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玉川大学 私立 玉川大学 2016年 第4問
曲線$C:y=x^3-12x$とその上の点$\mathrm{A}(1,\ -11)$がある.このとき,次の問いに答えよ.

(1)点$\mathrm{A}$を通る曲線$C$の接線$2$本を求めよ.
(2)曲線$y=x^3+px^2+qx+r$と直線$y=mx+n$が異なる$3$点で交わるとき,その交点の$x$座標を左から$a,\ b,\ c$とする.曲線と直線の囲む部分の左側,右側の面積をそれぞれ$S$,$S^\prime$とするとき,
\[ S-S^\prime=\frac{1}{6}(c-a)^3 \left( b-\frac{a+c}{2} \right) \]
を示せ.
(3)点$\mathrm{A}$を通り,$(1)$で求めた$2$直線の傾きの間の値を傾きとしてもつ直線$\ell$と曲線$C$の囲む$2$つの部分の面積が等しい.このとき,直線$\ell$を求めよ.ここで,$(2)$から$\displaystyle b=\frac{a+c}{2}$のとき,$S=S^\prime$となることに注意せよ.
東北大学 国立 東北大学 2015年 第4問
$a>0$を実数とする.関数$f(t)=-4t^3+(a+3)t$の$0 \leqq t \leqq 1$における最大値を$M(a)$とする.

(1)$M(a)$を求めよ.
(2)実数$x>0$に対し,$g(x)=M(x)^2$とおく.$xy$平面において,関数$y=g(x)$のグラフに点$(s,\ g(s))$で接する直線が原点を通るとき,実数$s>0$とその接線の傾きを求めよ.
(3)$a$が正の実数全体を動くとき,
\[ k=\frac{M(a)}{\sqrt{a}} \]
の最小値を求めよ.
滋賀県立大学 公立 滋賀県立大学 2015年 第3問
数列$\{a_n\}$とその階差数列$\{b_n\}$に対して,
\[ a_1=1,\quad \frac{a_n}{n}=(3n-2)b_{n-1} \quad (n=2,\ 3,\ \cdots) \]
が成り立っているとする.

(1)$\{a_n\}$の一般項を求めよ.
(2)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n b_k$を求めよ.
京都産業大学 私立 京都産業大学 2013年 第3問
以下の$[ ]$にあてはまる式または数値を入れよ.

$a$を正の実数とし,$xy$平面上に放物線$C:y=ax^2$とその上の点$\mathrm{P}(p,\ ap^2)$とが与えられている.ただし,$p>0$とする.原点を$\mathrm{O}$とする.
(1)放物線$C$と$x$軸および直線$x=p$で囲まれた部分の面積を$S_1(p)$とすると,$S_1(p)=[ア]$である.
(2)放物線$C$の$\mathrm{P}$における接線$\ell_1$の方程式は$y=[イ]$である.
(3)$\mathrm{P}$を通り$\ell_1$に垂直な直線$\ell_2$の方程式は$y=[ウ]$であり,$\ell_2$と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とすると,$\mathrm{Q}$の$x$座標は$[エ]$である.
(4)点$\mathrm{R}(0,\ 1)$とする.$\mathrm{OQ}$,$\mathrm{OR}$を$2$辺とする長方形の面積を$S_2(p)$とし,$f(p)=S_1(p)-S_2(p) (p>0)$とおく.関数$f(p)$が極値をもつような$a$の値の範囲は$[オ]$である.
(5)$\displaystyle a=\frac{1}{10}$のとき,$f(p)$の極値を求めて,さらに$f(p)$のグラフを描け.
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「とそ」とは・・・

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