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国立 岐阜大学 2015年 第1問$10$個の文字$\mathrm{N}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{W}$，$\mathrm{A}$を左から右へ横$1$列に並べる．以下の問に答えよ．
(1)この$10$個の文字の並べ方は全部で何通りあるか．
(2)「$\mathrm{NAGARA}$」という連続した$6$文字が現れるような並べ方は全部で何通りあるか．
(3)$\mathrm{N}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{W}$の$3$文字が，この順に現れるような並べ方は全部で何通りあるか．ただし$\mathrm{N}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{W}$が連続しない場合も含める．
(4)同じ文字が隣り合わないような並べ方は全部で何通りあるか．
(1)この$10$個の文字の並べ方は全部で何通りあるか．
(2)「$\mathrm{NAGARA}$」という連続した$6$文字が現れるような並べ方は全部で何通りあるか．
(3)$\mathrm{N}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{W}$の$3$文字が，この順に現れるような並べ方は全部で何通りあるか．ただし$\mathrm{N}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{W}$が連続しない場合も含める．
(4)同じ文字が隣り合わないような並べ方は全部で何通りあるか．
国立 岐阜大学 2015年 第1問$10$個の文字$\mathrm{N}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{W}$，$\mathrm{A}$を左から右へ横$1$列に並べる．以下の問に答えよ．
(1)この$10$個の文字の並べ方は全部で何通りあるか．
(2)「$\mathrm{NAGARA}$」という連続した$6$文字が現れるような並べ方は全部で何通りあるか．
(3)$\mathrm{N}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{W}$の$3$文字が，この順に現れるような並べ方は全部で何通りあるか．ただし$\mathrm{N}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{W}$が連続しない場合も含める．
(4)同じ文字が隣り合わないような並べ方は全部で何通りあるか．
(1)この$10$個の文字の並べ方は全部で何通りあるか．
(2)「$\mathrm{NAGARA}$」という連続した$6$文字が現れるような並べ方は全部で何通りあるか．
(3)$\mathrm{N}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{W}$の$3$文字が，この順に現れるような並べ方は全部で何通りあるか．ただし$\mathrm{N}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{W}$が連続しない場合も含める．
(4)同じ文字が隣り合わないような並べ方は全部で何通りあるか．
私立 龍谷大学 2015年 第2問白玉$8$個，赤玉$2$個，青玉$1$個，黄玉$1$個がある．これら$12$個の玉を$4$つの箱$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$にそれぞれ$3$個ずつ入れる．同じ色の玉は区別しないとして，次の問いに答えなさい．
(1)箱$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$のいずれにも白玉を$2$個ずつ入れる入れ方は何通りあるか求めなさい．
(2)白玉が$3$個入る箱と$1$個入る箱がそれぞれ$1$つずつになるような入れ方は何通りあるか求めなさい．
(1)箱$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$のいずれにも白玉を$2$個ずつ入れる入れ方は何通りあるか求めなさい．
(2)白玉が$3$個入る箱と$1$個入る箱がそれぞれ$1$つずつになるような入れ方は何通りあるか求めなさい．
私立 青山学院大学 2014年 第5問行列$A,\ E,\ O$を
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right),\quad E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right),\quad O=\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right) \]
で定め，行列$A$の表す$1$次変換を$f$とする．また，行列$A-E$の逆行列が存在しないとする．このとき，以下の問に答えよ．
(1)等式$A^2-(a+d)A+(a+d-1)E=O$が成り立つことを示せ．
(2)点$\mathrm{P}$を平面上の任意の点とする．$1$次変換$f$による点$\mathrm{P}$の像を$\mathrm{Q}$とし，$f$による点$\mathrm{Q}$の像を$\mathrm{R}$とすると，$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$は一直線上にあることを示せ．
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right),\quad E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right),\quad O=\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right) \]
で定め，行列$A$の表す$1$次変換を$f$とする．また，行列$A-E$の逆行列が存在しないとする．このとき，以下の問に答えよ．
(1)等式$A^2-(a+d)A+(a+d-1)E=O$が成り立つことを示せ．
(2)点$\mathrm{P}$を平面上の任意の点とする．$1$次変換$f$による点$\mathrm{P}$の像を$\mathrm{Q}$とし，$f$による点$\mathrm{Q}$の像を$\mathrm{R}$とすると，$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$は一直線上にあることを示せ．
公立 宮城大学 2014年 第4問次の問いに答えなさい．
(1)円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CA}=7$，$\mathrm{AD}=5$であるとき，辺$\mathrm{CD}$の長さを求めよ．
(2)一般に任意の四角形は必ずしも円に内接しない．では，相異なる$4$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$をこの順に並べた四角形$\mathrm{PQRS}$が円に内接するための「角度に関する必要十分条件」を一つだけ簡潔に記せ．ただし，証明は不要である．
(3)平行四辺形$\mathrm{KLMN}$が円に内接すれば，この平行四辺形は長方形であることを証明せよ．
（図は省略）
(1)円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CA}=7$，$\mathrm{AD}=5$であるとき，辺$\mathrm{CD}$の長さを求めよ．
(2)一般に任意の四角形は必ずしも円に内接しない．では，相異なる$4$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$をこの順に並べた四角形$\mathrm{PQRS}$が円に内接するための「角度に関する必要十分条件」を一つだけ簡潔に記せ．ただし，証明は不要である．
(3)平行四辺形$\mathrm{KLMN}$が円に内接すれば，この平行四辺形は長方形であることを証明せよ．
（図は省略）
公立 京都府立大学 2014年 第4問実数を成分とする$2$次正方行列$A$の逆行列は存在しないとする．$2$次正方行列$X$は$XAX=X$かつ$AX=XA$かつ$A^3X=A^2$を満たすとする．$A^2 \neq \left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right)$のとき，以下の問いに答えよ．
(1)$2$次正方行列$Y$が$YAY=Y$かつ$AY=YA$かつ$A^3Y=A^2$を満たすとき，$Y=X$であることを示せ．
(2)$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
1 & 1
\end{array} \right)$のとき，$X$を求めよ．
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right)$のとき，以下の問いに答えよ．
(1)$2$次正方行列$Y$が$YAY=Y$かつ$AY=YA$かつ$A^3Y=A^2$を満たすとき，$Y=X$であることを示せ．
(2)$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
1 & 1
\end{array} \right)$のとき，$X$を求めよ．
国立 埼玉大学 2012年 第3問正三角形の頂点を反時計回りにそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とし，頂点$\mathrm{A}$上に碁石が置かれているとする．さいころを何回か投げ，以下の規則[R]に従って碁石を移動させるゲームを考える．\\
$[\text{R}]$ \quad さいころの目が$3$の倍数のときは反時計回りに隣の頂点に移動し，$3$の倍数でないときは移動しないでその頂点に留まる．\\
このとき下記の設問に答えなさい．
(1)さいころを$3$回投げたとき，碁石が頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$上にある確率をそれぞれ求めなさい．
(2)さいころを$n$回投げたとき，碁石が頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$上にある確率をそれぞれ$p,\ q,\ r$とする．さらに続けて$4$回投げたとき，碁石が頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$上にある確率をそれぞれ求めなさい．
(3)さいころを$100$回投げたとき，碁石が置かれている確率の最も高い頂点は$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$のうちのどれか求めなさい．
$[\text{R}]$ \quad さいころの目が$3$の倍数のときは反時計回りに隣の頂点に移動し，$3$の倍数でないときは移動しないでその頂点に留まる．\\
このとき下記の設問に答えなさい．
(1)さいころを$3$回投げたとき，碁石が頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$上にある確率をそれぞれ求めなさい．
(2)さいころを$n$回投げたとき，碁石が頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$上にある確率をそれぞれ$p,\ q,\ r$とする．さらに続けて$4$回投げたとき，碁石が頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$上にある確率をそれぞれ求めなさい．
(3)さいころを$100$回投げたとき，碁石が置かれている確率の最も高い頂点は$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$のうちのどれか求めなさい．
国立 九州工業大学 2011年 第4問図のような番号のついたマス目と駒とサイコロを使って，以下に示す規則にしたがうゲームを考える．
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline
\end{tabular}
\begin{itemize}
駒は最初0番のマス目に置く．
サイコロを投げ，出た目の数だけ駒を10番のマス目に向かって進める．
駒がちょうど10番のマス目に止まればゴールとする．
ただし，10番のマス目を超える場合は，その分だけ10番のマス目から0番のマス目側に戻る．
\end{itemize}
たとえば，7番のマス目に駒があり，出た目が5であった場合は，駒は8番のマス目に移動し，その次に出た目が2であった場合はゴールする．以下の問いに答えよ．
(1)2投目でゴールする確率を求めよ．
(2)2投目の後，9番のマス目に駒がある確率を求めよ．
(3)3投目でゴールする確率を求めよ．
(4)このゲームを使ってA，Bの2名が対戦する．Aから始めて，交互にサイコロを投げて各自の駒を進める試行を行ない，先にゴールした方を勝ちとする．ただし，どちらも2投以内でゴールしない場合は引き分けとする．引き分ける確率を求めよ．
(5)A，Bの駒をそれぞれ0番，$k$番$(0<k<10)$のマス目に置いて(4)と同様の対戦を開始するとき，Aが勝つ確率よりBが勝つ確率の方が高くなるための$k$の条件を求めよ．
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline
\end{tabular}
\begin{itemize}
駒は最初0番のマス目に置く．
サイコロを投げ，出た目の数だけ駒を10番のマス目に向かって進める．
駒がちょうど10番のマス目に止まればゴールとする．
ただし，10番のマス目を超える場合は，その分だけ10番のマス目から0番のマス目側に戻る．
\end{itemize}
たとえば，7番のマス目に駒があり，出た目が5であった場合は，駒は8番のマス目に移動し，その次に出た目が2であった場合はゴールする．以下の問いに答えよ．
(1)2投目でゴールする確率を求めよ．
(2)2投目の後，9番のマス目に駒がある確率を求めよ．
(3)3投目でゴールする確率を求めよ．
(4)このゲームを使ってA，Bの2名が対戦する．Aから始めて，交互にサイコロを投げて各自の駒を進める試行を行ない，先にゴールした方を勝ちとする．ただし，どちらも2投以内でゴールしない場合は引き分けとする．引き分ける確率を求めよ．
(5)A，Bの駒をそれぞれ0番，$k$番$(0<k<10)$のマス目に置いて(4)と同様の対戦を開始するとき，Aが勝つ確率よりBが勝つ確率の方が高くなるための$k$の条件を求めよ．