「さいころ」について
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公立 広島市立大学 2011年 第2問次の問いに答えよ．
(1)3つのサイコロを同時にふるとき，出る目の最大値と最小値を考える．
\mon[(i)] 最大値が3かつ最小値が2となる確率を求めよ．
\mon[(ii)] 最大値と最小値の差が2以上となる確率を求めよ．
(2)$a,\ b,\ c$は正の数とする．$(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)>0$であるための必要十分条件は，$b+c>a$かつ$c+a>b$かつ$a+b>c$であることを証明せよ．
(1)3つのサイコロを同時にふるとき，出る目の最大値と最小値を考える．
\mon[(i)] 最大値が3かつ最小値が2となる確率を求めよ．
\mon[(ii)] 最大値と最小値の差が2以上となる確率を求めよ．
(2)$a,\ b,\ c$は正の数とする．$(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)>0$であるための必要十分条件は，$b+c>a$かつ$c+a>b$かつ$a+b>c$であることを証明せよ．
公立 会津大学 2011年 第3問1個のサイコロを3回投げるとき，以下の問いに答えよ．
(1)出た目がすべて異なる確率を求めよ．
(2)出た目の和が5となる確率を求めよ．
(3)出た目の最大値が2となる確率を求めよ．
(4)出た目の積が60となる確率を求めよ．
(1)出た目がすべて異なる確率を求めよ．
(2)出た目の和が5となる確率を求めよ．
(3)出た目の最大値が2となる確率を求めよ．
(4)出た目の積が60となる確率を求めよ．
公立 名古屋市立大学 2011年 第1問座標平面上の点$(1,\ 0)$に物体$\mathrm{A}$がある．さいころを振り，$1$から$4$の目が出たら原点から距離$1$だけ遠ざけ，$5$または$6$の目が出たときには原点のまわりに$15$度時計方向と逆回りに回転させる．物体$\mathrm{A}$が$y$軸に達するまでこれを続ける．次の問いに答えよ．
(1)物体$\mathrm{A}$が点$(0,\ n) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$に達する確率$P_n$を求めよ．
(2)$P_n$を最大にする$n$を求めよ．
(1)物体$\mathrm{A}$が点$(0,\ n) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$に達する確率$P_n$を求めよ．
(2)$P_n$を最大にする$n$を求めよ．
公立 熊本県立大学 2011年 第2問正しく作られたさいころ$1$個を$3$回振るとき，$2$の目と$3$の目の両方が出る確率を求めなさい．
公立 宮城大学 2011年 第3問$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$人が交互にさいころを投げ，出た目の数を自分の得点とする．初めに$\mathrm{A}$がさいころを投げ，自分の得点の合計が先に$6$以上になった方を勝ちとしてゲームを終了する．ただし，例外として次の$3$つのルールを定める．
\begin{itemize}
$\mathrm{A}$が$1$の目を出したときは$\mathrm{A}$の勝ちとしてゲームを終了する．
$\mathrm{A}$が$2$の目を出したときは$\mathrm{B}$の勝ちとしてゲームを終了する．
$\mathrm{B}$が$1$または$2$の目を出したときは$\mathrm{B}$の勝ちとしてゲームを終了する．
\end{itemize}
このとき次の問いに答えなさい．
(1)$\mathrm{A}$が$1$回目で勝つ確率を求めなさい．
(2)$2$回目で$\mathrm{B}$がさいころを投げてゲームが終了する確率を求めなさい．
(3)このゲームで$\mathrm{A}$が勝つ確率を求めなさい．
\begin{itemize}
$\mathrm{A}$が$1$の目を出したときは$\mathrm{A}$の勝ちとしてゲームを終了する．
$\mathrm{A}$が$2$の目を出したときは$\mathrm{B}$の勝ちとしてゲームを終了する．
$\mathrm{B}$が$1$または$2$の目を出したときは$\mathrm{B}$の勝ちとしてゲームを終了する．
\end{itemize}
このとき次の問いに答えなさい．
(1)$\mathrm{A}$が$1$回目で勝つ確率を求めなさい．
(2)$2$回目で$\mathrm{B}$がさいころを投げてゲームが終了する確率を求めなさい．
(3)このゲームで$\mathrm{A}$が勝つ確率を求めなさい．
国立 一橋大学 2010年 第5問$n$を3以上の自然数とする．サイコロを$n$回投げ，出た目の数をそれぞれ順に$X_1,\ X_2,\ \cdots,\ X_n$とする．$i=2,\ 3,\ \cdots,\ n$に対して$X_i=X_{i-1}$となる事象を$A_i$とする．
(1)$A_2,\ A_3,\ \cdots,\ A_n$のうち少なくとも1つが起こる確率$p_n$を求めよ．
(2)$A_2,\ A_3,\ \cdots,\ A_n$のうち少なくとも2つが起こる確率$q_n$を求めよ．
(1)$A_2,\ A_3,\ \cdots,\ A_n$のうち少なくとも1つが起こる確率$p_n$を求めよ．
(2)$A_2,\ A_3,\ \cdots,\ A_n$のうち少なくとも2つが起こる確率$q_n$を求めよ．
国立 大阪大学 2010年 第3問次の問いに答えよ．
(1)不等式
\[ (|x|-2)^2+(|y|-2)^2 \leqq 1 \]
の表す領域を$xy$平面上に図示せよ．
(2)1個のさいころを4回投げ，$n$回目$(n = 1,\ 2,\ 3,\ 4)$に出た目の数を$a_n$とする．このとき
\[ (x,\ y) = (a_1-a_2,\ a_3-a_4) \]
が(1)の領域に含まれる確率を求めよ．
(1)不等式
\[ (|x|-2)^2+(|y|-2)^2 \leqq 1 \]
の表す領域を$xy$平面上に図示せよ．
(2)1個のさいころを4回投げ，$n$回目$(n = 1,\ 2,\ 3,\ 4)$に出た目の数を$a_n$とする．このとき
\[ (x,\ y) = (a_1-a_2,\ a_3-a_4) \]
が(1)の領域に含まれる確率を求めよ．
国立 岩手大学 2010年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(-1,\ 1),\ \overrightarrow{b}=(3,\ -2)$に対して，$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$が垂直になるように，実数$t$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x+k}-3}{x-3}$が有限な値になるように，定数$k$の値を定め，その極限値を求めよ．
(3)$1$個のサイコロを投げて，出る目の数を$a$とする．このとき，楕円$3x^2+y^2=12$と直線$x-y+a=0$の共有点の個数の期待値を求めよ．
(1)$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(-1,\ 1),\ \overrightarrow{b}=(3,\ -2)$に対して，$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$が垂直になるように，実数$t$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x+k}-3}{x-3}$が有限な値になるように，定数$k$の値を定め，その極限値を求めよ．
(3)$1$個のサイコロを投げて，出る目の数を$a$とする．このとき，楕円$3x^2+y^2=12$と直線$x-y+a=0$の共有点の個数の期待値を求めよ．
国立 北海道大学 2010年 第2問$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$それぞれがさいころを$1$回ずつ投げる．
\begin{itemize}
同じ目が出たときは$\mathrm{A}$の勝ちとし，異なる目が出たときには大きい目を出した方の勝ちとする．
$p,\ q$を自然数とする．$\mathrm{A}$が勝ったときは，$\mathrm{A}$が出した目の数の$p$倍を$\mathrm{A}$の得点とする．$\mathrm{B}$が勝ったときには，$\mathrm{B}$が出した目の数に$\mathrm{A}$が出した目の数の$q$倍を加えた合計を$\mathrm{B}$の得点とする．負けた者の得点は$0$とする．
\end{itemize}
$\mathrm{A}$の得点の期待値を$E_A$，$\mathrm{B}$の得点の期待値を$E_B$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$E_A,\ E_B$をそれぞれ$p,\ q$で表せ．
(2)$E_A = E_B$となる最小の自然数$p$と，そのときの$E_A$の値を求めよ．
\begin{itemize}
同じ目が出たときは$\mathrm{A}$の勝ちとし，異なる目が出たときには大きい目を出した方の勝ちとする．
$p,\ q$を自然数とする．$\mathrm{A}$が勝ったときは，$\mathrm{A}$が出した目の数の$p$倍を$\mathrm{A}$の得点とする．$\mathrm{B}$が勝ったときには，$\mathrm{B}$が出した目の数に$\mathrm{A}$が出した目の数の$q$倍を加えた合計を$\mathrm{B}$の得点とする．負けた者の得点は$0$とする．
\end{itemize}
$\mathrm{A}$の得点の期待値を$E_A$，$\mathrm{B}$の得点の期待値を$E_B$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$E_A,\ E_B$をそれぞれ$p,\ q$で表せ．
(2)$E_A = E_B$となる最小の自然数$p$と，そのときの$E_A$の値を求めよ．
国立 九州大学 2010年 第2問次のような競技を考える．競技者がサイコロを振る．もし，出た目が気に入ればその目を得点とする．そうでなければ，もう$1$回サイコロを振って，$2$つの目の合計を得点とすることができる．ただし，合計が$7$以上になった場合は得点は$0$点とする．この取決めによって，$2$回目を振ると得点が下がることもあることに注意しよう．次の問いに答えよ．
(1)競技者が常にサイコロを$2$回振るとすると，得点の期待値はいくらか．
(2)競技者が最初の目が$6$のときだけ$2$回目を振らないとすると，得点の期待値はいくらか．
(3)得点の期待値を最大にするためには，競技者は最初の目がどの範囲にあるときに$2$回目を振るとよいか．
(1)競技者が常にサイコロを$2$回振るとすると，得点の期待値はいくらか．
(2)競技者が最初の目が$6$のときだけ$2$回目を振らないとすると，得点の期待値はいくらか．
(3)得点の期待値を最大にするためには，競技者は最初の目がどの範囲にあるときに$2$回目を振るとよいか．