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問題集 センター試験 2015年 第4問同じ大きさの$5$枚の正方形の板を一列に並べて，図のような掲示板を作り，壁に固定する．赤色，緑色，青色のペンキを用いて，隣り合う正方形どうしが異なる色となるように，この掲示板を塗り分ける．ただし，塗り分ける際には，$3$色のペンキをすべて使わなければならないわけではなく，$2$色のペンキだけで塗り分けることがあってもよいものとする．
（図は省略）
(1)このような塗り方は，全部で$[アイ]$通りある．
(2)塗り方が左右対称となるのは，$[ウエ]$通りある．
(3)青色と緑色の$2$色だけで塗り分けるのは，$[オ]$通りある．
(4)赤色に塗られる正方形が$3$枚であるのは，$[カ]$通りある．
(5)赤色に塗られる正方形が$1$枚である場合について考える．
\begin{itemize}
どちらかの端の$1$枚が赤色に塗られるのは，$[キ]$通りある．
端以外の$1$枚が赤色に塗られるのは，$[クケ]$通りある．
\end{itemize}
よって，赤色に塗られる正方形が$1$枚であるのは，$[コサ]$通りある．
(6)赤色に塗られる正方形が$2$枚であるのは，$[シス]$通りある．
（図は省略）
(1)このような塗り方は，全部で$[アイ]$通りある．
(2)塗り方が左右対称となるのは，$[ウエ]$通りある．
(3)青色と緑色の$2$色だけで塗り分けるのは，$[オ]$通りある．
(4)赤色に塗られる正方形が$3$枚であるのは，$[カ]$通りある．
(5)赤色に塗られる正方形が$1$枚である場合について考える．
\begin{itemize}
どちらかの端の$1$枚が赤色に塗られるのは，$[キ]$通りある．
端以外の$1$枚が赤色に塗られるのは，$[クケ]$通りある．
\end{itemize}
よって，赤色に塗られる正方形が$1$枚であるのは，$[コサ]$通りある．
(6)赤色に塗られる正方形が$2$枚であるのは，$[シス]$通りある．
公立 宮城大学 2015年 第1問次の問いに答えなさい．
(1)平面上で，互いに平行な$5$本の直線とこれらに直交する$6$本の直線について，互いに隣り合う平行線どうしの間の距離がすべて等しく，その距離を$d (d>0)$とするとき，これらの平行線を使ってできるすべての長方形の個数を求めなさい．また，これら長方形のうち，正方形でない長方形の個数を求めなさい．
(2)$\log_{10}2<0.31$が成り立つことを示しなさい．
(1)平面上で，互いに平行な$5$本の直線とこれらに直交する$6$本の直線について，互いに隣り合う平行線どうしの間の距離がすべて等しく，その距離を$d (d>0)$とするとき，これらの平行線を使ってできるすべての長方形の個数を求めなさい．また，これら長方形のうち，正方形でない長方形の個数を求めなさい．
(2)$\log_{10}2<0.31$が成り立つことを示しなさい．
国立 香川大学 2014年 第4問$0<r<R$とし，半径$R$の円に半径$r$の小円をいくつか外接させる．ただし，小円どうしは接するか互いに交わらないものとする（図参照）．このときの小円の個数の最大値を$n$としたとき，次の問に答えよ．必要ならば，下の数表（三角関数表）を用いてよい．
（図は省略）
$*$ 三角関数表は省略した．
(1)$R=3r$のとき，$n$を求めよ．
(2)$\displaystyle n \leqq \pi \left( \frac{R}{r}+1 \right)$を示せ．
（図は省略）
$*$ 三角関数表は省略した．
(1)$R=3r$のとき，$n$を求めよ．
(2)$\displaystyle n \leqq \pi \left( \frac{R}{r}+1 \right)$を示せ．
国立 山口大学 2011年 第4問図のように東西に6本，南北に10本の道がある．東西の道と南北の道の出会う地点を交差点とよび，隣どうしの交差点を結ぶ道を区間ということにする．$\mathrm{A}$地点から$\mathrm{B}$地点に進むとき，次の問いに答えなさい．ただし，どの交差点においても，東西および北のいずれかに進むことはできるが，南に進むことはできないとする．また，後戻りもできないとする．図の中の太線は道順の例を示したものである．
(1)$\mathrm{A}$地点から$\mathrm{B}$地点へ行く道順の総数を求めなさい．
(2)$\mathrm{C}$地点を通って，$\mathrm{A}$地点から$\mathrm{B}$地点へ行く道順の総数を求めなさい．
(3)$\mathrm{A}$地点から$\mathrm{B}$地点まで16区間で行く道順の総数を求めなさい．
（図は省略）
(1)$\mathrm{A}$地点から$\mathrm{B}$地点へ行く道順の総数を求めなさい．
(2)$\mathrm{C}$地点を通って，$\mathrm{A}$地点から$\mathrm{B}$地点へ行く道順の総数を求めなさい．
(3)$\mathrm{A}$地点から$\mathrm{B}$地点まで16区間で行く道順の総数を求めなさい．
（図は省略）
国立 茨城大学 2011年 第2問水戸黄門，助さん、格さん．弥七，お銀，八兵衛の6人が左から右へこの順番で1列に並んで座っている．6人が席を入れ換える．どの並びかたも同様の確からしさで起こるものとする．このとき以下となる確率を求めよ．
(1)助さんと格さんが両端に座る．
(2)水戸黄門とお銀が隣どうしに座る．
(3)最初と同じ席に座る人がちょうど 3 人．
(4)最初と同じ席に座る人がいない．
(1)助さんと格さんが両端に座る．
(2)水戸黄門とお銀が隣どうしに座る．
(3)最初と同じ席に座る人がちょうど 3 人．
(4)最初と同じ席に座る人がいない．
私立 早稲田大学 2011年 第1問次の$[ ]$にあてはまる数または数式を解答用紙の所定欄に記入せよ．
(1)平面上の$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周上にあり，
\[ 3 \overrightarrow{\mathrm{OA}}+7 \overrightarrow{\mathrm{OB}}+5 \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
を満たしている．このとき線分$\mathrm{AB}$の長さは[ア]である．
(2)$xy$平面上の曲線$y=e^x$と$y$軸および直線$y=e$で囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積は[イ]である．
(3)碁石を$n$個一列に並べる並べ方のうち，黒石が先頭で白石どうしは隣り合わないような並べ方の総数を$a_n$とする．ここで，$a_1=1$，$a_2=2$である．
(4)立方体の各辺の中点は全部で$12$個ある．頂点がすべてこれら$12$個の点のうちのどれかであるような正多角形は全部で[エ]個ある．
(1)平面上の$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周上にあり，
\[ 3 \overrightarrow{\mathrm{OA}}+7 \overrightarrow{\mathrm{OB}}+5 \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
を満たしている．このとき線分$\mathrm{AB}$の長さは[ア]である．
(2)$xy$平面上の曲線$y=e^x$と$y$軸および直線$y=e$で囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積は[イ]である．
(3)碁石を$n$個一列に並べる並べ方のうち，黒石が先頭で白石どうしは隣り合わないような並べ方の総数を$a_n$とする．ここで，$a_1=1$，$a_2=2$である．
(4)立方体の各辺の中点は全部で$12$個ある．頂点がすべてこれら$12$個の点のうちのどれかであるような正多角形は全部で[エ]個ある．
国立 岡山大学 2010年 第1問男性$\text{M}_1,\ \cdots,\ \text{M}_4$の4人と女性$\text{F}_1,\ \cdots,\ \text{F}_4$の4人が，横一列に並んだ座席$\text{S}_1,\ \cdots,\ \text{S}_8$に座る場合を考える．
(1)同性どうしが隣り合わない座り方は何通りあるか．
(2)(1)の座り方の中で，M$_1$の両隣りがF$_1$とF$_2$になる座り方は何通りあるか．
(3)(1)の座り方の中で，M$_1$とF$_1$が隣り合わない座り方は何通りあるか．
(1)同性どうしが隣り合わない座り方は何通りあるか．
(2)(1)の座り方の中で，M$_1$の両隣りがF$_1$とF$_2$になる座り方は何通りあるか．
(3)(1)の座り方の中で，M$_1$とF$_1$が隣り合わない座り方は何通りあるか．
国立 岡山大学 2010年 第1問男性$\text{M}_1,\ \cdots,\ \text{M}_4$の4人と女性$\text{F}_1,\ \cdots,\ \text{F}_4$の4人が，横一列に並んだ座席$\text{S}_1,\ \cdots,\ \text{S}_8$に座る場合を考える．
(1)同性どうしが隣り合わない座り方は何通りあるか．
(2)(1)の座り方の中で，M$_1$の両隣りがF$_1$とF$_2$になる座り方は何通りあるか．
(3)(1)の座り方の中で，M$_1$とF$_1$が隣り合わない座り方は何通りあるか．
(1)同性どうしが隣り合わない座り方は何通りあるか．
(2)(1)の座り方の中で，M$_1$の両隣りがF$_1$とF$_2$になる座り方は何通りあるか．
(3)(1)の座り方の中で，M$_1$とF$_1$が隣り合わない座り方は何通りあるか．
私立 北海道文教大学 2010年 第1問次の問いに答えなさい．
(1)次の式を因数分解しなさい．
\[ 4x^2+8x-21 \]
(2)次の$2$次方程式を解きなさい．
\[ x^2+5x+3=0 \]
(3)次の連立不等式を解きなさい．
\[ 2-4x \geqq -2x>3x-2 \]
(4)$x=\sqrt{7+2 \sqrt{10}},\ y=\sqrt{7-2 \sqrt{10}}$のとき，次の式の値を求めなさい．
(i) $x+y,\ xy$
(ii) $x^3+y^3$
(5)男子$4$人，女子$3$人が$1$列に並ぶとき，次のような並び方は何通りありますか．
(i) 女子$3$人が隣り合う
(ii) 女子どうしが隣り合わない
(6)$1$個のさいころを繰り返し$3$回投げるとき，目の最小値が$2$以下である確率を求めなさい．
(1)次の式を因数分解しなさい．
\[ 4x^2+8x-21 \]
(2)次の$2$次方程式を解きなさい．
\[ x^2+5x+3=0 \]
(3)次の連立不等式を解きなさい．
\[ 2-4x \geqq -2x>3x-2 \]
(4)$x=\sqrt{7+2 \sqrt{10}},\ y=\sqrt{7-2 \sqrt{10}}$のとき，次の式の値を求めなさい．
(i) $x+y,\ xy$
(ii) $x^3+y^3$
(5)男子$4$人，女子$3$人が$1$列に並ぶとき，次のような並び方は何通りありますか．
(i) 女子$3$人が隣り合う
(ii) 女子どうしが隣り合わない
(6)$1$個のさいころを繰り返し$3$回投げるとき，目の最小値が$2$以下である確率を求めなさい．