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国立 静岡大学 2015年 第2問$1$つのコマと下の図のような$3$つのマス目$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$がある．コマが$\mathrm{A}$または$\mathrm{B}$にあるとき，さいころを投げて出た目の数だけ$\mathrm{C}$の方向にコマを進める．ただし，コマが途中で$\mathrm{C}$や$\mathrm{A}$に来たら，逆の方向に折り返して進める．これを$1$回の操作とする．$\mathrm{A}$または$\mathrm{B}$で止まった場合はその止まったマス目から操作を繰り返し，$\mathrm{C}$に止まった場合は操作を終了する．例えば，$\mathrm{A}$にコマがあり$3$の目が出たら$\mathrm{A} \to \mathrm{B} \to \mathrm{C} \to \mathrm{B}$とコマを進め，続けて操作を繰り返したとき$5$の目が出たら$\mathrm{B} \to \mathrm{C} \to \mathrm{B} \to \mathrm{A} \to \mathrm{B} \to \mathrm{C}$と進めて操作を終了する．
最初にコマを$\mathrm{A}$に置いて操作を始めるとき，次の問いに答えよ．
\begin{tabular}{|p{10mm}|p{10mm}|p{10mm}|}
\hline
$\mathrm{A}$ & $\mathrm{B}$ & $\mathrm{C}$ \\ \hline
\end{tabular}
(1)$1$回の操作で終了する確率$p_1$を求めよ．
(2)$2$回の操作で終了する確率$p_2$を求めよ．
(3)$n$回の操作で終了する確率$p_n$を$n$を用いて表せ．
最初にコマを$\mathrm{A}$に置いて操作を始めるとき，次の問いに答えよ．
\begin{tabular}{|p{10mm}|p{10mm}|p{10mm}|}
\hline
$\mathrm{A}$ & $\mathrm{B}$ & $\mathrm{C}$ \\ \hline
\end{tabular}
(1)$1$回の操作で終了する確率$p_1$を求めよ．
(2)$2$回の操作で終了する確率$p_2$を求めよ．
(3)$n$回の操作で終了する確率$p_n$を$n$を用いて表せ．
国立 静岡大学 2015年 第4問$1$つのコマと下の図のような$3$つのマス目$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$がある．コマが$\mathrm{A}$または$\mathrm{B}$にあるとき，さいころを投げて出た目の数だけ$\mathrm{C}$の方向にコマを進める．ただし，コマが途中で$\mathrm{C}$や$\mathrm{A}$に来たら，逆の方向に折り返して進める．これを$1$回の操作とする．$\mathrm{A}$または$\mathrm{B}$で止まった場合はその止まったマス目から操作を繰り返し，$\mathrm{C}$に止まった場合は操作を終了する．例えば，$\mathrm{A}$にコマがあり$3$の目が出たら$\mathrm{A} \to \mathrm{B} \to \mathrm{C} \to \mathrm{B}$とコマを進め，続けて操作を繰り返したとき$5$の目が出たら$\mathrm{B} \to \mathrm{C} \to \mathrm{B} \to \mathrm{A} \to \mathrm{B} \to \mathrm{C}$と進めて操作を終了する．
最初にコマを$\mathrm{A}$に置いて操作を始めるとき，次の問いに答えよ．
\begin{tabular}{|p{10mm}|p{10mm}|p{10mm}|}
\hline
$\mathrm{A}$ & $\mathrm{B}$ & $\mathrm{C}$ \\ \hline
\end{tabular}
(1)$1$回の操作で終了する確率$p_1$を求めよ．
(2)$2$回の操作で終了する確率$p_2$を求めよ．
(3)$n$回の操作で終了する確率$p_n$を$n$を用いて表せ．
最初にコマを$\mathrm{A}$に置いて操作を始めるとき，次の問いに答えよ．
\begin{tabular}{|p{10mm}|p{10mm}|p{10mm}|}
\hline
$\mathrm{A}$ & $\mathrm{B}$ & $\mathrm{C}$ \\ \hline
\end{tabular}
(1)$1$回の操作で終了する確率$p_1$を求めよ．
(2)$2$回の操作で終了する確率$p_2$を求めよ．
(3)$n$回の操作で終了する確率$p_n$を$n$を用いて表せ．
国立 鳴門教育大学 2015年 第5問数直線上で，点$\mathrm{P}$は原点$\mathrm{O}$を出発点とし，さいころを投げて偶数の目が出たときは正の方向へ$1$だけ進み，奇数の目が出たときは負の方向へ$1$だけ進むものとします．$k$回さいころを投げた後の，点$\mathrm{P}$の位置の座標を$X(k)$とするとき，次の確率を求めなさい．
(1)$X(1),\ X(2),\ \cdots,\ X(6)$のうち最も大きな数が$3$である確率
(2)$X(1),\ X(2),\ \cdots,\ X(6)$のうち最も大きな数が$3$以下である確率
(1)$X(1),\ X(2),\ \cdots,\ X(6)$のうち最も大きな数が$3$である確率
(2)$X(1),\ X(2),\ \cdots,\ X(6)$のうち最も大きな数が$3$以下である確率
国立 滋賀医科大学 2015年 第4問次の問いに答えよ．
(1)さいころを$2$回投げて，出た目を順に$a,\ b$とおく．関数
\[ f(x)=ax \]
について$f(b)=6$となる確率を求めよ．
(2)さいころを$4$回投げて，出た目を順に$a,\ b,\ c,\ d$とおく．関数
\[ f(x)=ax^3+bx^2+cx \]
について$f(d)$が素数となる確率を求めよ．
(3)さいころを$6$回投げて，出た目を順に$a,\ b,\ c,\ d,\ e,\ f$とおく．$2$つの放物線
\[ y=ax^2+bx+c,\quad y=dx^2+ex+f \]
がただ$1$つの共有点をもつ確率を求めよ．
(1)さいころを$2$回投げて，出た目を順に$a,\ b$とおく．関数
\[ f(x)=ax \]
について$f(b)=6$となる確率を求めよ．
(2)さいころを$4$回投げて，出た目を順に$a,\ b,\ c,\ d$とおく．関数
\[ f(x)=ax^3+bx^2+cx \]
について$f(d)$が素数となる確率を求めよ．
(3)さいころを$6$回投げて，出た目を順に$a,\ b,\ c,\ d,\ e,\ f$とおく．$2$つの放物線
\[ y=ax^2+bx+c,\quad y=dx^2+ex+f \]
がただ$1$つの共有点をもつ確率を求めよ．
国立 信州大学 2015年 第4問次の問いに答えよ．
(1)$n$個の実数$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$に対して
\[ \left( \sum_{k=1}^n a_k \right)^2 \leqq n \sum_{k=1}^n {a_k}^2 \]
が成立することを示せ．また，等号が成立するための$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$についての必要十分条件を求めよ．
(2)偏りをもつサイコロを$2$回投げるとき，同じ目が続けて出る確率は$\displaystyle \frac{1}{6}$よりも大きいことを示せ．ただし，サイコロが偏りをもつとは，$1$から$6$の目が同様に確からしく出ないことをいう．
(1)$n$個の実数$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$に対して
\[ \left( \sum_{k=1}^n a_k \right)^2 \leqq n \sum_{k=1}^n {a_k}^2 \]
が成立することを示せ．また，等号が成立するための$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$についての必要十分条件を求めよ．
(2)偏りをもつサイコロを$2$回投げるとき，同じ目が続けて出る確率は$\displaystyle \frac{1}{6}$よりも大きいことを示せ．ただし，サイコロが偏りをもつとは，$1$から$6$の目が同様に確からしく出ないことをいう．
国立 信州大学 2015年 第3問次の問いに答えよ．
(1)$n$個の実数$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$に対して
\[ \left( \sum_{k=1}^n a_k \right)^2 \leqq n \sum_{k=1}^n {a_k}^2 \]
が成立することを示せ．また，等号が成立するための$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$についての必要十分条件を求めよ．
(2)偏りをもつサイコロを$2$回投げるとき，同じ目が続けて出る確率は$\displaystyle \frac{1}{6}$よりも大きいことを示せ．ただし，サイコロが偏りをもつとは，$1$から$6$の目が同様に確からしく出ないことをいう．
(1)$n$個の実数$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$に対して
\[ \left( \sum_{k=1}^n a_k \right)^2 \leqq n \sum_{k=1}^n {a_k}^2 \]
が成立することを示せ．また，等号が成立するための$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$についての必要十分条件を求めよ．
(2)偏りをもつサイコロを$2$回投げるとき，同じ目が続けて出る確率は$\displaystyle \frac{1}{6}$よりも大きいことを示せ．ただし，サイコロが偏りをもつとは，$1$から$6$の目が同様に確からしく出ないことをいう．
国立 信州大学 2015年 第2問次の問いに答えよ．
(1)$n$個の実数$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$に対して
\[ \left( \sum_{k=1}^n a_k \right)^2 \leqq n \sum_{k=1}^n {a_k}^2 \]
が成立することを示せ．また，等号が成立するための$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$についての必要十分条件を求めよ．
(2)偏りをもつサイコロを$2$回投げるとき，同じ目が続けて出る確率は$\displaystyle \frac{1}{6}$よりも大きいことを示せ．ただし，サイコロが偏りをもつとは，$1$から$6$の目が同様に確からしく出ないことをいう．
(1)$n$個の実数$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$に対して
\[ \left( \sum_{k=1}^n a_k \right)^2 \leqq n \sum_{k=1}^n {a_k}^2 \]
が成立することを示せ．また，等号が成立するための$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$についての必要十分条件を求めよ．
(2)偏りをもつサイコロを$2$回投げるとき，同じ目が続けて出る確率は$\displaystyle \frac{1}{6}$よりも大きいことを示せ．ただし，サイコロが偏りをもつとは，$1$から$6$の目が同様に確からしく出ないことをいう．
国立 秋田大学 2015年 第1問$3$個のさいころを同時に投げるとする．次の問いに答えよ．
(1)出る目の和が$5$になる確率を求めよ．
(2)出る目の和が$10$になる確率を求めよ．
(3)出る目の和が$5$の倍数になる確率を求めよ．
(1)出る目の和が$5$になる確率を求めよ．
(2)出る目の和が$10$になる確率を求めよ．
(3)出る目の和が$5$の倍数になる確率を求めよ．
国立 秋田大学 2015年 第1問$3$個のさいころを同時に投げるとする．次の問いに答えよ．
(1)出る目の和が$5$になる確率を求めよ．
(2)出る目の和が$10$になる確率を求めよ．
(3)出る目の和が$5$の倍数になる確率を求めよ．
(1)出る目の和が$5$になる確率を求めよ．
(2)出る目の和が$10$になる確率を求めよ．
(3)出る目の和が$5$の倍数になる確率を求めよ．
国立 高知大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle |x+1|<\frac{1}{2},\ |y-2|<\frac{1}{3}$のとき
\[ |-8x^3+12xy+3y^2+4|<10 \]
を示せ．
次の$3$題$(2)$～$(4)$から$1$題選択して解答せよ．
(2)$12$個のサイコロを同時に投げたとき，$1$の目がちょうど$n$個出る確率を$P_n$とする．$P_n$は$n=2$のとき最大になることを示せ．
(3)$a$を正の整数とし，$p,\ q$を素数とする．このとき，$2$次方程式
\[ ax^2-px+q=0 \]
の$2$解が整数となるような組$(a,\ p,\ q)$をすべて求めよ．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$上に，異なる$2$点$\mathrm{X}$，$\mathrm{Y}$を，$\mathrm{BXYC}$の順に並ぶように選ぶ．$\mathrm{X}$を通り$\mathrm{AB}$に平行な直線と，$\mathrm{Y}$を通り$\mathrm{AC}$に平行な直線との交点を$\mathrm{P}$とし，直線$\mathrm{AP}$と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{Z}$とする．このとき
\[ \frac{\mathrm{CY}}{\mathrm{BX}}=\frac{\mathrm{YZ}}{\mathrm{XZ}} \]
となることを示せ．
(1)$\displaystyle |x+1|<\frac{1}{2},\ |y-2|<\frac{1}{3}$のとき
\[ |-8x^3+12xy+3y^2+4|<10 \]
を示せ．
次の$3$題$(2)$～$(4)$から$1$題選択して解答せよ．
(2)$12$個のサイコロを同時に投げたとき，$1$の目がちょうど$n$個出る確率を$P_n$とする．$P_n$は$n=2$のとき最大になることを示せ．
(3)$a$を正の整数とし，$p,\ q$を素数とする．このとき，$2$次方程式
\[ ax^2-px+q=0 \]
の$2$解が整数となるような組$(a,\ p,\ q)$をすべて求めよ．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$上に，異なる$2$点$\mathrm{X}$，$\mathrm{Y}$を，$\mathrm{BXYC}$の順に並ぶように選ぶ．$\mathrm{X}$を通り$\mathrm{AB}$に平行な直線と，$\mathrm{Y}$を通り$\mathrm{AC}$に平行な直線との交点を$\mathrm{P}$とし，直線$\mathrm{AP}$と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{Z}$とする．このとき
\[ \frac{\mathrm{CY}}{\mathrm{BX}}=\frac{\mathrm{YZ}}{\mathrm{XZ}} \]
となることを示せ．