$n$を$2$以上の自然数とし，$n$人でじゃんけんをして勝敗が決まるまでじゃんけんをくり返すとする．次の問に答えよ．

(1)$n=2$のとき，$1$回目のじゃんけんで勝敗が決まる確率は$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}$，$2$回目のじゃんけんで勝敗が決まる確率は$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}$である．
(2)$n=3$のとき，$4$回目のじゃんけんで$1$人が勝って勝敗が決まる確率は$\displaystyle \frac{[　]}{[][]}$である．また，$4$回目のじゃんけんで勝敗が決まる確率は$\displaystyle \frac{[　]}{[][]}$である．
(3)$1$回目のじゃんけんで勝敗が決まる確率よりも，決まらない確率の方が大きくなる場合の$n$の最小値は$[　]$である．

$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$人がじゃんけんをする．ただし，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$はそれぞれグー，チョキ，パーを等確率で出す．

(1)$1$回じゃんけんをやって引き分ける確率を求めよ．
(2)$5$回続けてじゃんけんをしたとき$\mathrm{A}$が$3$回勝つ確率を求めよ．
(3)$5$回のうち$1$回$\mathrm{B}$が勝ち，$1$回引き分ける確率を求めよ．

$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$人がじゃんけんを繰り返すゲームをする．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$のどちらかが$2$回多く勝った時点でゲームは終了とする．$1$回のじゃんけんで$\mathrm{A}$が勝つ確率，$\mathrm{B}$が勝つ確率，あいこの確率はいずれも$\displaystyle \frac{1}{3}$である．自然数$n$に対して，じゃんけんを$n$回行った時点でちょうどゲームが終了となる確率を$p_n$とおく．また，じゃんけんを$n$回行った時点で$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$のどちらかが$1$回多く勝っている確率を$q_n$とおき，ともに同じ回数だけ勝っている確率を$r_n$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)$p_1,\ q_1$および$r_1$の値を求めよ．
(2)$n \geqq 2$のとき，$p_n$を$q_{n-1}$を用いて表せ．
(3)$n \geqq 2$のとき，$q_n,\ r_n$のそれぞれを$q_{n-1}$と$r_{n-1}$を用いて表せ．
(4)$n \geqq 2$のとき$q_n+kr_n=l(q_{n-1}+kr_{n-1})$を満たす実数$k,\ l$の値を$2$組求めよ．
(5)$(4)$で求めた$k,\ l$の値の$2$組を$k_1,\ l_1$と$k_2,\ l_2$とおく．ただし$k_1<k_2$とする．数列$\{q_n+k_1r_n\}$，数列$\{q_n+k_2r_n\}$，数列$\{q_n\}$，数列$\{r_n\}$の一般項をそれぞれ$l_1,\ l_2$および$n$を用いて表せ．
(6)数列$\{p_n\}$の一般項を$l_1,\ l_2$および$n$を用いて表せ．

$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$人がじゃんけんを行う．$\mathrm{A}$が「グー」，「チョキ」，「パー」を出す確率はそれぞれ$\displaystyle \frac{4}{9},\ \frac{1}{3},\ \frac{2}{9}$であり，$\mathrm{B}$が「グー」，「チョキ」，「パー」を出す確率はそれぞれ$p,\ q,\ r$である．$1$回のじゃんけんで$\mathrm{A}$の勝つ確率が$\displaystyle \frac{1}{3}$であるとき，次の各問に答えよ．

(1)$1$回のじゃんけんであいこになる確率を$p$で表せ．
(2)$1$回のじゃんけんで$\mathrm{B}$の勝つ確率を$p$で表せ．
(3)$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が$2$回じゃんけんを行う．$2$回のじゃんけんが独立であるとき，$2$回のうち$1$回はあいこで$1$回は$\mathrm{B}$が勝つ確率が$\displaystyle \frac{2}{9}$となる$p$の値を求めよ．

次の各問に答えよ．

(1)$0 \leqq x<2\pi$のとき，次の不等式を解け．
\[ 4 \sin^2 x+(2-2 \sqrt{2}) \cos x+\sqrt{2}-4 \geqq 0 \]
(2)$\{a_n\} (n \geqq 1)$は初項$3$，公差$4$の等差数列，$\{b_m\} (m \geqq 1)$は初項$1000$，公差$-5$の等差数列とする．

(i) $2$つの等差数列の共通項の個数を求めよ．
(ii) $2$つの等差数列の共通項の総和を求めよ．

(3)$3$人がじゃんけんをして，$1$人だけ勝者を決める．$3$人はそれぞれグー，チョキ，パーを同じ確率で出すとする．勝者がいない場合は再びじゃんけんをする．勝者が$2$人の場合はその$2$人でじゃんけんをする．$2$人でじゃんけんをしたとき，勝者がいない場合は再びその$2$人でじゃんけんをする．

(i) $1$回目のじゃんけんで勝者がいない確率を求めよ．
(ii) $2$回じゃんけんをしても，勝者が$1$人に決まらない確率を求めよ．
(iii) $n$は正の整数とする．$n$回じゃんけんを続けても勝者が$1$人に決まらない確率を求めよ．

$n$人（$n \geqq 3$）でじゃんけんを$1$回行うとき，次の問いに答えよ．ただし，「あいこ」とは$1$種類または$3$種類の手が出る場合であり，勝つ人数が$0$の場合である．

(1)$1$人だけが勝つ確率を求めよ．
(2)あいこになる確率を求めよ．
(3)勝つ人数の期待値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$4$人でじゃんけんを$2$回するとき，$2$回ともあいこになる確率を求めよ．
(2)次の関係式
\[ a_1 = -1,\ a_{n+1} = 2a_n(1-a_n) \quad (n = 1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められる数列$\{a_n\}$は，$1-2a_{n+1} = (1-2a_n)^2$を満たすことを示し，一般項$a_n$を求めよ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{0}}$でない$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$について，$|\overrightarrow{a}| = 2|\overrightarrow{b}|$および$|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}|=2|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$が成り立つとき，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角$\theta$を求めよ．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)$a,\ b$を実数（$a \neq b$）とする．$2$つの$2$次関数
\[ y=x^2+ax+b,\quad y=x^2+bx+a \]
の最小値が同じであるとき，$a$を用いて$b$を表すと$b=[ア]$である．このとき，$2$つの$2$次関数のグラフの交点の座標は$[イ]$である．

(2)$2$つの行列$A=\left( \begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6
\end{array} \right)$，$B=\left( \begin{array}{cc}
1 & 4 \\
2 & 5 \\
3 & 6
\end{array} \right)$の積$AB$を求めると$AB=[ウ]$である．$2$行$2$列の行列$C$で表される$1$次変換による$2$点$(1,\ 1)$，$(2,\ 3)$の像が，それぞれ，$(-3,\ 5)$，$(-8,\ 12)$であるとき，行列$C$を求めると$C=[エ]$である．
(3)$\alpha,\ \beta$は$0 \leqq \alpha < 2\pi$，$0 \leqq \beta < 2\pi$を満たす実数とし，$a=\cos \alpha$，$b=\cos \beta$とする．$A=\sin (\alpha+\beta) \sin (\alpha-\beta)$を$a$と$b$で表すと$A=[オ]$であり，$A$の値が$1$となるときの$\beta$の値は$\beta=[カ]$である．
(4)$k$を正の実数とする．直線$y=kx$と円$x^2+(y-3)^2=4$が異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わるとき，$k$の値の範囲は$[キ]$である．また，線分$\mathrm{PQ}$の長さが$2$となるのは，$k=[ク]$のときである．
(5)$5$人でじゃんけんを$1$回するとき，$1$人だけが勝つ確率$p$は$p=[ケ]$である．また，$5$人のじゃんけんを$1$人だけが勝つまで繰り返すとき，$n$回以内に$1$人だけが勝って終わる確率$q$を$n$を用いて表すと$q=[コ]$である．

以下の問で，各人はじゃんけんでグー，チョキ，パーをそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で出すものとする．

(1)$3$人でじゃんけんを$1$回するとき，$1$人が勝ち$2$人が負ける確率は$\displaystyle \frac{[ネ]}{[ノ]}$，あいこになる確率は$\displaystyle \frac{[ハ]}{[ヒ]}$である．
(2)$3$人でじゃんけんをする．負けた人がいれば，じゃんけんから抜け，$1$人の勝者が決まるか，じゃんけんの回数が$3$回になるまで繰り返す．じゃんけんの回数が$2$回以内で$1$人の勝者が決まる確率は$\displaystyle \frac{[フ]}{[ヘ]}$，ちょうど$3$回で$1$人の勝者が決まる確率は$\displaystyle \frac{[ホ]}{[マ]}$である．
(3)$4$人でじゃんけんを$1$回するとき，$1$人が勝ち$3$人が負ける確率は$\displaystyle \frac{[ミ]}{[ム]}$，$2$人が勝ち$2$人が負ける確率は$\displaystyle \frac{[メ]}{[モ]}$，あいこになる確率は$\displaystyle \frac{[ヤ]}{[ユ]}$である．

じゃんけんについての次の問いに答えよ．ただし，全員がグー，チョキ，パーを無作為に出すとする．

(1)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$人がじゃんけんをする．あいこのときは繰り返すが，じゃんけんの回数は最大$n$回とする．このとき$\mathrm{A}$が勝つ確率を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$人がじゃんけんをする．$1$回目は$3$人で始め，負けた者は抜けることとしてじゃんけんを繰り返すが，じゃんけんの回数は最大$n$回とする．このとき$\mathrm{A}$ひとりが勝ち残る確率を求めよ．