「さいころ」について
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公立 釧路公立大学 2016年 第4問次の問いに答えよ．
(1)大中小$3$つのさいころを投げるとき，出る$3$つの目の積が偶数となる場合は何通りあるか．
(2)$1$から$25$までの整数が$1$つずつ書かれた$25$枚のカードがある．以下の問いに答えよ．
(i) $2$枚のカードをもとに戻さず順に取り出すとき，$2$枚目が$5$の倍数になる確率を求めよ．
(ii) $2$枚のカードを同時に取り出すとき，取り出した$2$枚のカードの整数の和が$5$の倍数になる確率を求めよ．
(1)大中小$3$つのさいころを投げるとき，出る$3$つの目の積が偶数となる場合は何通りあるか．
(2)$1$から$25$までの整数が$1$つずつ書かれた$25$枚のカードがある．以下の問いに答えよ．
(i) $2$枚のカードをもとに戻さず順に取り出すとき，$2$枚目が$5$の倍数になる確率を求めよ．
(ii) $2$枚のカードを同時に取り出すとき，取り出した$2$枚のカードの整数の和が$5$の倍数になる確率を求めよ．
国立 埼玉大学 2015年 第4問百の位が$X$で十の位が$Y$で一の位が$Z$である三けたの数を$(XYZ)$で表すことにする．サイコロを投げるとき，$1$から$6$までの$6$通りのうちいずれかの目が出て，どの目が出ることも同様に確からしいとする．このサイコロを$3$回投げ，出た目の数を順に$A,\ B,\ C$とする．このとき下記の設問に答えよ．
(1)$(ABC)$が$4$の倍数になる確率を求めよ．
(2)$(ABC)$，$(ACB)$，$(BAC)$，$(BCA)$，$(CAB)$，$(CBA)$のいずれもが$4$の倍数にならない確率を求めよ．
(1)$(ABC)$が$4$の倍数になる確率を求めよ．
(2)$(ABC)$，$(ACB)$，$(BAC)$，$(BCA)$，$(CAB)$，$(CBA)$のいずれもが$4$の倍数にならない確率を求めよ．
国立 東北大学 2015年 第3問サイコロを$3$回投げて出た目の数を順に$p_1$，$p_2$，$p_3$とし，$x$の$2$次方程式
\[ 2p_1x^2+p_2x+2p_3=0 \cdots\cdots (*) \]
を考える．
(1)方程式$(*)$が実数解をもつ確率を求めよ．
(2)方程式$(*)$が実数でない$2$つの複素数解$\alpha,\ \beta$をもち，かつ$\alpha\beta=1$が成り立つ確率を求めよ．
(3)方程式$(*)$が実数でない$2$つの複素数解$\alpha,\ \beta$をもち，かつ$\alpha\beta<1$が成り立つ確率を求めよ．
\[ 2p_1x^2+p_2x+2p_3=0 \cdots\cdots (*) \]
を考える．
(1)方程式$(*)$が実数解をもつ確率を求めよ．
(2)方程式$(*)$が実数でない$2$つの複素数解$\alpha,\ \beta$をもち，かつ$\alpha\beta=1$が成り立つ確率を求めよ．
(3)方程式$(*)$が実数でない$2$つの複素数解$\alpha,\ \beta$をもち，かつ$\alpha\beta<1$が成り立つ確率を求めよ．
国立 東北大学 2015年 第3問サイコロを$3$回投げて出た目の数を順に$p_1$，$p_2$，$p_3$とし，$x$の$2$次方程式
\[ 2p_1x^2+p_2x+2p_3=0 \cdots\cdots (*) \]
を考える．
(1)方程式$(*)$が実数解をもつ確率を求めよ．
(2)方程式$(*)$が実数でない$2$つの複素数解$\alpha,\ \beta$をもち，かつ$\alpha\beta=1$が成り立つ確率を求めよ．
\[ 2p_1x^2+p_2x+2p_3=0 \cdots\cdots (*) \]
を考える．
(1)方程式$(*)$が実数解をもつ確率を求めよ．
(2)方程式$(*)$が実数でない$2$つの複素数解$\alpha,\ \beta$をもち，かつ$\alpha\beta=1$が成り立つ確率を求めよ．
国立 横浜国立大学 2015年 第1問大小$2$つのさいころを投げ，大きいさいころの出た目を$a$，小さいさいころの出た目を$b$とする．$a,\ b$に対し，$xy$平面上の曲線$y=x^3-ax$を$C$とし，$C$を$x$軸の正の方向に$b$だけ平行移動した曲線を$D$とする．次の問いに答えよ．
(1)$C$と$D$が異なる$2$点で交わる確率を求めよ．
(2)$C$と$D$が異なる$2$点で交わり，かつ，その$2$点を通る直線の傾きが正である確率を求めよ．
(1)$C$と$D$が異なる$2$点で交わる確率を求めよ．
(2)$C$と$D$が異なる$2$点で交わり，かつ，その$2$点を通る直線の傾きが正である確率を求めよ．
国立 横浜国立大学 2015年 第5問$1$個のさいころを$3$回続けて投げ，出た目を順に$a,\ b,\ c$とする．不等式
\[ \int_0^\pi (\cos ax)(\cos bx)(\cos cx) \, dx>0 \]
をみたす確率を求めよ．
\[ \int_0^\pi (\cos ax)(\cos bx)(\cos cx) \, dx>0 \]
をみたす確率を求めよ．
国立 千葉大学 2015年 第4問さいころを$5$回振るとき，初めの$4$回においては$6$の目が偶数回出て，しかも最後の$2$回においては$6$の目がちょうど$1$回出る確率を求めよ．ただし，$6$の目が一度も出ない場合も$6$の目が出る回数を偶数回とみなす．
国立 千葉大学 2015年 第2問さいころを$5$回振るとき，初めの$4$回においては$6$の目が偶数回出て，しかも最後の$2$回においては$6$の目がちょうど$1$回出る確率を求めよ．ただし，$6$の目が一度も出ない場合も$6$の目が出る回数を偶数回とみなす．
国立 千葉大学 2015年 第3問さいころを$5$回振るとき，初めの$4$回においては$6$の目が偶数回出て，しかも最後の$2$回においては$6$の目がちょうど$1$回出る確率を求めよ．ただし，$6$の目が一度も出ない場合も$6$の目が出る回数を偶数回とみなす．
国立 東京大学 2015年 第2問どの目も出る確率が$\displaystyle \frac{1}{6}$のさいころを$1$つ用意し，次のように左から順に文字を書く．
さいころを投げ，出た目が$1,\ 2,\ 3$のときは文字列$\mathrm{AA}$を書き，$4$のときは文字$\mathrm{B}$を，$5$のときは文字$\mathrm{C}$を，$6$のときは文字$\mathrm{D}$を書く．さらに繰り返しさいころを投げ，同じ規則に従って，$\mathrm{AA}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$をすでにある文字列の右側につなげて書いていく．
たとえば，さいころを$5$回投げ，その出た目が順に$2,\ 5,\ 6,\ 3,\ 4$であったとすると，得られる文字列は，
\[ \mathrm{A} \ \mathrm{A} \ \mathrm{C} \ \mathrm{D} \ \mathrm{A} \ \mathrm{A} \ \mathrm{B} \]
となる．このとき，左から$4$番目の文字は$\mathrm{D}$，$5$番目の文字は$\mathrm{A}$である．
(1)$n$を正の整数とする．$n$回さいころを投げ，文字列を作るとき，文字列の左から$n$番目の文字が$\mathrm{A}$となる確率を求めよ．
(2)$n$を$2$以上の整数とする．$n$回さいころを投げ，文字列を作るとき，文字列の左から$n-1$番目の文字が$\mathrm{A}$で，かつ$n$番目の文字が$\mathrm{B}$となる確率を求めよ．
さいころを投げ，出た目が$1,\ 2,\ 3$のときは文字列$\mathrm{AA}$を書き，$4$のときは文字$\mathrm{B}$を，$5$のときは文字$\mathrm{C}$を，$6$のときは文字$\mathrm{D}$を書く．さらに繰り返しさいころを投げ，同じ規則に従って，$\mathrm{AA}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$をすでにある文字列の右側につなげて書いていく．
たとえば，さいころを$5$回投げ，その出た目が順に$2,\ 5,\ 6,\ 3,\ 4$であったとすると，得られる文字列は，
\[ \mathrm{A} \ \mathrm{A} \ \mathrm{C} \ \mathrm{D} \ \mathrm{A} \ \mathrm{A} \ \mathrm{B} \]
となる．このとき，左から$4$番目の文字は$\mathrm{D}$，$5$番目の文字は$\mathrm{A}$である．
(1)$n$を正の整数とする．$n$回さいころを投げ，文字列を作るとき，文字列の左から$n$番目の文字が$\mathrm{A}$となる確率を求めよ．
(2)$n$を$2$以上の整数とする．$n$回さいころを投げ，文字列を作るとき，文字列の左から$n-1$番目の文字が$\mathrm{A}$で，かつ$n$番目の文字が$\mathrm{B}$となる確率を求めよ．