平面上に三つの異なる定点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$がある．線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とする．また，同じ平面上に動点$\mathrm{P}$があり，$\displaystyle \angle \mathrm{APB}=\frac{\pi}{2}$を満たす．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OM}}=\overrightarrow{m}$とする．以下の設問に答えよ．$(1)$は解答のみでよく，$(2)$，$(3)$は解答とともに導出過程も記述せよ．

(1)$\overrightarrow{m}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{MP}}|$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)$|\overrightarrow{a}|=2$，$|\overrightarrow{b}|=\sqrt{14}$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=-6$が成り立つ．また，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{m}$のなす角を$\alpha$，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{\mathrm{MP}}$のなす角を$\beta$とする．ただし，$0 \leqq \alpha \leqq \pi$，$0 \leqq \beta \leqq \pi$とする．以下の設問$(ⅰ)$，$(ⅱ)$，$(ⅲ)$に答えよ．

(i) $\cos \alpha$の値を求めよ．
(ii) $\triangle \mathrm{OPA}$の面積が最大となるときの$\beta$の値を求めよ．
(iii) $\triangle \mathrm{OPA}$の面積の最大値を求めよ．

以下の問いの空欄$[ア]$～$[ス]$に適する数値，式などを記せ．

(1)直線$\displaystyle y=\frac{x}{\sqrt{3}}+1$と$x$軸の正の向きとのなす角は$[ア]$であり，この直線と放物線$\displaystyle y=\frac{x^2}{4}$の共有点の座標は$([イ],\ [ウ])$と$([エ],\ [オ])$である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\displaystyle \frac{\sin A}{9}=\frac{\sin B}{7}=\frac{\sin C}{5}$が成り立つとき，この三角形の最も大きい角の余弦の値は$[カ]$である．この三角形の最も大きい辺の長さを$9$とすると，三角形の面積は$[キ]$である．
(3)同じ$2$つの箱と，同じ$4$つの球がある．$2$つの箱にすべての球を分配するときの組み合わせは$[ク]$通りである．また，大小の$2$つの箱と，$1$から$4$までの数が書かれた$4$つの球があるとき，すべての球を分配するときの組み合わせは$[ケ]$通りである．ただし，片方の箱のみに球が入っている場合も含む．
(4)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}},\ y=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$のとき，$x^2+y^2$の値は$[コ]$，$x^3-y^3$の値は$[サ]$となる．
(5)大小の$2$個のさいころを投げ，出た目が同じ場合は$10$点，大のさいころの目のほうが大きい場合は$5$点，それ以外の場合には得点は得られないとするとき，点数を得られる目が出る確率は$[シ]$で，得点の期待値は$[ス]$点である．

次の問いに答えよ．

(1)不等式$\log_3(x-2)+2 \log_9(x-4)<1$を解け．
(2)$\mathrm{O}$を原点とする座標空間の座標軸上に，$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ \sqrt{6},\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 1)$がある．線分$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OC}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{BA}$を$t:1-t$に内分する点を，それぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$とする．この$4$点により定まる長方形$\mathrm{PQRS}$の面積$M(t)$が最大となるとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$，$\overrightarrow{\mathrm{QS}}$のなす角$\theta \ (0<\theta<\pi)$を求めよ．
(3)$3$個のサイコロを同時に投げるとき，出る目の積が$10$の倍数である確率を求めよ．

$a>1$とし，$2$つの曲線
\[ \begin{array}{lll}
y=\sqrt{x} & & (x \geqq 0), \\
\displaystyle y=\frac{a^3}{x} & & (x>0)
\end{array} \]
を順に$C_1,\ C_2$とする．また，$C_1$と$C_2$の交点$\mathrm{P}$における$C_1$の接線を$\ell_1$とする．以下の問いに答えよ．

(1)曲線$C_1$と$y$軸および直線$\ell_1$で囲まれた部分の面積を$a$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$における$C_2$の接線と直線$\ell_1$のなす角を$\theta(a)$とする$\displaystyle \left( 0<\theta(a)<\frac{\pi}{2} \right)$．このとき，$\displaystyle \lim_{a \to \infty}a \sin \theta(a)$を求めよ．

$k$を正の定数とする．$2$つの曲線
\[ C_1:y=\cos x \ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right),\quad C_2:y=k \tan x \ \left( 0 \leqq x<\frac{\pi}{2} \right) \]
について，次の問いに答えよ．

(1)$C_1$と$C_2$の交点におけるそれぞれの曲線の接線を$\ell_1,\ \ell_2$とする．直線$\ell_1,\ \ell_2$がなす角を$\displaystyle \theta \ \left( 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$とするとき，$\theta$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle k=\frac{3}{2}$のとき，曲線$C_1,\ C_2$と$y$軸で囲まれる図形を$x$軸のまわりに回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．

$|k|<1$または$k>1$を満たす実数$k$に対し，次の$2$次曲線$C(k)$を考える．
\[ C(k):\frac{x^2}{k+1}+\frac{y^2}{k-1}=1 \]
以下の問いに答えよ．

(1)点$(1,\ 1)$を通る曲線$C(k)$をすべて求めて，その概形をかけ．
(2)曲線$C(3)$が点$(a,\ b) \ (a>0,\ b>0)$を通るとき，$a$と$b$の間に成り立つ関係式を求めよ．またこのとき，点$(a,\ b)$を通る曲線$C(k) \ (k \neq 3)$の方程式を，$b$を用いて表し，その焦点を求めよ．
(3)(2)の$2$つの曲線$C(3)$，$C(k)$について，点$(a,\ b)$における$C(3)$，$C(k)$の接線をそれぞれ$\ell_1$，$\ell_2$とする．$\ell_1$と$\ell_2$のなす角度を求めよ．

図に示したように第$1$象限内に原点を頂点の一つとして有する \\
一辺の長さが$a$である正三角形$\mathrm{OAB}$がある．この図形に関す \\
る以下の問いに答えよ．ただし，線分$\mathrm{OA}$と$x$軸とのなす角を \\
$15^\circ$とする．また，三角関数を使用する場合，三角関数は数値 \\
化すること．
\img{410_1079_2013_1}{32}

(1)三角形$\mathrm{OAB}$の面積を求めよ．
(2)三角形の二つの頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(3)直線$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$および$\mathrm{AB}$の方程式を求めよ．
(4)この三角形$\mathrm{OAB}$の内部にあり，三角形に内側で接する円の方程式を求めよ．また，この円の面積を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)座標平面上の原点$\mathrm{O}$を通り，$x$軸とのなす角が$30^\circ$で傾きが正の直線と，放物線$y=x^2$の交点で$\mathrm{O}$と異なるものを$\mathrm{A}$とおく．点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．
(2)線分$\mathrm{OA}$を$1$辺とする正方形$\mathrm{OABC}$をつくる．ただし，点$\mathrm{C}$は第$2$象限にとる．点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の座標をそれぞれ求めよ．
(3)直線$\mathrm{OB}$に垂直で，放物線$y=x^2$に接する直線の方程式を求めよ．

$x$軸，$y$軸，$z$軸を座標軸，原点を$\mathrm{O}$とする座標空間において，$z$軸 \\
を中心軸とする半径$1$の円柱を考える．次に，$x$軸を含み$xy$平面と \\
のなす角が$\displaystyle \frac{\pi}{4}$となる平面を$\alpha$とし，平面$\alpha$による円柱の切り口の \\
曲線を$C$とする．また，点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$とする．さらに，曲線$C$上 \\
の点$\mathrm{P}$から$xy$平面に下ろした垂線を$\mathrm{PQ}$とし，$\angle \mathrm{AOQ}=\theta$ \ \\
$(0 \leqq \theta<2\pi)$とする．このとき，次の問に答えよ．
\img{711_2927_2013_1}{48}

(1)点$\mathrm{P}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{A}$を通り$z$軸に平行な直線を$\ell$とする．$\ell$によって円柱の側面を切り開いた展開図の上に，曲線$C$の概形をかけ．
(3)図のように，平面$\alpha$と$yz$平面の交線を$Y$軸とする．$xY$平面における曲線$C$の方程式を求め，その概形をかけ．
（図は省略）

平面上の$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{P}$は互いに異なる点とする．三角形$\mathrm{OAB}$において
\[ |\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=2,\quad |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=3 \]
かつ$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角が$60^\circ$とする．$\ell$は点$\mathrm{A}$を通り$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$が法線ベクトルである直線，$m$は点$\mathrm{B}$を通り$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$が法線ベクトルである直線とする．また，$\ell$と$m$は点$\mathrm{P}$で交わるとする．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AP}}$であることを用いて，内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}$を求めよ．
(2)内積$\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}$を求めよ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を満たす実数$s,\ t$の値を求めよ．