$2$つのサイコロを振り，出た目の和が$n$であるとき，$n$の「奇数部分」を得点とする．ただし，自然数$n$の「奇数部分」とは
\[ n=2^km \quad (k \text{は} 0 \text{以上の整数，} m \text{は奇数}) \]
と表したときの$m$のこととする．たとえば
\[ 4=2^2 \times 1,\quad 5=2^0 \times 5,\quad 6=2^1 \times 3 \]
であるので，$4,\ 5,\ 6$の「奇数部分」はそれぞれ$1,\ 5,\ 3$である．

(1)得点が$9$である確率を求めよ．
(2)得点が$1$である確率を求めよ．
(3)得点の期待値を求めよ．

原点$\mathrm{O}$から出発して数直線上を動く点$\mathrm{P}$は，サイコロを投げて$1,\ 2,\ 3,\ 4$の目が出たら正の向きに$1$だけ進み，$5,\ 6$の目が出たら負の向きに$1$だけ進む．

(1)サイコロを$5$回投げる間に，$\mathrm{P}$が一度も数直線の正の側に出ない確率を求めよ．
(2)サイコロを$5$回投げたあとの$\mathrm{P}$の座標を$X$とする．$X$の期待値を求めよ．

次の問いに答えなさい．

(1)次の式を因数分解しなさい．
\[ 4x^2+8x-21 \]
(2)次の$2$次方程式を解きなさい．
\[ x^2+5x+3=0 \]
(3)次の連立不等式を解きなさい．
\[ 2-4x \geqq -2x>3x-2 \]
(4)$x=\sqrt{7+2 \sqrt{10}},\ y=\sqrt{7-2 \sqrt{10}}$のとき，次の式の値を求めなさい．

(i) $x+y,\ xy$
(ii) $x^3+y^3$

(5)男子$4$人，女子$3$人が$1$列に並ぶとき，次のような並び方は何通りありますか．

(i) 女子$3$人が隣り合う
(ii) 女子どうしが隣り合わない

(6)$1$個のさいころを繰り返し$3$回投げるとき，目の最小値が$2$以下である確率を求めなさい．

さいころを$4$個同時に振って$x$種類の数字がでたら$x$点とする．例えば$1,\ 2,\ 2,\ 5$がでたら$3$点である．このとき，次の問に答えなさい．

(1)$1$点となる確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イウエ]}$である．

(2)$4$点となる確率は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カキ]}$である．

(3)$2$点となる確率は$\displaystyle \frac{[クケ]}{[コサシ]}$である．

(4)$3$点となる確率は$\displaystyle \frac{[ス]}{[セ]}$である．

(5)得点$x$の期待値は$\displaystyle \frac{[ソタチ]}{[ツテト]}$である．

$6$つの面のうち，$3$つの面には$1$と書かれ，$2$つの面には$-1$と書かれ，$1$つの面には$0$と書かれたサイコロがある．このサイコロを$3$回投げたとき，出る数について次の$[　]$をうめよ．

(1)それらの数の積が$0$になる確率は$[$1$]$である．
(2)それらの数の和が$0$になる確率は$[$2$]$である．
(3)それらの数の積が正の数になる確率は$[$3$]$である．
(4)それらの数の和が正の数になる確率は$[$4$]$である．
(5)それらの数の積の期待値は$[$5$]$である．

サイコロを$2$個，くり返し投げたとき，$xy$平面上で，点$\mathrm{P}$は原点を出発して，次の規則で移動していく．

(i) $1$回投げるごとに，$x$軸方向に$+1$移動する．
(ii) 目の和が$10$以上のときは$y$軸方向に$+2$移動し，$9$以下のときは$y$軸方向に$-1$移動する．

このとき，次の確率を求めよ．

(1)$5$回投げたとき，点$\mathrm{P}$が点$(5,\ 4)$に達する．
(2)$6$回投げたとき，点$\mathrm{P}$が点$(5,\ 4)$を通り点$(6,\ 5)$に達する．
(3)$7$回投げたとき，点$\mathrm{P}$が点$(5,\ 4)$を通り点$(7,\ 5)$に達する．

次の各問に答えよ．

(1)異なる$3$個のサイコロを同時に投げたとき，目の和が$5$の倍数になる場合は$[ア]$通りである．
(2)数列$\{a_n\}$は，初項が$2$，公差が$5$の等差数列であり，数列$\{b_n\}$は，初項が$1$，公比が$3$の等比数列である．このとき
\[ a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n = \frac{[イ]+([ウ]n+[エ])3^n}{[オ]} \]
である．ただし，$[オ]$はできる限り小さい自然数で答えること．

さいころを$2$つ同時に投げる試行について，以下の問いに答えよ．

(1)$1$回の試行で両方とも偶数の目の出る確率を求めよ．
(2)試行を$3$回繰り返すとき，少なくとも$1$回は両方とも偶数の目の出る確率を求めよ．
(3)$1$回の試行で，$2$つのさいころの目が両方とも偶数ならば$4$点，それ以外ならば$2$点の得点がもらえるとする．試行を$3$回繰り返したときにもらえる総得点の期待値を求めよ．

以下の文中の$[　]$の中にいれるべき数または式を求めよ．

(1)次の条件をみたす$3$つの実数$x,\ y,\ z$がある．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x \leqq y \leqq z \\
x+y+z=6 \\
z-x=2
\end{array} \right. \]

(i) $x$の取りうる値の範囲は$[　]$である．
(ii) 積$xyz$を$x$の式で表すと$[　]$である．
(iii) 積$xyz$の取りうる値の範囲は$[　]$である．

(2)$1$個のさいころを連続して$3$回投げ，出た目を順に$a,\ b,\ c$とする．

(i) $a=b+c$をみたす確率は$[　]$である．
(ii) $4a=b+c$をみたす確率は$[　]$である．
(iii) $a>b+c$をみたす確率は$[　]$である．

$3$個のさいころを同時に投げる試行において，出る目の和を$S$とする．このとき，以下の問いに答えなさい．答えのみではなく，理由も述べなさい．

(1)$S=7$となる確率を求めなさい．
(2)$S \geqq 7$となる確率を求めなさい．
(3)$S \leqq 5$または$S \geqq 16$なら$3000$円，$6 \leqq S \leqq 15$なら$300$円の賞金が得られるものとする．このとき，得られる賞金額の期待値を求めなさい．