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私立 星薬科大学 2015年 第4問$a>0$として，放物線$C:y=4x^2+2$，直線$\ell:y=ax-6$について次の問に答えよ．
(1)$C$が点$(2,\ 18)$で$\ell$と交わるとき，$a=[$25$][$26$]$となり，点$([$27$],\ [$28$])$でも交わる．
(2)$C$と$\ell$が接する場合$a=[$29$] \sqrt{[$30$]}$となり，接点の座標は
\[ (\sqrt{[$31$]},\ [$32$][$33$]) \]
となる．$C$，$\ell$と$y$軸で囲まれた領域の面積は$\displaystyle \frac{[$34$] \sqrt{[$35$]}}{[$36$]}$である．
(1)$C$が点$(2,\ 18)$で$\ell$と交わるとき，$a=[$25$][$26$]$となり，点$([$27$],\ [$28$])$でも交わる．
(2)$C$と$\ell$が接する場合$a=[$29$] \sqrt{[$30$]}$となり，接点の座標は
\[ (\sqrt{[$31$]},\ [$32$][$33$]) \]
となる．$C$，$\ell$と$y$軸で囲まれた領域の面積は$\displaystyle \frac{[$34$] \sqrt{[$35$]}}{[$36$]}$である．
私立 松山大学 2013年 第2問一般項が，$\displaystyle a_n=\frac{1}{\sqrt{5}} \left\{ \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n-\left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n \right\}$で与えられる数列$\{a_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$がある．
このとき，$\{a_n\}$は自然数からなる数列であることが次のようにして示される．
$\displaystyle \alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2},\ \beta=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$とおくと，$\alpha+\beta=[ア]$，$\alpha\beta=[イウ]$となる．
ここで
$a_1=[エ]$，$a_2=[オ]$ $\cdots\cdots①$
$a_n$を$\alpha,\ \beta$を用いて表すと，$\displaystyle a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}(\alpha^n-\beta^n)$である．
このとき
\[ \begin{array}{rcl}
a_{n+2} &=& \displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}}(\alpha^{n+2}-\beta^{n+2}) \\
\displaystyle\phantom{\frac{[ ]}{2}} &=& \displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}} \left\{ \left( \alpha^{n+[カ]}-\beta^{n+[キ]} \right) (\alpha+\beta)-\alpha\beta (\alpha^n-\beta^n) \right\}
\end{array} \]
となり
\[ a_{n+2}=[ク] a_{n+1}+[ケ]a_n \cdots\cdots② \]
が成り立つ．よって$①$，$②$より，$a_3=[コ]$，$a_4=[サ]$，$\cdots$となり，$\{a_n\}$は自然数からなる数列であることが示された．
このとき，$\{a_n\}$は自然数からなる数列であることが次のようにして示される．
$\displaystyle \alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2},\ \beta=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$とおくと，$\alpha+\beta=[ア]$，$\alpha\beta=[イウ]$となる．
ここで
$a_1=[エ]$，$a_2=[オ]$ $\cdots\cdots①$
$a_n$を$\alpha,\ \beta$を用いて表すと，$\displaystyle a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}(\alpha^n-\beta^n)$である．
このとき
\[ \begin{array}{rcl}
a_{n+2} &=& \displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}}(\alpha^{n+2}-\beta^{n+2}) \\
\displaystyle\phantom{\frac{[ ]}{2}} &=& \displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}} \left\{ \left( \alpha^{n+[カ]}-\beta^{n+[キ]} \right) (\alpha+\beta)-\alpha\beta (\alpha^n-\beta^n) \right\}
\end{array} \]
となり
\[ a_{n+2}=[ク] a_{n+1}+[ケ]a_n \cdots\cdots② \]
が成り立つ．よって$①$，$②$より，$a_3=[コ]$，$a_4=[サ]$，$\cdots$となり，$\{a_n\}$は自然数からなる数列であることが示された．
国立 豊橋技術科学大学 2011年 第4問別々に製造される部品$\mathrm{A}$と部品$\mathrm{B}$を$1$個ずつ組み合わせて製造する製品がある．製品の不良は各部品の不良のみに由来し，部品$\mathrm{A}$に不良が生じる確率は$\displaystyle \frac{1}{9}$，部品$\mathrm{B}$に不良が生じる確率は$\displaystyle \frac{1}{4}$である．製品を製造した後，検査するまで各部品が不良であるかどうかは分からないとする．以下の問いに答えよ．
(1)合格品（不良が無い製品）が製造される確率を求めよ．
(2)製品を$5$個製造した後，検査を行ったとき，$4$個以上が合格品である確率を求めよ．
(3)この製品$1$個の販売価格は$1,200$円である．また，部品$\mathrm{A}$の$1$個あたりの製造費用は$300$円であり，部品$\mathrm{B}$の$1$個あたりの製造費用は$100$円である．製品$1$個あたりの利益は，以下の式で計算される．
（製品$1$個あたりの利益）$=$（販売価格）$-$（製品$1$個あたりの費用）
製品$1$個あたりの費用が部品$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の製造費用のみと考えてよいとき，製品$1$個あたりの利益の期待値を求めよ．なお，不良品（不良のある製品）は販売しないため，上式の（販売価格）項が$0$となり負の利益（損失）が生じることを考慮せよ．
(4)新たに工作機械を導入することで，部品$\mathrm{B}$に不良が生じる確率を$\displaystyle \frac{1}{8}$にすることができる．しかし，この工作機械の導入費用として$500,000$円が必要であり，これに加えて部品$\mathrm{B}$の$1$個あたりの製造費用は$100$円増加する．$10,000$個製品を製造するとき，工作機械を導入する場合としない場合でどちらが有利か，工作機械を導入する場合の製品$1$個あたりの利益の期待値を示した上で判定せよ．ただし，工作機械の導入費用は$10,000$個の製品の製造でまかなうものとする．また，販売価格および部品$\mathrm{A}$の製造費用は(3)と同じとする．
(1)合格品（不良が無い製品）が製造される確率を求めよ．
(2)製品を$5$個製造した後，検査を行ったとき，$4$個以上が合格品である確率を求めよ．
(3)この製品$1$個の販売価格は$1,200$円である．また，部品$\mathrm{A}$の$1$個あたりの製造費用は$300$円であり，部品$\mathrm{B}$の$1$個あたりの製造費用は$100$円である．製品$1$個あたりの利益は，以下の式で計算される．
（製品$1$個あたりの利益）$=$（販売価格）$-$（製品$1$個あたりの費用）
製品$1$個あたりの費用が部品$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の製造費用のみと考えてよいとき，製品$1$個あたりの利益の期待値を求めよ．なお，不良品（不良のある製品）は販売しないため，上式の（販売価格）項が$0$となり負の利益（損失）が生じることを考慮せよ．
(4)新たに工作機械を導入することで，部品$\mathrm{B}$に不良が生じる確率を$\displaystyle \frac{1}{8}$にすることができる．しかし，この工作機械の導入費用として$500,000$円が必要であり，これに加えて部品$\mathrm{B}$の$1$個あたりの製造費用は$100$円増加する．$10,000$個製品を製造するとき，工作機械を導入する場合としない場合でどちらが有利か，工作機械を導入する場合の製品$1$個あたりの利益の期待値を示した上で判定せよ．ただし，工作機械の導入費用は$10,000$個の製品の製造でまかなうものとする．また，販売価格および部品$\mathrm{A}$の製造費用は(3)と同じとする．
国立 佐賀大学 2011年 第3問次の問いに答えよ．
(1)正方形$\mathrm{ABCD}$が図のように3つの線分$\mathrm{EG}$，$\mathrm{FH}$，$\mathrm{CG}$に \\
よって4つの部分に分割されている．四角形$\mathrm{AEGH}$は面積 \\
が400の正方形になり，三角形$\mathrm{FCG}$は面積が8になる． \\
このとき，正方形$\mathrm{ABCD}$の面積を求めよ．
\img{711_2922_2011_1}{30}
(2)「2116の正の平方根を求めよ」という問題に対して \\
以下のような答案があった．この答案の意図を解説せよ． \\
（答案） \quad まず$40^2<2116<50^2$なので，$2116-40^2=516$を出す．次に516を2で割って258が出る．この258を40で割ると商が6で余りが18になる．さらに余りの18に2をかければ$36=6^2$となり商の2乗が出る． \\
最後に$40^2$と$6^2$とから$40+6=46$が得られる．以上により，求める答えは46になる．
(1)正方形$\mathrm{ABCD}$が図のように3つの線分$\mathrm{EG}$，$\mathrm{FH}$，$\mathrm{CG}$に \\
よって4つの部分に分割されている．四角形$\mathrm{AEGH}$は面積 \\
が400の正方形になり，三角形$\mathrm{FCG}$は面積が8になる． \\
このとき，正方形$\mathrm{ABCD}$の面積を求めよ．
\img{711_2922_2011_1}{30}
(2)「2116の正の平方根を求めよ」という問題に対して \\
以下のような答案があった．この答案の意図を解説せよ． \\
（答案） \quad まず$40^2<2116<50^2$なので，$2116-40^2=516$を出す．次に516を2で割って258が出る．この258を40で割ると商が6で余りが18になる．さらに余りの18に2をかければ$36=6^2$となり商の2乗が出る． \\
最後に$40^2$と$6^2$とから$40+6=46$が得られる．以上により，求める答えは46になる．