞれ求めよ．
(3)直線$\mathrm{OB}$に垂直で，放物線$y=x^2$に接する直線の方程式を求めよ．
(1)座標平面上の原点$\mathrm{O}$を通り，$x$軸とのなす角が$30^\circ$で傾きが正の直線と，放物線$y=x^2$の交点で$\mathrm{O}$と異なるものを$\mathrm{A}$とおく．点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．
(2)線分$\mathrm{OA}$を$1$辺とする正方形$\mathrm{OABC}$をつくる．ただし，点$\mathrm{C}$は第$2$象限にとる．点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の座標をそれぞれ求めよ．
(3)直線$\mathrm{OB}$に垂直で，放物線$y=x^2$に接する直線の方程式を求めよ．
国立 香川大学 2013年 第1問次の問に答えよ．
(1)座標平面上の原点$\mathrm{O}$を通り，$x$軸とのなす角が$30^\circ$で傾きが正の直線と，放物線$y=x^2$の交点で$\mathrm{O}$と異なるものを$\mathrm{A}$とおく．点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．
(2)線分$\mathrm{OA}$を$1$辺とする正方形$\mathrm{OABC}$をつくる．ただし，点$\mathrm{C}$は第$2$象限にとる．点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の座標をそれぞれ求めよ．
(3)直線$\mathrm{OB}$に垂直で，放物線$y=x^2$に接する直線の方程式を求めよ．
(1)座標平面上の原点$\mathrm{O}$を通り，$x$軸とのなす角が$30^\circ$で傾きが正の直線と，放物線$y=x^2$の交点で$\mathrm{O}$と異なるものを$\mathrm{A}$とおく．点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．
(2)線分$\mathrm{OA}$を$1$辺とする正方形$\mathrm{OABC}$をつくる．ただし，点$\mathrm{C}$は第$2$象限にとる．点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の座標をそれぞれ求めよ．
(3)直線$\mathrm{OB}$に垂直で，放物線$y=x^2$に接する直線の方程式を求めよ．
国立 三重大学 2013年 第3問平面上のベクトル$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$が$|\overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}|=2$，$|2 \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=2$を満たすように動く．ベクトル$\overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}$，$2 \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$を，それぞれ$\overrightarrow{x}$，$\overrightarrow{y}$とし，$\overrightarrow{x}$と$\overrightarrow{y}$がなす角を$\theta$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を$\overrightarrow{x}$，$\overrightarrow{y}$で表せ．
(2)$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$を$\overrightarrow{x}$，$\overrightarrow{y}$を用いて表し，$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|^2$を$\theta$で表せ．
(3)$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$\theta$を，それぞれ求めよ．
(1)$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を$\overrightarrow{x}$，$\overrightarrow{y}$で表せ．
(2)$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$を$\overrightarrow{x}$，$\overrightarrow{y}$を用いて表し，$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|^2$を$\theta$で表せ．
(3)$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$\theta$を，それぞれ求めよ．
私立 北海学園大学 2013年 第5問座標平面上の$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(a,\ a+1)$，$\mathrm{B}(1,\ 3)$，$\mathrm{C}(2,\ 1)$について，次の問いに答えよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が垂直であるとき，$a$の値を求めよ．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が平行であるとき，$a$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角が$30^\circ$であるとき，$a$の値を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}(x,\ y)$が直線$\ell:\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}+t \overrightarrow{\mathrm{OC}}$上にあるとき，$y$を$x$を用いて表せ．また，点$\mathrm{A}$が$\ell$上にあるとき，$a$と$t$の値を求めよ．ただし，$t$は実数とする．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が垂直であるとき，$a$の値を求めよ．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が平行であるとき，$a$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角が$30^\circ$であるとき，$a$の値を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}(x,\ y)$が直線$\ell:\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}+t \overrightarrow{\mathrm{OC}}$上にあるとき，$y$を$x$を用いて表せ．また，点$\mathrm{A}$が$\ell$上にあるとき，$a$と$t$の値を求めよ．ただし，$t$は実数とする．
私立 北海学園大学 2013年 第4問座標平面上に$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \para \overrightarrow{\mathrm{DC}}$かつ$\overrightarrow{\mathrm{AD}} \para \overrightarrow{\mathrm{BC}}$を満たすような異なる$4$点$\mathrm{A}(2,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ 3)$，$\mathrm{C}(4,\ 4)$，$\mathrm{D}(x,\ y)$がある．
(1)$x$と$y$の値をそれぞれ求めよ．
(2)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{BA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABD}$の重心を$\mathrm{G}$，三角形$\mathrm{CBD}$の重心を$\mathrm{H}$とするとき，点$\mathrm{G}$と$\mathrm{H}$の座標をそれぞれ求めよ．また，三角形$\mathrm{BGH}$の面積を求めよ．
(1)$x$と$y$の値をそれぞれ求めよ．
(2)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{BA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABD}$の重心を$\mathrm{G}$，三角形$\mathrm{CBD}$の重心を$\mathrm{H}$とするとき，点$\mathrm{G}$と$\mathrm{H}$の座標をそれぞれ求めよ．また，三角形$\mathrm{BGH}$の面積を求めよ．
私立 北海学園大学 2013年 第6問座標平面上の$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(a,\ a+1)$，$\mathrm{B}(1,\ 3)$，$\mathrm{C}(2,\ 1)$について，次の問いに答えよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が垂直であるとき，$a$の値を求めよ．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が平行であるとき，$a$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角が$30^\circ$であるとき，$a$の値を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}(x,\ y)$が直線$\ell:\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}+t \overrightarrow{\mathrm{OC}}$上にあるとき，$y$を$x$を用いて表せ．また，点$\mathrm{A}$が$\ell$上にあるとき，$a$と$t$の値を求めよ．ただし，$t$は実数とする．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が垂直であるとき，$a$の値を求めよ．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が平行であるとき，$a$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角が$30^\circ$であるとき，$a$の値を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}(x,\ y)$が直線$\ell:\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}+t \overrightarrow{\mathrm{OC}}$上にあるとき，$y$を$x$を用いて表せ．また，点$\mathrm{A}$が$\ell$上にあるとき，$a$と$t$の値を求めよ．ただし，$t$は実数とする．
私立 北海学園大学 2013年 第5問座標平面上に$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ -2 \sqrt{3})$，$\mathrm{C}(x,\ y)$がある．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$のなす角が$60^\circ$であり，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$の大きさが$|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=1$であるとき，次の問いに答えよ．ただし，$x>0$，$y>0$とする．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{CA}}$の大きさ$|\overrightarrow{\mathrm{CA}}|$と，$\overrightarrow{\mathrm{CB}}$の大きさ$|\overrightarrow{\mathrm{CB}}|$を求めよ．
(2)内積$\overrightarrow{\mathrm{CA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CB}}$を求めよ．また，$\cos \angle \mathrm{ACB}$の値を求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{CA}}$の大きさ$|\overrightarrow{\mathrm{CA}}|$と，$\overrightarrow{\mathrm{CB}}$の大きさ$|\overrightarrow{\mathrm{CB}}|$を求めよ．
(2)内積$\overrightarrow{\mathrm{CA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CB}}$を求めよ．また，$\cos \angle \mathrm{ACB}$の値を求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．