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国立 鹿児島大学 2011年 第7問大小$2$個のさいころを同時に投げる試行を考える．この試行で，大きいさいころの出た目を$X$，小さいさいころの出た目を$Y$とする．$T=2X-Y$とするとき，次の各問いに答えよ．
(1)確率$P(T=6)$，$P(T \geqq 0)$を求めよ．
(2)分散$V(X)$，平均$E(T)$を求めよ．
(3)$V(aT)=25$となる定数$a$の値を求めよ．
(1)確率$P(T=6)$，$P(T \geqq 0)$を求めよ．
(2)分散$V(X)$，平均$E(T)$を求めよ．
(3)$V(aT)=25$となる定数$a$の値を求めよ．
国立 愛媛大学 2011年 第1問次の問いに答えよ．
(1)関数$y=x^2-3x+7-3 |x-2|$のグラフをかけ．
(2)方程式$\displaystyle \log_5x-\frac{4}{\log_5x}+\frac{\log_5 x^3}{\log_5 x}=0$を解け．
(3)$a>0$とする．関数$f(t)=t(a-t^2) \ (0<t<\sqrt{a})$の最大値が$2$であるとき，$a$の値を求めよ．
(4)正四面体の各面に$0,\ 1,\ 2,\ 3$の数字が$1$つずつ書かれているさいころがある．このさいころを投げたとき，各面が底面になる確率は等しいものとする．このようなさいころを$2$つ同時に投げ，おのおののさいころの底面に書かれている数の積を$X$とする．$X$の期待値を求めよ．
(5)$2$つの曲線$y=x^2$，$y=-x^2+2x+1$で囲まれる図形の面積を求めよ．
(1)関数$y=x^2-3x+7-3 |x-2|$のグラフをかけ．
(2)方程式$\displaystyle \log_5x-\frac{4}{\log_5x}+\frac{\log_5 x^3}{\log_5 x}=0$を解け．
(3)$a>0$とする．関数$f(t)=t(a-t^2) \ (0<t<\sqrt{a})$の最大値が$2$であるとき，$a$の値を求めよ．
(4)正四面体の各面に$0,\ 1,\ 2,\ 3$の数字が$1$つずつ書かれているさいころがある．このさいころを投げたとき，各面が底面になる確率は等しいものとする．このようなさいころを$2$つ同時に投げ，おのおののさいころの底面に書かれている数の積を$X$とする．$X$の期待値を求めよ．
(5)$2$つの曲線$y=x^2$，$y=-x^2+2x+1$で囲まれる図形の面積を求めよ．
国立 愛媛大学 2011年 第3問自然数$n$を定数として，さいころを投げる次の競技を行う．この競技は，{\bf 試行}$1$と{\bf 試行}$2$からなる．競技者は，はじめに{\bf 試行}$1$を行う．
\begin{screen}
\mon[{\bf 試行}$1$] さいころを投げ，出た目の数を$X$とする．$X$の値に応じて次の手順に従う．
\mon[$\bullet$] $X=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の場合
$X$の値を得点として競技を終了する．
\mon[$\bullet$] $X=6$の場合
もし$n=1$ならば，$7$を得点として競技を終了する．
(★) \quad もし$n \geqq 2$ならば，{\bf 試行}$2$に進む．
\end{screen}
\begin{screen}
\mon[{\bf 試行}$2$] 競技者はさいころを投げる．
(★★) \quad 出た目の数を$X$とする．
$X$の値に応じて次の手順に従う．
\mon[$\bullet$] $X=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の場合
次のように定めた$P$を得点として競技を終了する．
\[ P=\left\{ \begin{array}{rl}
-1 & (X=1) \\
7 & (X=2,\ 3,\ 4) \\
13 & (X=5)
\end{array} \right. \]
\mon[$\bullet$] $X=6$の場合
もし競技開始から現時点までにさいころを投げた回数が$n$に等しいならば，$7$を得点として競技を終了する．
そうでないならば，続けてさいころを投げ，(★★)にもどる．
\end{screen}
以下の問いに答えよ．
(1)$n=1$として，{\bf 試行}$1$のみを行う．得点の期待値を求めよ．
(2)$n=4$とする．得点の期待値を求めよ．
(3)$n=30$とする．{\bf 試行}$1$を行い$X=6$になった．このとき，{\bf 試行}$1$の規則(★)を変更して，競技者は
\mon[(a)] 得点$7$を得て競技をただちに終了するか
\mon[(b)] 終了せずに{\bf 試行}$2$に進むか
どちらか一方を選択できるとする．どちらの選択をする方が得点の期待値が大きいか．
\begin{screen}
\mon[{\bf 試行}$1$] さいころを投げ，出た目の数を$X$とする．$X$の値に応じて次の手順に従う．
\mon[$\bullet$] $X=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の場合
$X$の値を得点として競技を終了する．
\mon[$\bullet$] $X=6$の場合
もし$n=1$ならば，$7$を得点として競技を終了する．
(★) \quad もし$n \geqq 2$ならば，{\bf 試行}$2$に進む．
\end{screen}
\begin{screen}
\mon[{\bf 試行}$2$] 競技者はさいころを投げる．
(★★) \quad 出た目の数を$X$とする．
$X$の値に応じて次の手順に従う．
\mon[$\bullet$] $X=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の場合
次のように定めた$P$を得点として競技を終了する．
\[ P=\left\{ \begin{array}{rl}
-1 & (X=1) \\
7 & (X=2,\ 3,\ 4) \\
13 & (X=5)
\end{array} \right. \]
\mon[$\bullet$] $X=6$の場合
もし競技開始から現時点までにさいころを投げた回数が$n$に等しいならば，$7$を得点として競技を終了する．
そうでないならば，続けてさいころを投げ，(★★)にもどる．
\end{screen}
以下の問いに答えよ．
(1)$n=1$として，{\bf 試行}$1$のみを行う．得点の期待値を求めよ．
(2)$n=4$とする．得点の期待値を求めよ．
(3)$n=30$とする．{\bf 試行}$1$を行い$X=6$になった．このとき，{\bf 試行}$1$の規則(★)を変更して，競技者は
\mon[(a)] 得点$7$を得て競技をただちに終了するか
\mon[(b)] 終了せずに{\bf 試行}$2$に進むか
どちらか一方を選択できるとする．どちらの選択をする方が得点の期待値が大きいか．
国立 鳴門教育大学 2011年 第3問数直線上の点$\mathrm{P}$は，さいころを投げて出た目が偶数であれば，正の方向に$1$だけ進み，奇数であれば負の方向に$1$だけ進む．いま，点$\mathrm{P}$は原点にある．
(1)さいころを$8$回投げたとき，点$\mathrm{P}$が原点にある確率を求めよ．
(2)さいころを$8$回投げて，点$\mathrm{P}$が初めて原点に戻ってくる確率を求めよ．
(3)さいころを$8$回投げて，点$\mathrm{P}$が原点に戻り，しかも戻ってくるのが$2$度目である確率を求めよ．
(1)さいころを$8$回投げたとき，点$\mathrm{P}$が原点にある確率を求めよ．
(2)さいころを$8$回投げて，点$\mathrm{P}$が初めて原点に戻ってくる確率を求めよ．
(3)さいころを$8$回投げて，点$\mathrm{P}$が原点に戻り，しかも戻ってくるのが$2$度目である確率を求めよ．
国立 愛媛大学 2011年 第4問自然数$n$を定数として，さいころを投げる次の競技を行う．この競技は，{\bf 試行}$1$と{\bf 試行}$2$からなる．競技者は，はじめに{\bf 試行}$1$を行う．
\begin{screen}
\mon[{\bf 試行}$1$] さいころを投げ，出た目の数を$X$とする．$X$の値に応じて次の手順に従う．
\mon[$\bullet$] $X=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の場合
$X$の値を得点として競技を終了する．
\mon[$\bullet$] $X=6$の場合
もし$n=1$ならば，$7$を得点として競技を終了する．
(★) \quad もし$n \geqq 2$ならば，{\bf 試行}$2$に進む．
\end{screen}
\begin{screen}
\mon[{\bf 試行}$2$] 競技者はさいころを投げる．
(★★) \quad 出た目の数を$X$とする．
$X$の値に応じて次の手順に従う．
\mon[$\bullet$] $X=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の場合
次のように定めた$P$を得点として競技を終了する．
\[ P=\left\{ \begin{array}{rl}
-1 & (X=1) \\
7 & (X=2,\ 3,\ 4) \\
13 & (X=5)
\end{array} \right. \]
\mon[$\bullet$] $X=6$の場合
もし競技開始から現時点までにさいころを投げた回数が$n$に等しいならば，$7$を得点として競技を終了する．
そうでないならば，続けてさいころを投げ，(★★)にもどる．
\end{screen}
以下の問いに答えよ．
(1)$n=1$として，{\bf 試行}$1$のみを行う．得点の期待値を求めよ．
(2)$n=4$とする．得点の期待値を求めよ．
(3)$n=30$とする．{\bf 試行}$1$を行い$X=6$になった．このとき，{\bf 試行}$1$の規則(★)を変更して，競技者は
\mon[(a)] 得点$7$を得て競技をただちに終了するか
\mon[(b)] 終了せずに{\bf 試行}$2$に進むか
どちらか一方を選択できるとする．どちらの選択をする方が得点の期待値が大きいか．
\begin{screen}
\mon[{\bf 試行}$1$] さいころを投げ，出た目の数を$X$とする．$X$の値に応じて次の手順に従う．
\mon[$\bullet$] $X=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の場合
$X$の値を得点として競技を終了する．
\mon[$\bullet$] $X=6$の場合
もし$n=1$ならば，$7$を得点として競技を終了する．
(★) \quad もし$n \geqq 2$ならば，{\bf 試行}$2$に進む．
\end{screen}
\begin{screen}
\mon[{\bf 試行}$2$] 競技者はさいころを投げる．
(★★) \quad 出た目の数を$X$とする．
$X$の値に応じて次の手順に従う．
\mon[$\bullet$] $X=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の場合
次のように定めた$P$を得点として競技を終了する．
\[ P=\left\{ \begin{array}{rl}
-1 & (X=1) \\
7 & (X=2,\ 3,\ 4) \\
13 & (X=5)
\end{array} \right. \]
\mon[$\bullet$] $X=6$の場合
もし競技開始から現時点までにさいころを投げた回数が$n$に等しいならば，$7$を得点として競技を終了する．
そうでないならば，続けてさいころを投げ，(★★)にもどる．
\end{screen}
以下の問いに答えよ．
(1)$n=1$として，{\bf 試行}$1$のみを行う．得点の期待値を求めよ．
(2)$n=4$とする．得点の期待値を求めよ．
(3)$n=30$とする．{\bf 試行}$1$を行い$X=6$になった．このとき，{\bf 試行}$1$の規則(★)を変更して，競技者は
\mon[(a)] 得点$7$を得て競技をただちに終了するか
\mon[(b)] 終了せずに{\bf 試行}$2$に進むか
どちらか一方を選択できるとする．どちらの選択をする方が得点の期待値が大きいか．
私立 早稲田大学 2011年 第3問$1$から$6$までの目が等しい確率で出るサイコロを$n$回投げたとき，第$i$回目（$i=1,\ 2,\ \cdots,\ n$）に出た目の数を$X_i$とおく．そして，$X_i$の$2$乗の和$S_n=X_1^2+\cdots+X_n^2$が$3$で割りきれる確率を$p_n$，$3$で割った余りが$1$である確率を$q_n$とする． \\
\quad 次の問に答えよ．
(1)$p_1$および$q_1$の値を求めよ．
(2)$p_2$および$q_2$の値を求めよ．
(3)$p_{n+1}$および$q_{n+1}$をそれぞれ$p_n$と$q_n$を用いて表せ．
(4)$a_n=p_n-q_n$とおく．$a_{n+2}$を$a_n$を用いて表せ．
(5)$a_n$を$n$を用いて表せ．
\quad 次の問に答えよ．
(1)$p_1$および$q_1$の値を求めよ．
(2)$p_2$および$q_2$の値を求めよ．
(3)$p_{n+1}$および$q_{n+1}$をそれぞれ$p_n$と$q_n$を用いて表せ．
(4)$a_n=p_n-q_n$とおく．$a_{n+2}$を$a_n$を用いて表せ．
(5)$a_n$を$n$を用いて表せ．
私立 金沢工業大学 2011年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$x=\sqrt{3}+\sqrt{2}$のとき，$\displaystyle x+\frac{1}{x}=[ア] \sqrt{[イ]}$，$\displaystyle x^3+\frac{1}{x^3}=[ウエ] \sqrt{[オ]}$である．
(2)$(2a+1)(2a-1)(a^2-a+4)$の展開式における$a^2$の項の係数は$[カキ]$である．
(3)整式$A=x^2-2xy+3y^2$，$B=2x^2+3y^2$，$C=x^2-2xy$について
\[ 2(A-B)-\{C-(3A-B)\}=[クケ]x^2-[コ]xy+[サ]y^2 \]
である．
(4)方程式$x^2+3kx+k^2+5k=0$が重解をもつような定数$k$の値は$[シ]$，$[ス]$である．ただし，$[シ]<[ス]$とする．また，$k=[ス]$のとき，この方程式の重解は$x=[セソ]$である．
(5)$2$次関数$y=2x^2-2mx-m^2+9$のグラフが$x$軸の正の部分と異なる$2$点で交わるような定数$m$の値の範囲は$\sqrt{[タ]}<m<[チ]$である．
(6)$\displaystyle \tan \theta=-\frac{\sqrt{5}}{2}$のとき，$\displaystyle \sin \theta=\frac{\sqrt{5}}{[ツ]}$，$\displaystyle \cos \theta=\frac{[テト]}{[ナ]}$である．ただし，$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$とする．
(7)数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$を使い$4$桁の整数を作る．このとき，$4$桁の整数は全部で$[アイ]$個あり，このうち$2$の倍数は$[ウエ]$個ある．ただし，同じ数字を重複して使わないこととする．
(8)大小$2$個のさいころを同時に投げ，大きいさいころの出た目を$X$，小さいさいころの出た目を$Y$とする．このとき，$X+Y=8$となる確率は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カキ]}$であり，$2X-Y=4$となる確率は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケコ]}$である．
(1)$x=\sqrt{3}+\sqrt{2}$のとき，$\displaystyle x+\frac{1}{x}=[ア] \sqrt{[イ]}$，$\displaystyle x^3+\frac{1}{x^3}=[ウエ] \sqrt{[オ]}$である．
(2)$(2a+1)(2a-1)(a^2-a+4)$の展開式における$a^2$の項の係数は$[カキ]$である．
(3)整式$A=x^2-2xy+3y^2$，$B=2x^2+3y^2$，$C=x^2-2xy$について
\[ 2(A-B)-\{C-(3A-B)\}=[クケ]x^2-[コ]xy+[サ]y^2 \]
である．
(4)方程式$x^2+3kx+k^2+5k=0$が重解をもつような定数$k$の値は$[シ]$，$[ス]$である．ただし，$[シ]<[ス]$とする．また，$k=[ス]$のとき，この方程式の重解は$x=[セソ]$である．
(5)$2$次関数$y=2x^2-2mx-m^2+9$のグラフが$x$軸の正の部分と異なる$2$点で交わるような定数$m$の値の範囲は$\sqrt{[タ]}<m<[チ]$である．
(6)$\displaystyle \tan \theta=-\frac{\sqrt{5}}{2}$のとき，$\displaystyle \sin \theta=\frac{\sqrt{5}}{[ツ]}$，$\displaystyle \cos \theta=\frac{[テト]}{[ナ]}$である．ただし，$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$とする．
(7)数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$を使い$4$桁の整数を作る．このとき，$4$桁の整数は全部で$[アイ]$個あり，このうち$2$の倍数は$[ウエ]$個ある．ただし，同じ数字を重複して使わないこととする．
(8)大小$2$個のさいころを同時に投げ，大きいさいころの出た目を$X$，小さいさいころの出た目を$Y$とする．このとき，$X+Y=8$となる確率は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カキ]}$であり，$2X-Y=4$となる確率は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケコ]}$である．
私立 倉敷芸術科学大学 2011年 第5問大，中，小の3つのサイコロを投げたときに出る目を，それぞれ$X,\ Y,\ Z$とする．このとき，次の設問に答えよ．
(1)$\displaystyle \frac{XY}{Z} = \frac{1}{2}$となる確率を求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{XY}{Z} = 2$となる確率を求めよ．
(1)$\displaystyle \frac{XY}{Z} = \frac{1}{2}$となる確率を求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{XY}{Z} = 2$となる確率を求めよ．
私立 倉敷芸術科学大学 2011年 第6問サイコロを$3$個投げるとき，次の確率を求めよ．
(1)$6$の目が$1$つ以上出る確率．
(2)$1,\ 6$のどちらかの目が$1$つ以上出る確率．
(3)$1,\ 6$のどちらの目も$1$つ以上出る確率．
(1)$6$の目が$1$つ以上出る確率．
(2)$1,\ 6$のどちらかの目が$1$つ以上出る確率．
(3)$1,\ 6$のどちらの目も$1$つ以上出る確率．
私立 立教大学 2011年 第1問下記の空欄イ～ホにあてはまる数を記入せよ．
(1)方程式$3\cos^3 \theta-5 \cos^2 \theta-4 \cos \theta+4=0$，および不等式$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$をみたす$\theta$に対して，$\cos \theta=[イ]$である．
(2)公差$\displaystyle \frac{1}{5}$，初項$-8$の等差数列$a_1,\ a_2,\ \cdots$を
\[ a_1 \;|\; a_2,\ a_3 \;|\; a_4,\ a_5,\ a_6 \;|\; a_7,\ a_8,\ a_9,\ a_{10} \;|\; \cdots \]
とグループ分けする．第$101$番目のグループに属する数の和は$[ロ]$である．
(3)空間に$3$点$\mathrm{A}(2,\ 2,\ 2)$，$\mathrm{B}(1,\ 2,\ 1)$，$\mathrm{C}(2,\ y,\ 1)$が与えられている．三角形$\mathrm{ABC}$が直角三角形になるのは$y=[ハ]$のときである．
(4)極限$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin (1-\cos x)}{x^2}$の値は$[ニ]$である．
(5)$1$個のさいころを$4$回続けて投げるとき，$3$回以上連続して同じ目が出る確率は$[ホ]$である．
(1)方程式$3\cos^3 \theta-5 \cos^2 \theta-4 \cos \theta+4=0$，および不等式$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$をみたす$\theta$に対して，$\cos \theta=[イ]$である．
(2)公差$\displaystyle \frac{1}{5}$，初項$-8$の等差数列$a_1,\ a_2,\ \cdots$を
\[ a_1 \;|\; a_2,\ a_3 \;|\; a_4,\ a_5,\ a_6 \;|\; a_7,\ a_8,\ a_9,\ a_{10} \;|\; \cdots \]
とグループ分けする．第$101$番目のグループに属する数の和は$[ロ]$である．
(3)空間に$3$点$\mathrm{A}(2,\ 2,\ 2)$，$\mathrm{B}(1,\ 2,\ 1)$，$\mathrm{C}(2,\ y,\ 1)$が与えられている．三角形$\mathrm{ABC}$が直角三角形になるのは$y=[ハ]$のときである．
(4)極限$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin (1-\cos x)}{x^2}$の値は$[ニ]$である．
(5)$1$個のさいころを$4$回続けて投げるとき，$3$回以上連続して同じ目が出る確率は$[ホ]$である．