放物線$y=x^2+2ax+c$の頂点が，原点を通る傾き$-1$の直線上にある．以下の問に答えよ．

(1)放物線の$y$軸との交点の$y$座標の最小値を求めよ．
(2)$(1)$において，$x$軸との交点があればその座標を求めよ．交点のないときは「なし」と書け．