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私立 慶應義塾大学 2014年 第5問数列$\{a_n\}$に対してつぎのように定められる数列$\{b_n\}$を$\{a_n\}$の階差数列という．
\[ b_n=a_{n+1}-a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
$\{b_n\}$の階差数列を$\{c_n\}$とし，$\{c_n\}$の階差数列を$\{d_n\}$としよう．いま
\[ a_1=1,\quad b_1=2,\quad c_1=4 \]
であり，$d_n$はすべて$8$に等しいとする．このとき
\[ a_5=[$101$][$102$],\quad a_6=[$103$][$104$][$105$],\quad a_7=[$106$][$107$][$108$] \]
であり，一般に$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，
\[ a_n=\frac{1}{3} \left( [$109$][$110$]n^3-[$111$][$112$]n^2+[$113$][$114$]n-[$115$][$116$] \right) \]
である．
\[ b_n=a_{n+1}-a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
$\{b_n\}$の階差数列を$\{c_n\}$とし，$\{c_n\}$の階差数列を$\{d_n\}$としよう．いま
\[ a_1=1,\quad b_1=2,\quad c_1=4 \]
であり，$d_n$はすべて$8$に等しいとする．このとき
\[ a_5=[$101$][$102$],\quad a_6=[$103$][$104$][$105$],\quad a_7=[$106$][$107$][$108$] \]
であり，一般に$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，
\[ a_n=\frac{1}{3} \left( [$109$][$110$]n^3-[$111$][$112$]n^2+[$113$][$114$]n-[$115$][$116$] \right) \]
である．