$5$個のさいころを同時に投げるとき，次の問いに答えよ．

(1)$5$個のさいころすべてに同じ目が出る確率を求めよ．
(2)$3$個のさいころに同じ目が出て，かつ残りの$2$個のさいころにも同じ目が出る確率を求めよ．ただし，$3$個のさいころに出た同じ目と$2$個のさいころに出た同じ目は異なるとする．
(3)出た目が連続した$5$つの数の組合せになる確率を求めよ．

$1$個のさいころを$3$回投げたとき，$1$回目，$2$回目，$3$回目に出た目の数をそれぞれ$a,\ b,\ c$とする．積$abc$が$3$の倍数となる確率を$m$，積$abc$が$5$の倍数となる確率を$n$としたとき，$\displaystyle \frac{91m}{38n}$の値を求めよ．

次の各問題の$[　]$に適する答えを記入せよ．

(1)$2 \log_2x-\log_2 (3x-2) \geqq 0$を満たす$x$の範囲は$[ア]$である．
(2)$3$つのサイコロを同時にふるとき，目の和の合計が$16$以上となる確率は$[イ]$である．
(3)原点を$\mathrm{O}$とし，$\mathrm{A}(0,\ 0,\ 2)$，$\mathrm{B}(1,\ 1,\ 0)$に対し直線$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{P}$が$\mathrm{OP} \perp \mathrm{AB}$を満たすとする．このとき$\mathrm{P}$の座標は$[ウ]$である．

次の各問の$[　]$にあてはまる数を記入せよ．

(1)大小$2$つのサイコロを振り，出た目をそれぞれ$a,\ b$とする．$ab \geqq 20$となる確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ]}$であり，$ab$が$3$で割り切れる確率は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エ]}$である．

(2)$\triangle \mathrm{ABC}$において$\mathrm{BC}=2$，$\mathrm{AC}=\sqrt{2}$，$\angle \mathrm{C}=105^\circ$とする．
\[ \cos 105^\circ=\frac{\sqrt{[オ]}-\sqrt{[カ]}}{[キ]} \]
である．また，$\mathrm{AB}=[ク]+\sqrt{[ケ]}$であり，$\angle \mathrm{A}=[コサ]^\circ$である．
(3)$a,\ b$を正の実数で，$a \neq 1,\ b \neq 1$とする．このとき

$(\log_{a^2}b+\log_b a^3)(\log_{a^3}b+\log_{b^2}a)$

$\displaystyle =\frac{[シ]}{[ス]} \cdot (\log_a b)^2+\frac{[セ]}{[ソ]} \cdot (\log_b a)^2+\frac{[タ]}{[チ]}$

である．

以下の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{A}$君は$1$個のさいころを投げ，それと同時に$\mathrm{B}$君は$2$個のさいころを投げる．このとき，$\mathrm{B}$君のさいころの目の少なくとも一方が$\mathrm{A}$君のさいころの目より大きい確率を求めよ．
(2)$0<a<1$のとき，$a^{x^2}>3^{x-2}a^{2x}$を満たす$x$の範囲を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{A}$君は$1$個のさいころを投げ，それと同時に$\mathrm{B}$君は$2$個のさいころを投げる．このとき，$\mathrm{B}$君のさいころの目の少なくとも一方が$\mathrm{A}$君のさいころの目より大きい確率を求めよ．
(2)$0<a<1$のとき，$a^{x^2}>3^{x-2}a^{2x}$を満たす$x$の範囲を求めよ．

さいころを$3$回続けて投げて出る目の数を順に$a,\ b,\ c$とする．$m=abc$として次の問いに答えなさい．

(1)$m$が$5$の倍数となる確率を求めなさい．
(2)$m$が$3$の倍数となる確率を求めなさい．
(3)$m$が素数となる確率を求めなさい．
(4)$m$が$36$となる確率を求めなさい．

次の問いに答えよ．

(1)立方体の各面に$1$～$6$の目が$1$つずつ書かれたサイコロを$2$つ振って，出た目の大きくない方を$x$とする．$x=2$である確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ]}$である．$x$の期待値は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エ]}$である．
(2)$A=\left( \begin{array}{cc}
5 & 11 \\
3 & 7
\end{array} \right)$とする．行列$A$が表す$1$次変換により，点$(3,\ -2)$は点$([オ],\ [カ])$に移り，点$([キ],\ [ク])$は点$(3,\ 1)$に移る．
(3)$f(x)=x^3-9x^2+18x+9$とし，
\[ A=\{x \;|\; f(x)>0\},\quad B=\{x \;|\; x>-1\} \]
とする．次が成り立つ．
\[ 1 [あ] A,\quad 5 [い] A,\quad A [う] B \]
\begin{screen}
{\bf あ，い，うの選択肢：} \\
$(\mathrm{a}) \in \quad (\mathrm{b}) \not\in \quad (\mathrm{c}) \ni \quad (\mathrm{d}) \not\ni \quad (\mathrm{e}) \subset \quad (\mathrm{f}) \supset \quad (\mathrm{g}) =$
\end{screen}
また，正の整数$a$に対して，
\[ C=\{x \;|\; 0 \leqq x \leqq a\} \]
とする．$A \supset C$となる最も大きい整数$a$は$a=[ケ]$である．

$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$名が次のようなルールのゲームを行った．

$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$で同時にサイコロを振り，偶数が出た場合は得点を$1$とし，奇数が出た場合は得点を$0$とする．
それぞれが$5$回サイコロを振り終わった時点で，より多くの得点をあげたものを勝者とし，得点が同じ場合は引き分けとする．
このとき，次の問に答えよ．

(1)$\mathrm{A}$の得点が$0$点かつ$\mathrm{B}$の得点が$1$点という経過の後で，終了時に$\mathrm{A}$の得点が$4$点である場合，得点の取り方は何通りあるか．
(2)$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が引き分ける確率を求めよ．
(3)$\mathrm{A}$が勝利する確率を求めよ．

次の空欄ア～スに当てはまる数を記入せよ．

(1)点$\mathrm{P}(1,\ 2)$と点$\mathrm{Q}(0,\ -1)$を通り，点$\mathrm{Q}$での接線の傾きが$2$である円の方程式は$(x-[ア])^2+(y-[イ])^2=[ウ]$である．
(2)$\overrightarrow{a}=(-2,\ 2,\ 1)$，$\overrightarrow{b}=(-5,\ 4,\ 3)$のとき，$\overrightarrow{a}$と$2 \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$のなす角度は$[エ]$である．
(3)$\sin x+\sqrt{3} \cos x-2=0 (0<x<\pi)$を解くと，$x=[オ]$である．
(4)数列$\displaystyle \frac{1}{1},\ \frac{1}{2},\ \frac{2}{2},\ \frac{1}{3},\ \frac{2}{3},\ \frac{3}{3},\ \frac{1}{4},\ \frac{2}{4},\ \frac{3}{4},\ \frac{4}{4},\ \frac{1}{5},\ \cdots$に関して，$\displaystyle \frac{17}{30}$はこの数列の第$[カ]$項である．

(5)$\displaystyle \omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$に対して，$\omega^8$は$[キ]+[ク]i$となる．ただし$i$は虚数単位とし，キ，クは実数とする．
(6)$2$次方程式$x^2+ax+16=0$が整数解を持つような整数$a$のうち最大のものは$[ケ]$である．
(7)サイコロを$4$回振る．連続して偶数があらわれず，かつ連続して奇数もあらわれない確率は$[コ]$である．
(8)$x$が実数を動くとき，関数$f(x)=4^x+4^{-x}-5(2^x+2^{-x})+9$の最小値は，$[サ]$である．
(9)関数$f(x)$が等式$\displaystyle \int_a^x f(t) \, dt=x^2+(3a+8)x+4$をみたすとき，定数$a$の値は$[シ]$である．
\mon $6^{30}$は$[ス]$桁の整数である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．