$1$個のさいころを$4$回続けて投げ，出た目を$1$回目から順に$a,\ b,\ c,\ d$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，さいころは$1$回投げると$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$の目がそれぞれ等しい確率で出るものとする．

(1)$a<b<c<d$となる確率を求めよ．
(2)$a,\ b,\ c,\ d$のうち，異なるものが$3$種類以下となる確率を求めよ．
(3)$a,\ b,\ c,\ d$のうち，異なるものが$2$種類となる確率を求めよ．

$1$個のさいころを$4$回続けて投げ，出た目を$1$回目から順に$a,\ b,\ c,\ d$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，さいころは$1$回投げると$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$の目がそれぞれ等しい確率で出るものとする．

(1)$a<b<c<d$となる確率を求めよ．
(2)$a,\ b,\ c,\ d$のうち，異なるものが$3$種類以下となる確率を求めよ．
(3)$a,\ b,\ c,\ d$のうち，異なるものが$2$種類となる確率を求めよ．

$a,\ b$を実数とする．$f(x)=x^2-6x+a$，$g(x)=-x^2+9x+b$とする．次の問いに答えよ．

(1)さいころを$1$個投げて出た目を$k$とするとき$f(k) \leqq 0$となる確率が$\displaystyle \frac{1}{2}$である$a$のとり得る値の範囲を求めよ．
(2)さいころを$1$個投げて出た目を$k$とするとき$f(k) \leqq 0$かつ$g(k) \geqq 0$となる確率が$\displaystyle \frac{1}{2}$である$a,\ b$のとり得る値の範囲を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)正$6$角形の$6$つの頂点を$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$とする．サイコロを$3$回振って出た目を順に$i,\ j,\ k$とする．頂点$i,\ j,\ k$が$3$角形をなす確率，直角$3$角形をなす確率，鋭角$3$角形をなす確率，鈍角$3$角形をなす確率をそれぞれ求めよ．
(2)正$n$角形の$n$個の頂点を$1,\ 2,\ \cdots,\ n$とする．番号$1,\ 2,\ \cdots,\ n$が等確率で現れるくじを引いて戻すことを$3$回繰り返し，出た番号を順に$i,\ j,\ k$とする．頂点$i,\ j,\ k$が直角$3$角形をなす確率，鋭角$3$角形をなす確率をそれぞれ求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)正$6$角形の$6$つの頂点を$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$とする．サイコロを$3$回振って出た目を順に$i,\ j,\ k$とする．頂点$i,\ j,\ k$が$3$角形をなす確率，直角$3$角形をなす確率，鋭角$3$角形をなす確率，鈍角$3$角形をなす確率をそれぞれ求めよ．
(2)正$n$角形の$n$個の頂点を$1,\ 2,\ \cdots,\ n$とする．番号$1,\ 2,\ \cdots,\ n$が等確率で現れるくじを引いて戻すことを$3$回繰り返し，出た番号を順に$i,\ j,\ k$とする．頂点$i,\ j,\ k$が直角$3$角形をなす確率，鋭角$3$角形をなす確率をそれぞれ求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)正$6$角形の$6$つの頂点を$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$とする．サイコロを$3$回振って出た目を順に$i,\ j,\ k$とする．頂点$i,\ j,\ k$が$3$角形をなす確率，直角$3$角形をなす確率をそれぞれ求めよ．
(2)正$n$角形の$n$個の頂点を$1,\ 2,\ \cdots,\ n$とする．番号$1,\ 2,\ \cdots,\ n$が等確率で現れるくじを引いて戻すことを$3$回繰り返し，出た番号を順に$i,\ j,\ k$とする．頂点$i,\ j,\ k$が直角$3$角形をなす確率を求めよ．

$3$個のさいころを同時に投げるとする．次の問いに答えよ．

(1)出る目の和が$5$になる確率を求めよ．
(2)出る目の和が$10$になる確率を求めよ．
(3)出る目の和が$5$の倍数になる確率を求めよ．

次の空欄$[ア]$～$[コ]$にあてはまる数または式を記入せよ．

(1)空間内の$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を$\mathrm{A}(0,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{C}(2,\ 2,\ 0)$とする．実数$p,\ q$を用いて点$\mathrm{H}$を$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=p \overrightarrow{\mathrm{AB}}+q \overrightarrow{\mathrm{AC}}$で定める．原点を$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$として，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$が$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の両方に垂直であるとき，$p=[ア]$，$q=[イ]$である．
(2)不等式$x+3<5 |x-1|$を満たす実数$x$の範囲は，$x<[ウ]$または$x>[エ]$である．
(3)多項式$(x^5+1)^2$を$x^2+x+1$で割った余りを$Ax+B$とすると，定数$A$と$B$は$A=[オ]$，$B=[カ]$である．
(4)$0<a<1$のとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \log (a^{2n}+a^{3n})=[キ]$である．
(5)大中小の$3$つのサイコロをふって，出た目の和が$9$になる確率は$[ク]$である．
(6)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos (x-\theta) \, dx$の最大値は$[ケ]$であり，最小値は$[コ]$である．

次の空欄$[ア]$～$[ク]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)ベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$が，$|\overrightarrow{a}|=5$，$|\overrightarrow{b}|=2$，$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{13}$，$|\overrightarrow{c}|=|\overrightarrow{a}-t \overrightarrow{b}|$の関係を満たすとき，$|\overrightarrow{c}|$の最小値は$[ア]$である．ただし，$t$は実数とする．
(2)整式$f(x)$を$x+5$で割ると余りが$-11$，$(x+2)^2$で割ると余りが$x+3$となる．このとき，$f(x)$を$(x+5)(x+2)^2$で割ると余りは$[イ]$である．
(3)全体集合$U=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9\}$の部分集合$A,\ B$について，$\overline{A} \cap \overline{B}=\{1,\ 3\}$，$A \cup \overline{B}=\{1,\ 2,\ 3,\ 6,\ 7,\ 8\}$であるとき，集合$A=[ウ]$である．ただし，$\overline{A}$は$A$の補集合，$\overline{B}$は$B$の補集合とする．
(4)さいころを$4$回投げるとき，偶数の目がちょうど$2$回出る確率は$[エ]$である．
(5)ある細菌は$1$時間毎に分裂して個数が$2$倍になる．最初に$10$個あるとき，$100$万個を初めて超えるのは$[オ]$時間後である．ただし，$\log_{10}2=0.301$とし，整数で答えよ．
(6)複素数$z=a+i$について，$z^4$が実数となるとき，$z^4$のとりうる値は$[カ]$である．ただし，$a$は実数であり，$i$は虚数単位とする．
(7)関数$f(x)$が$f^\prime(x)=3x+2$と$\displaystyle \int_0^2 f(x) \, dx=4$をともに満たすとき，$f(x)=[キ]$である．
(8)$\displaystyle \sum_{k=1}^{25} (2k-1)^2$の値は$[ク]$である．

$1$個のさいころをくり返し投げ，$3$の倍数の目が出る回数を数える．いま，さいころを$n$回投げるとき，$3$の倍数の目が奇数回出る確率を$P_n$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$P_2$および$P_3$を求めよ．
(2)$P_{n+1}$を$P_n$で表せ．
(3)$P_n$を$n$の式で表せ．