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私立 日本女子大学 2011年 第2問数直線上を動く点$\mathrm{P}$がある．原点を出発して，さいころを$1$回振るごとに，$5$以上の目が出たら$+3$だけ，$4$以下の目が出たら$-1$だけ点$\mathrm{P}$の位置が数直線上で移動する．
(1)さいころを$4$回振るとき，点$\mathrm{P}$がちょうど$4$の位置にくる確率を求めよ．
(2)さいころを$1$回振るとき，点$\mathrm{P}$の位置の期待値を求めよ．
(3)さいころを$4$回振るとき，点$\mathrm{P}$の位置の期待値を求めよ．
(1)さいころを$4$回振るとき，点$\mathrm{P}$がちょうど$4$の位置にくる確率を求めよ．
(2)さいころを$1$回振るとき，点$\mathrm{P}$の位置の期待値を求めよ．
(3)さいころを$4$回振るとき，点$\mathrm{P}$の位置の期待値を求めよ．
私立 神奈川大学 2011年 第1問次の空欄を適当に補え．
(1)不等式$|4x-3| \leqq -x+7$を解くと$[$(\mathrm{a])$}$である．
(2)$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(3,\ 4)$，$\overrightarrow{b}=(-1,\ 2)$に対して，$\overrightarrow{a}+k \overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{a}-k \overrightarrow{b}$が垂直であるとき，正の定数$k$の値は$[$(\mathrm{b])$}$である．
(3)数列
\[ \frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{3}},\ \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}},\ \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}},\ \cdots,\ \frac{1}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1}},\ \cdots \]
の第$24$項までの和は$[$(\mathrm{c])$}$である．
(4)方程式$\log_2x=2 \log_x2-1$を解くと，$x=[$(\mathrm{d])$}$である．ただし，$x \neq 2$とする．
(5)$1$個のさいころを$2$回投げるとき，$1$回目に出る目の数と$2$回目に出る目の数のうち小さくない方を$X$とする．$X=4$となる確率は$[$(\mathrm{e])$}$である．
(6)関数$f(x)=x^2-x^3$は$x=[$(\mathrm{f])$}$で極大値$[$(\mathrm{g])$}$をとる．
(1)不等式$|4x-3| \leqq -x+7$を解くと$[$(\mathrm{a])$}$である．
(2)$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(3,\ 4)$，$\overrightarrow{b}=(-1,\ 2)$に対して，$\overrightarrow{a}+k \overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{a}-k \overrightarrow{b}$が垂直であるとき，正の定数$k$の値は$[$(\mathrm{b])$}$である．
(3)数列
\[ \frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{3}},\ \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}},\ \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}},\ \cdots,\ \frac{1}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1}},\ \cdots \]
の第$24$項までの和は$[$(\mathrm{c])$}$である．
(4)方程式$\log_2x=2 \log_x2-1$を解くと，$x=[$(\mathrm{d])$}$である．ただし，$x \neq 2$とする．
(5)$1$個のさいころを$2$回投げるとき，$1$回目に出る目の数と$2$回目に出る目の数のうち小さくない方を$X$とする．$X=4$となる確率は$[$(\mathrm{e])$}$である．
(6)関数$f(x)=x^2-x^3$は$x=[$(\mathrm{f])$}$で極大値$[$(\mathrm{g])$}$をとる．
私立 広島修道大学 2011年 第1問空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．
(1)円$x^2+y^2=30$上の点$\mathrm{P}(5,\ \sqrt{5})$における接線の方程式は$[$1$]$である．
(2)$\displaystyle \frac{5x+3}{x^2+7x-18}=\frac{a}{x-2}+\frac{b}{x+9}$が$x$についての恒等式であるとき，$a=[$2$]$，$b=[$3$]$である．
(3)$\displaystyle \sin (\alpha+\beta)=\frac{3}{4},\ \sin (\alpha-\beta)=\frac{1}{4}$であるとき，$\sin \alpha \cos \beta$の値は$[$4$]$，$\cos \alpha \sin \beta$の値は$[$5$]$，$\sin^2 \alpha+\cos^2 \beta$の値は$[$6$]$である．
(4)$7$人が円形のテーブルに着席する方法は$[$7$]$通りある．
(5)さいころ$3$個を同時に投げるとき，そのうち同じ目が出るさいころが$2$個だけである確率は，$[$8$]$である．また，さいころ$4$個を同時に投げるとき，少なくとも$2$個のさいころが同じ目である確率は，$[$9$]$である．
(6)連立方程式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt{x}+2 \log_{10}y=3 \\
x-3 \log_{10}y^2=1 \phantom{e^{[ ]}}
\end{array} \right. \]
を満たす$x,\ y$の値は$x=[$10$]$，$y=[$11$]$である．
(1)円$x^2+y^2=30$上の点$\mathrm{P}(5,\ \sqrt{5})$における接線の方程式は$[$1$]$である．
(2)$\displaystyle \frac{5x+3}{x^2+7x-18}=\frac{a}{x-2}+\frac{b}{x+9}$が$x$についての恒等式であるとき，$a=[$2$]$，$b=[$3$]$である．
(3)$\displaystyle \sin (\alpha+\beta)=\frac{3}{4},\ \sin (\alpha-\beta)=\frac{1}{4}$であるとき，$\sin \alpha \cos \beta$の値は$[$4$]$，$\cos \alpha \sin \beta$の値は$[$5$]$，$\sin^2 \alpha+\cos^2 \beta$の値は$[$6$]$である．
(4)$7$人が円形のテーブルに着席する方法は$[$7$]$通りある．
(5)さいころ$3$個を同時に投げるとき，そのうち同じ目が出るさいころが$2$個だけである確率は，$[$8$]$である．また，さいころ$4$個を同時に投げるとき，少なくとも$2$個のさいころが同じ目である確率は，$[$9$]$である．
(6)連立方程式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt{x}+2 \log_{10}y=3 \\
x-3 \log_{10}y^2=1 \phantom{e^{[ ]}}
\end{array} \right. \]
を満たす$x,\ y$の値は$x=[$10$]$，$y=[$11$]$である．
私立 北海道科学大学 2011年 第7問$1$個のさいころを投げて$1$の目が出ると$1200$円，偶数の目が出ると$500$円，$3$または$5$の目が出ると$300$円の賞金が得られるとする．この試行において，さいころを$1$回投げて得られる賞金額の期待値は$[ ]$円である．また，この試行を$3$回続けて行った結果，賞金総額がちょうど$2000$円となる確率は$[ ]$である．
私立 北海道科学大学 2011年 第11問$1$個のさいころを$3$回続けて投げるという試行に関して，次の確率を求めよ．
(1)$3$回連続で同じ目が出る確率．
(2)$3$回連続で偶数が出る確率．
(3)$3$回とも互いに異なる目が出る確率．
(4)$2$回続けて同じ目が出ない確率．
(5)出た目の合計が$16$以上になる確率．
(1)$3$回連続で同じ目が出る確率．
(2)$3$回連続で偶数が出る確率．
(3)$3$回とも互いに異なる目が出る確率．
(4)$2$回続けて同じ目が出ない確率．
(5)出た目の合計が$16$以上になる確率．
私立 中央大学 2011年 第4問$3$人がそれぞれ$1$個のサイコロを同時に投げ，$2$以下の目が出た者は退場する．$1$回目のサイコロ投げで残った人数を$X(1)$とする．次に$X(1)$人がそれぞれ$1$個のサイコロを同時に投げ，$2$以下の目が出た者は退場する．$2$回目のサイコロ投げで残った人数を$X(2)$とする．ただし，$X(1)=0$の場合は$X(2)=0$とする．このとき以下の設問に答えよ．
(1)$X(1) \geqq 1$となる確率を求めよ．
(2)$X(1)$の期待値を求めよ．
(3)$X(2) \geqq 1$となる確率を求めよ．
(1)$X(1) \geqq 1$となる確率を求めよ．
(2)$X(1)$の期待値を求めよ．
(3)$X(2) \geqq 1$となる確率を求めよ．
私立 福岡大学 2011年 第1問次の$[ ]$をうめよ．
(1)方程式$9^{\log_3 x}=27$を解くと，$x=[ ]$である．
また，方程式$\log_2 x+2 \log_4 (x-3)=1$を解くと，$x=[ ]$である．
(2)$x$についての$3$次式$P(x)$を$x-2$で割ると商は$Q(x)$，余りは$a$で，$Q(x)$を$x-2$で割ると商は$x+3$，余りは$b$である．ただし，$a,\ b$は実数とする．方程式$P(x)=0$が虚数解$2+i$をもつとき，$a$と$b$の値を求めると，$(a,\ b)=[ ]$であり，方程式$P(x)=0$の実数解は$[ ]$である．
(3)$1$個のさいころを$2$回投げて，$2$回目に$1$回目以上の目が出たときはお菓子を$1$個もらえ，それ以外のときは$2$回目に出た目と同じ個数だけお菓子がもらえるとする．このとき，お菓子を$3$個もらえる確率は$[ ]$である．また，もらえるお菓子の個数の期待値は$[ ]$である．
(1)方程式$9^{\log_3 x}=27$を解くと，$x=[ ]$である．
また，方程式$\log_2 x+2 \log_4 (x-3)=1$を解くと，$x=[ ]$である．
(2)$x$についての$3$次式$P(x)$を$x-2$で割ると商は$Q(x)$，余りは$a$で，$Q(x)$を$x-2$で割ると商は$x+3$，余りは$b$である．ただし，$a,\ b$は実数とする．方程式$P(x)=0$が虚数解$2+i$をもつとき，$a$と$b$の値を求めると，$(a,\ b)=[ ]$であり，方程式$P(x)=0$の実数解は$[ ]$である．
(3)$1$個のさいころを$2$回投げて，$2$回目に$1$回目以上の目が出たときはお菓子を$1$個もらえ，それ以外のときは$2$回目に出た目と同じ個数だけお菓子がもらえるとする．このとき，お菓子を$3$個もらえる確率は$[ ]$である．また，もらえるお菓子の個数の期待値は$[ ]$である．
私立 大阪薬科大学 2011年 第3問次の問いに答えなさい．
$1$から$6$までのどの目も同様に確からしく出るサイコロ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$がある．$\mathrm{A}$を振って出た目を$x$，$\mathrm{B}$を振って出た目を$y$，$\mathrm{C}$を振って出た目を$z$とする．
(1)積$xyz$が奇数である確率は$[ ]$である．
(2)$(x-y)(y-z)=0$となる確率は$[ ]$である．
(3)空間のベクトル$\overrightarrow{a}=(x,\ y,\ z)$に対して，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{p}=(2,\ -1,\ 0)$が垂直である確率は$[ ]$，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{q}=(1,\ 2,\ 3)$が平行である確率は$[ ]$である．
(4)$\log_3 x+\log_3 y+\log_3 z$が整数となる確率を求めなさい．
$1$から$6$までのどの目も同様に確からしく出るサイコロ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$がある．$\mathrm{A}$を振って出た目を$x$，$\mathrm{B}$を振って出た目を$y$，$\mathrm{C}$を振って出た目を$z$とする．
(1)積$xyz$が奇数である確率は$[ ]$である．
(2)$(x-y)(y-z)=0$となる確率は$[ ]$である．
(3)空間のベクトル$\overrightarrow{a}=(x,\ y,\ z)$に対して，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{p}=(2,\ -1,\ 0)$が垂直である確率は$[ ]$，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{q}=(1,\ 2,\ 3)$が平行である確率は$[ ]$である．
(4)$\log_3 x+\log_3 y+\log_3 z$が整数となる確率を求めなさい．
私立 神戸薬科大学 2011年 第3問以下の文中の$[ ]$の中にいれるべき数または式を求めて記入せよ．
(1)平面上にサイコロがある．サイコロの$4$つの側面のいずれかの面を$\displaystyle \frac{1}{4}$の確率で底面にする操作を考える．$1$の目が出ているサイコロに対してこの操作を$n$回繰り返す．このとき，以下の問に答えよ．ただし，$1$の目の裏面は$6$の目である．
(i) この操作を$n$回行ったとき，$1$か$6$の目が出ている確率を$P_n$とする．
$P_1=[ ]$，$P_2=[ ]$，$P_3=[ ]$である．
(ii) $P_n$を$n$の式で表すと，$P_n=[ ]$である．
(2)\begin{mawarikomi}{35mm}{
（図は省略）
}
$\triangle \mathrm{OAB}$は$\mathrm{OA}=\mathrm{AB}=1$，$\angle \mathrm{OAB}={90}^\circ$となる直角二等辺三角形である．$\angle \mathrm{BOA}$の二等分線上の点$\mathrm{C}$を$\mathrm{BC} \perp \mathrm{OC}$となるようにとる．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$として，以下の問に答えよ．
(i) $\overrightarrow{\mathrm{OC}}=[ ] \overrightarrow{a}+[ ] \overrightarrow{b}$である．
(ii) $\mathrm{AC}$の長さの$2$乗を求めると，$\mathrm{AC}^2=[ ]$である．
\end{mawarikomi}
(1)平面上にサイコロがある．サイコロの$4$つの側面のいずれかの面を$\displaystyle \frac{1}{4}$の確率で底面にする操作を考える．$1$の目が出ているサイコロに対してこの操作を$n$回繰り返す．このとき，以下の問に答えよ．ただし，$1$の目の裏面は$6$の目である．
(i) この操作を$n$回行ったとき，$1$か$6$の目が出ている確率を$P_n$とする．
$P_1=[ ]$，$P_2=[ ]$，$P_3=[ ]$である．
(ii) $P_n$を$n$の式で表すと，$P_n=[ ]$である．
(2)\begin{mawarikomi}{35mm}{
（図は省略）
}
$\triangle \mathrm{OAB}$は$\mathrm{OA}=\mathrm{AB}=1$，$\angle \mathrm{OAB}={90}^\circ$となる直角二等辺三角形である．$\angle \mathrm{BOA}$の二等分線上の点$\mathrm{C}$を$\mathrm{BC} \perp \mathrm{OC}$となるようにとる．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$として，以下の問に答えよ．
(i) $\overrightarrow{\mathrm{OC}}=[ ] \overrightarrow{a}+[ ] \overrightarrow{b}$である．
(ii) $\mathrm{AC}$の長さの$2$乗を求めると，$\mathrm{AC}^2=[ ]$である．
\end{mawarikomi}
私立 関西学院大学 2011年 第1問次の文章中の$[ ]$に適する式または数値を記入せよ．
(1)$m$を実数とするとき，$2$つの$2$次方程式
$2x^2+8x+2m=0$ $\cdots\cdots①$
$x^2+mx+2m-4=0$ $\cdots\cdots②$
が共通の解をもつのは，$m=[$*$]$または$m=[$**$]$のときである．ただし，$[$*$]>[$**$]$とする．$m=[$*$]$のとき，$①$と$②$の共通の解は$x=[ ]$であり，$m=[$**$]$のとき，$①$と$②$の共通の解は$x=[ ]$である．
(2)座標平面上に点$\mathrm{P}$がある．サイコロを投げて，偶数の目がでたら$\mathrm{P}$は$x$軸の正の方向に$1$動き，$1$または$5$の目がでたら$y$軸の正の方向に$1$動き，$3$の目がでたときには動かないとする．最初$\mathrm{P}$が原点にあったとする．サイコロを$5$回投げた後，$\mathrm{P}$が座標$(4,\ 1)$にある確率は$[ ]$，$(3,\ 1)$にある確率は$[ ]$，$(2,\ 1)$にある確率は$[ ]$である．また，$n$を$3$以上の自然数とし，サイコロを$n$回投げた後，$\mathrm{P}$が$(n-3,\ 1)$にある確率は$[ ]$である．
(1)$m$を実数とするとき，$2$つの$2$次方程式
$2x^2+8x+2m=0$ $\cdots\cdots①$
$x^2+mx+2m-4=0$ $\cdots\cdots②$
が共通の解をもつのは，$m=[$*$]$または$m=[$**$]$のときである．ただし，$[$*$]>[$**$]$とする．$m=[$*$]$のとき，$①$と$②$の共通の解は$x=[ ]$であり，$m=[$**$]$のとき，$①$と$②$の共通の解は$x=[ ]$である．
(2)座標平面上に点$\mathrm{P}$がある．サイコロを投げて，偶数の目がでたら$\mathrm{P}$は$x$軸の正の方向に$1$動き，$1$または$5$の目がでたら$y$軸の正の方向に$1$動き，$3$の目がでたときには動かないとする．最初$\mathrm{P}$が原点にあったとする．サイコロを$5$回投げた後，$\mathrm{P}$が座標$(4,\ 1)$にある確率は$[ ]$，$(3,\ 1)$にある確率は$[ ]$，$(2,\ 1)$にある確率は$[ ]$である．また，$n$を$3$以上の自然数とし，サイコロを$n$回投げた後，$\mathrm{P}$が$(n-3,\ 1)$にある確率は$[ ]$である．