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星薬科大学 私立 星薬科大学 2015年 第4問
$a>0$として,放物線$C:y=4x^2+2$,直線$\ell:y=ax-6$について次の問に答えよ.

(1)$C$が点$(2,\ 18)$で$\ell$と交わるとき,$a=[$25$][$26$]$となり,点$([$27$],\ [$28$])$でも交わる.
(2)$C$と$\ell$が接する場合$a=[$29$] \sqrt{[$30$]}$となり,接点の座標は
\[ (\sqrt{[$31$]},\ [$32$][$33$]) \]
となる.$C$,$\ell$と$y$軸で囲まれた領域の面積は$\displaystyle \frac{[$34$] \sqrt{[$35$]}}{[$36$]}$である.
松山大学 私立 松山大学 2013年 第2問
一般項が,$\displaystyle a_n=\frac{1}{\sqrt{5}} \left\{ \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n-\left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n \right\}$で与えられる数列$\{a_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$がある.

このとき,$\{a_n\}$は自然数からなる数列であることが次のようにして示される.
$\displaystyle \alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2},\ \beta=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$とおくと,$\alpha+\beta=[ア]$,$\alpha\beta=[イウ]$となる.
ここで
$a_1=[エ]$,$a_2=[オ]$ $\cdots\cdots①$
$a_n$を$\alpha,\ \beta$を用いて表すと,$\displaystyle a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}(\alpha^n-\beta^n)$である.
このとき
\[ \begin{array}{rcl}
a_{n+2} &=& \displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}}(\alpha^{n+2}-\beta^{n+2}) \\
\displaystyle\phantom{\frac{[ ]}{2}} &=& \displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}} \left\{ \left( \alpha^{n+[カ]}-\beta^{n+[キ]} \right) (\alpha+\beta)-\alpha\beta (\alpha^n-\beta^n) \right\}
\end{array} \]
となり
\[ a_{n+2}=[ク] a_{n+1}+[ケ]a_n \cdots\cdots② \]
が成り立つ.よって$①$,$②$より,$a_3=[コ]$,$a_4=[サ]$,$\cdots$となり,$\{a_n\}$は自然数からなる数列であることが示された.
豊橋技術科学大学 国立 豊橋技術科学大学 2011年 第4問
別々に製造される部品$\mathrm{A}$と部品$\mathrm{B}$を$1$個ずつ組み合わせて製造する製品がある.製品の不良は各部品の不良のみに由来し,部品$\mathrm{A}$に不良が生じる確率は$\displaystyle \frac{1}{9}$,部品$\mathrm{B}$に不良が生じる確率は$\displaystyle \frac{1}{4}$である.製品を製造した後,検査するまで各部品が不良であるかどうかは分からないとする.以下の問いに答えよ.

(1)合格品(不良が無い製品)が製造される確率を求めよ.
(2)製品を$5$個製造した後,検査を行ったとき,$4$個以上が合格品である確率を求めよ.
(3)この製品$1$個の販売価格は$1,200$円である.また,部品$\mathrm{A}$の$1$個あたりの製造費用は$300$円であり,部品$\mathrm{B}$の$1$個あたりの製造費用は$100$円である.製品$1$個あたりの利益は,以下の式で計算される.

(製品$1$個あたりの利益)$=$(販売価格)$-$(製品$1$個あたりの費用)

製品$1$個あたりの費用が部品$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の製造費用のみと考えてよいとき,製品$1$個あたりの利益の期待値を求めよ.なお,不良品(不良のある製品)は販売しないため,上式の(販売価格)項が$0$となり負の利益(損失)が生じることを考慮せよ.
(4)新たに工作機械を導入することで,部品$\mathrm{B}$に不良が生じる確率を$\displaystyle \frac{1}{8}$にすることができる.しかし,この工作機械の導入費用として$500,000$円が必要であり,これに加えて部品$\mathrm{B}$の$1$個あたりの製造費用は$100$円増加する.$10,000$個製品を製造するとき,工作機械を導入する場合としない場合でどちらが有利か,工作機械を導入する場合の製品$1$個あたりの利益の期待値を示した上で判定せよ.ただし,工作機械の導入費用は$10,000$個の製品の製造でまかなうものとする.また,販売価格および部品$\mathrm{A}$の製造費用は(3)と同じとする.
佐賀大学 国立 佐賀大学 2011年 第3問
次の問いに答えよ.

(1)正方形$\mathrm{ABCD}$が図のように3つの線分$\mathrm{EG}$,$\mathrm{FH}$,$\mathrm{CG}$に \\
よって4つの部分に分割されている.四角形$\mathrm{AEGH}$は面積 \\
が400の正方形になり,三角形$\mathrm{FCG}$は面積が8になる. \\
このとき,正方形$\mathrm{ABCD}$の面積を求めよ.
\img{711_2922_2011_1}{30}

(2)「2116の正の平方根を求めよ」という問題に対して \\
以下のような答案があった.この答案の意図を解説せよ. \\
(答案) \quad まず$40^2<2116<50^2$なので,$2116-40^2=516$を出す.次に516を2で割って258が出る.この258を40で割ると商が6で余りが18になる.さらに余りの18に2をかければ$36=6^2$となり商の2乗が出る. \\
最後に$40^2$と$6^2$とから$40+6=46$が得られる.以上により,求める答えは46になる.
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