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私立 聖マリアンナ医科大学 2016年 第1問以下の$[ ]$にあてはまる適切な数を記入しなさい．
(1)どの位にも$0$を使わずに，でたらめに$4$桁の整数を作る．このとき，どの位の数字も異なる確率は$[ ]$である．
(2)円に内接する正三角形の面積が$27 \sqrt{3}$のとき，この円の半径は$[ ]$である．
(3)$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \left( 4x+3+\sqrt{16x^2+9} \right)=[ ]$である．
(4)$\displaystyle \frac{\sin {55}^\circ+\sin {175}^\circ+\sin {65}^\circ+\sin {185}^\circ}{\sin {50}^\circ+\cos {50}^\circ}$の値を求めると，$[ ]$である．
(5)$1$辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$において，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$，辺$\mathrm{BC}$を$3:1$に外分する点を$\mathrm{N}$とする．線分$\mathrm{MN}$と線分$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{L}$とするとき，線分$\mathrm{AL}$の長さは$[ ]$である．
(1)どの位にも$0$を使わずに，でたらめに$4$桁の整数を作る．このとき，どの位の数字も異なる確率は$[ ]$である．
(2)円に内接する正三角形の面積が$27 \sqrt{3}$のとき，この円の半径は$[ ]$である．
(3)$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \left( 4x+3+\sqrt{16x^2+9} \right)=[ ]$である．
(4)$\displaystyle \frac{\sin {55}^\circ+\sin {175}^\circ+\sin {65}^\circ+\sin {185}^\circ}{\sin {50}^\circ+\cos {50}^\circ}$の値を求めると，$[ ]$である．
(5)$1$辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$において，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$，辺$\mathrm{BC}$を$3:1$に外分する点を$\mathrm{N}$とする．線分$\mathrm{MN}$と線分$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{L}$とするとき，線分$\mathrm{AL}$の長さは$[ ]$である．
私立 自治医科大学 2014年 第9問正解か不正解かだけを問う二者択一式の問題が$10$個ある．でたらめに解答し$2$問だけ正解であった．このときの確率を$p$とする．$\displaystyle \frac{2^{10}}{5}p$の値を求めよ．
公立 鳥取環境大学 2013年 第4問次のようなゲームについて以下の問に答えよ．
カードが$5$枚伏せてある．$1$回の試行ではカードをかき混ぜて$1$枚をでたらめに選んでめくり，出たカードの番号に対応する賞品がもらえる．$5$種類の賞品をすべてあつめるのが目的である．ただし，めくったカードはその都度戻すものとする．
ここで，すでに$k$種類の賞品を持っている状況で試行を$1$回行ってまだ持っていない賞品がもらえる確率を$P_k$で表すとする（$0 \leqq k \leqq 4$）．$P_0=1$である．
(1)$P_1$の値を求めよ．
(2)$P_k$を$k$を用いた式で表せ．
(3)$5$回の試行で賞品が全種類そろう確率を求めよ．その際，考え方を説明し，確率を求める式も示せ．
(4)試行を$5$回行った時点で得られている賞品が$4$種類だけである確率を求めよ．その際，考え方を説明し，確率を求める式も示せ．
(5)ある事象が起きる確率が$x$であるとき，その事象が起きるまで繰り返し試行を行うならば，必要な試行回数の期待値は$\displaystyle \frac{1}{x}$だと知られている．ここで，賞品を$k$種類（$0 \leqq k \leqq 4$）持っている状況から始めてまだ持っていない賞品のいずれか$1$つが得られるまでの試行回数の期待値を$Q_k$で表すとする（$0 \leqq k \leqq 4$）．$Q_k$を$P_k$を用いた式で表せ．さらに$k$を用いた（$P_k$を使わない）形で式を表せ．
(6)賞品を$n$種類持っている状況から始めて賞品が$m$種類そろうまでの試行回数の期待値は$\displaystyle \sum_{k=n}^{m-1} Q_k$となる．ただし，$0 \leqq n<m \leqq 4$である．賞品を$1$つも持っていない状況から$4$種類そろうまでと，$4$種類そろった状況から最後の$1$種類が出るまでと，試行回数の期待値はどちらが大きいか．計算して求めよ．
カードが$5$枚伏せてある．$1$回の試行ではカードをかき混ぜて$1$枚をでたらめに選んでめくり，出たカードの番号に対応する賞品がもらえる．$5$種類の賞品をすべてあつめるのが目的である．ただし，めくったカードはその都度戻すものとする．
ここで，すでに$k$種類の賞品を持っている状況で試行を$1$回行ってまだ持っていない賞品がもらえる確率を$P_k$で表すとする（$0 \leqq k \leqq 4$）．$P_0=1$である．
(1)$P_1$の値を求めよ．
(2)$P_k$を$k$を用いた式で表せ．
(3)$5$回の試行で賞品が全種類そろう確率を求めよ．その際，考え方を説明し，確率を求める式も示せ．
(4)試行を$5$回行った時点で得られている賞品が$4$種類だけである確率を求めよ．その際，考え方を説明し，確率を求める式も示せ．
(5)ある事象が起きる確率が$x$であるとき，その事象が起きるまで繰り返し試行を行うならば，必要な試行回数の期待値は$\displaystyle \frac{1}{x}$だと知られている．ここで，賞品を$k$種類（$0 \leqq k \leqq 4$）持っている状況から始めてまだ持っていない賞品のいずれか$1$つが得られるまでの試行回数の期待値を$Q_k$で表すとする（$0 \leqq k \leqq 4$）．$Q_k$を$P_k$を用いた式で表せ．さらに$k$を用いた（$P_k$を使わない）形で式を表せ．
(6)賞品を$n$種類持っている状況から始めて賞品が$m$種類そろうまでの試行回数の期待値は$\displaystyle \sum_{k=n}^{m-1} Q_k$となる．ただし，$0 \leqq n<m \leqq 4$である．賞品を$1$つも持っていない状況から$4$種類そろうまでと，$4$種類そろった状況から最後の$1$種類が出るまでと，試行回数の期待値はどちらが大きいか．計算して求めよ．
私立 南山大学 2010年 第1問$[ ]$の中に答を入れよ．
(1)一般項が$a_n=2n+1$で与えられる数列$\{a_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき，$S_{10}=[ア]$であり，$S_n=9999$となるのは$n=[イ]$のときである．
(2)$A=\left( \begin{array}{rr}
1 & -3 \\
-2 & 3
\end{array} \right),\ E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$のとき，$A^2-4A=[ウ]$であり，$A^3-5A^2+A-E=[エ]$である．
(3)複素数$\alpha,\ \beta$が$\alpha^3+\beta^3=-2$，$\alpha\beta=1$を満たすとき，$\alpha+\beta=[オ]$であり，$\alpha^2+\beta^2=[カ]$である．
(4)関数$\displaystyle y=|\cos x|+2 \sin \frac{x}{2}$を考える．$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，$y$のとりうる値の範囲は$[キ]$である．$\displaystyle \frac{\pi}{2}<x \leqq \pi$のとき，$y$のとりうる値の範囲は$[ク]$である．
(5)$1$と書かれたカード，$2$と書かれたカード，$3$と書かれたカードがそれぞれ$1$枚ずつ入った袋がある．この袋からでたらめにカードを$1$枚取り出して，書かれた数字の数だけコインをもらい，カードを袋に戻すという試行を繰り返すゲームを行う．ゲームが終了するのは，試行を$2$回繰り返した後にそれまでにもらったコインの枚数の合計がちょうど$4$枚になったとき，または，そうならずに試行を$3$回繰り返したときのいずれかである．このゲームが終了したときに，それまでにもらったコインの枚数の合計が$4$枚である確率は$[ケ]$であり，$6$枚以上である確率は$[コ]$である．
(1)一般項が$a_n=2n+1$で与えられる数列$\{a_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき，$S_{10}=[ア]$であり，$S_n=9999$となるのは$n=[イ]$のときである．
(2)$A=\left( \begin{array}{rr}
1 & -3 \\
-2 & 3
\end{array} \right),\ E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$のとき，$A^2-4A=[ウ]$であり，$A^3-5A^2+A-E=[エ]$である．
(3)複素数$\alpha,\ \beta$が$\alpha^3+\beta^3=-2$，$\alpha\beta=1$を満たすとき，$\alpha+\beta=[オ]$であり，$\alpha^2+\beta^2=[カ]$である．
(4)関数$\displaystyle y=|\cos x|+2 \sin \frac{x}{2}$を考える．$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，$y$のとりうる値の範囲は$[キ]$である．$\displaystyle \frac{\pi}{2}<x \leqq \pi$のとき，$y$のとりうる値の範囲は$[ク]$である．
(5)$1$と書かれたカード，$2$と書かれたカード，$3$と書かれたカードがそれぞれ$1$枚ずつ入った袋がある．この袋からでたらめにカードを$1$枚取り出して，書かれた数字の数だけコインをもらい，カードを袋に戻すという試行を繰り返すゲームを行う．ゲームが終了するのは，試行を$2$回繰り返した後にそれまでにもらったコインの枚数の合計がちょうど$4$枚になったとき，または，そうならずに試行を$3$回繰り返したときのいずれかである．このゲームが終了したときに，それまでにもらったコインの枚数の合計が$4$枚である確率は$[ケ]$であり，$6$枚以上である確率は$[コ]$である．
公立 兵庫県立大学 2010年 第5問$52$枚の$1$組のトランプがあるとき，次の確率を求めなさい．ただし，確率は分数で表しなさい．また，トランプにはスペード，ハート，ダイヤ，クラブ（クローバー）の$4$種類のカードがある．
(1)$1$組のトランプから$2$枚のカードをでたらめに引いたとき，$2$枚とも$\mathrm{A}$（エース）である確率
(2)$1$組のトランプから$4$枚のカードをでたらめに引いたとき，$4$枚とも異なった種類のカードである確率
(1)$1$組のトランプから$2$枚のカードをでたらめに引いたとき，$2$枚とも$\mathrm{A}$（エース）である確率
(2)$1$組のトランプから$4$枚のカードをでたらめに引いたとき，$4$枚とも異なった種類のカードである確率