図のような縦横同数の格子の全ての格子点上に，白または黒の石を置く．縦または横に隣り合う石の色が同じならその間に実線を，異なっていれば点線を引き，実線の数を数える操作を行う．図$1$の実線の数は$2$本，図$2$では$5$本である．
（図は省略）

(1)$2 \times 2$の格子点に$4$つの石を置くとき，石の置き方にかかわらず，実線の数は偶数になることを示せ．
(2)$3 \times 3$の格子点に$9$つの石を置くとき，実線の数が奇数になるための必要十分条件を示せ．ただし，(1)の結果を使ってもよい．