空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを記入しなさい．

(1)$100$円，$50$円，$10$円の硬貨がそれぞれたくさんあるとする．ある品物を買うのに$2300$円かかるとき，このお金による支払い方の総数は$[　]$である．
(2)整式$P(x)$を$x^2-4x+3$で割ったときの余りは$x+1$であり，$x^2-3x+2$で割ったときの余りは$3x-1$である．$P(x)$を$x^3-6x^2+11x-6$で割ったときの余りは$[　]$である．
(3)数列の極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{k=1}^{2n} (k+n)^2}{\sum_{k=1}^{2n} k^2}$の値は$[　]$である．
(4)$\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$で表される座標平面上の曲線を$C$とする．曲線$C$上の$x$座標が$s (0<s<1)$である点における接線を$\ell$とする．接線$\ell$と曲線$C$および$x$軸，$y$軸とで囲まれた部分を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積の最小値は$[　]$である．また，そのときの$s$の値は$[　]$である．
(5)原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の$2$点$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 1)$を結ぶ線分上に点$\mathrm{P}$がある．$\theta=\angle \mathrm{AOP}$とし，線分$\mathrm{OP}$の長さを$r$とするとき，$r$は$\theta$の関数として$r=f(\theta)$と表せる．このとき定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\theta) \, d\theta$の値は$[　]$であり，$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\theta)^2 \cos \theta \, d\theta$の値は$[　]$である．
(6)$\mathrm{A}$が$1$枚のカードを，$\mathrm{B}$が$4$枚のカードを持っている．表が出る確率と裏が出る確率がそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$の偏りのないコインを投げて，表が出れば$\mathrm{A}$は$\mathrm{B}$からカードを$1$枚もらう．裏が出れば$\mathrm{A}$は$\mathrm{B}$にカードを$1$枚わたす．ただし，手もとにカードがなければわたさなくてよい．この試行を$4$回くり返した後，$\mathrm{A}$の手もとに残るカードの枚数の期待値は$[　]$である．

$\mathrm{A}$を一辺が$1$の立方体の積み木とし，$\mathrm{B}$を縦が$1$，横が$1$，高さが$2$の直方体の積み木とする．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$は十分たくさんあるとして，これらを積み上げて高さ$n$の塔（縦が$1$，横が$1$，高さが$n$の直方体，ただし$n$は自然数とする）を作るとき，積み上げ方の場合の数を$a_n$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$a_1,\ a_2,\ a_3$の値を求めよ．
(2)高さ$n$の塔を作るとき，$\mathrm{B}$をちょうど$k$個$\displaystyle \left( \text{ただし} 0 \leqq k \leqq \frac{n}{2} \right)$使うときの積み上げ方の場合の数を求めよ．
(3)$a_{11}$の値を求めよ．
(4)使える積み木は$\mathrm{A}$が$9$個まで，$\mathrm{B}$が$4$個までとしたとき，高さ$11$の塔を作るときの積み上げ方の場合の数を求めよ．

$\mathrm{A}$を一辺が$1$の立方体の積み木とし，$\mathrm{B}$を縦が$1$，横が$1$，高さが$2$の直方体の積み木とする．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$は十分たくさんあるとして，これらを積み上げて高さ$n$の塔（縦が$1$，横が$1$，高さが$n$の直方体，ただし$n$は自然数とする）を作るとき，積み上げ方の場合の数を$a_n$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$a_1,\ a_2,\ a_3$の値を求めよ．
(2)高さ$n$の塔を作るとき，$\mathrm{B}$をちょうど$k$個$\displaystyle \left( \text{ただし} 0 \leqq k \leqq \frac{n}{2} \right)$使うときの積み上げ方の場合の数を求めよ．
(3)$a_{11}$の値を求めよ．
(4)使える積み木は$\mathrm{A}$が$9$個まで，$\mathrm{B}$が$4$個までとしたとき，高さ$11$の塔を作るときの積み上げ方の場合の数を求めよ．

$\mathrm{A}$を一辺が$1$の立方体の積み木とし，$\mathrm{B}$を縦が$1$，横が$1$，高さが$2$の直方体の積み木とする．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$は十分たくさんあるとして，これらを積み上げて高さ$n$の塔（縦が$1$，横が$1$，高さが$n$の直方体，ただし$n$は自然数とする）を作るとき，積み上げ方の場合の数を$a_n$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$a_1,\ a_2,\ a_3$の値を求めよ．
(2)高さ$n$の塔を作るとき，$\mathrm{B}$をちょうど$k$個$\displaystyle \left( \text{ただし} 0 \leqq k \leqq \frac{n}{2} \right)$使うときの積み上げ方の場合の数を求めよ．
(3)$a_{11}$の値を求めよ．

$\mathrm{A}$を一辺が$1$の立方体の積み木とし，$\mathrm{B}$を縦が$1$，横が$1$，高さが$2$の直方体の積み木とする．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$は十分たくさんあるとして，これらを積み上げて高さ$n$の塔（縦が$1$，横が$1$，高さが$n$の直方体，ただし$n$は自然数とする）を作るとき，積み上げ方の場合の数を$a_n$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$a_1,\ a_2,\ a_3$の値を求めよ．
(2)高さ$n$の塔を作るとき，$\mathrm{B}$をちょうど$k$個$\displaystyle \left( \text{ただし} 0 \leqq k \leqq \frac{n}{2} \right)$使うときの積み上げ方の場合の数を求めよ．
(3)$a_{11}$の値を求めよ．
(4)使える積み木は$\mathrm{A}$が$9$個まで，$\mathrm{B}$が$4$個までとしたとき，高さ$11$の塔を作るときの積み上げ方の場合の数を求めよ．