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国立 奈良女子大学 2011年 第2問さいころを$n$回投げたとき1の目が出る回数が奇数である確率を$p_n$とおく．以下の問いに答えよ．
(1)$p_1,\ p_2,\ p_3$を求めよ．
(2)$\displaystyle p_{n+1}=\frac{2}{3}p_n+\frac{1}{6}$が成り立つことを示せ．
(3)$p_n$を求めよ．
(1)$p_1,\ p_2,\ p_3$を求めよ．
(2)$\displaystyle p_{n+1}=\frac{2}{3}p_n+\frac{1}{6}$が成り立つことを示せ．
(3)$p_n$を求めよ．
国立 富山大学 2011年 第3問実数を成分とする行列$A=\biggl( \begin{array}{rr}
a & -b \\
b & c
\end{array} \biggr)$は$A^2-A+E=O$をみたすとする．ただし，$E$は2次の単位行列，$O$は2次の零行列を表し，$b>0$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$b$と$c$を，それぞれ$a$を用いて表せ．
(2)2つのベクトル$A \biggl( \begin{array}{c}
1 \\
1
\end{array} \biggr)$と$A \biggl( \begin{array}{c}
1 \\
-1
\end{array} \biggr)$が垂直であるとき，行列$A$を求めよ．
(3)$A$を(2)で求めた行列とする．1個のさいころを2回投げて，出た目を順に$\ell,\ m$とする．このときベクトル$P_0,\ P_1,\ P_2,\ P_3$を次のように定める．
\begin{itemize}
$P_0=\biggl( \begin{array}{c}
0 \\
0
\end{array} \biggr), P_1=\biggl( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \biggr)$
$P_2=P_1+A^{\ell}(P_1-P_0)$
$P_3=P_2+A^m(P_2-P_1)$
\end{itemize}
このとき，$P_3=\biggl( \begin{array}{c}
0 \\
0
\end{array} \biggr)$となる確率を求めよ．
a & -b \\
b & c
\end{array} \biggr)$は$A^2-A+E=O$をみたすとする．ただし，$E$は2次の単位行列，$O$は2次の零行列を表し，$b>0$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$b$と$c$を，それぞれ$a$を用いて表せ．
(2)2つのベクトル$A \biggl( \begin{array}{c}
1 \\
1
\end{array} \biggr)$と$A \biggl( \begin{array}{c}
1 \\
-1
\end{array} \biggr)$が垂直であるとき，行列$A$を求めよ．
(3)$A$を(2)で求めた行列とする．1個のさいころを2回投げて，出た目を順に$\ell,\ m$とする．このときベクトル$P_0,\ P_1,\ P_2,\ P_3$を次のように定める．
\begin{itemize}
$P_0=\biggl( \begin{array}{c}
0 \\
0
\end{array} \biggr), P_1=\biggl( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \biggr)$
$P_2=P_1+A^{\ell}(P_1-P_0)$
$P_3=P_2+A^m(P_2-P_1)$
\end{itemize}
このとき，$P_3=\biggl( \begin{array}{c}
0 \\
0
\end{array} \biggr)$となる確率を求めよ．
国立 富山大学 2011年 第3問実数を成分とする行列$A=\left( \begin{array}{rr}
a & -b \\
b & c
\end{array} \right)$は$A^2-A+E=O$をみたすとする．ただし，$E$は2次の単位行列，$O$は2次の零行列を表し，$b>0$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$b$と$c$を，それぞれ$a$を用いて表せ．
(2)2つのベクトル$A \left( \begin{array}{c}
1 \\
1
\end{array} \right)$と$A \left( \begin{array}{c}
1 \\
-1
\end{array} \right)$が垂直であるとき，行列$A$を求めよ．
(3)$A$を(2)で求めた行列とする．1個のさいころを$k+1$回投げて，出た目を順に$m_1,\ m_2,\ \cdots,\ m_{k+1}$とする．このときベクトル$P_0,\ P_1,\ P_2,\ \cdots,\ P_{k+2}$を次のように定める．
\begin{itemize}
$P_0=\left( \begin{array}{c}
0 \\
0
\end{array} \right), P_1=\left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right)$
$P_{n+1}=P_n+A^{m_n}(P_n-P_{n-1}) \quad (n=1,\ 2,\ \cdots,\ k+1)$
\end{itemize}
さらに，ベクトル$P_1,\ \cdots,\ P_{k+1}$がすべて異なり$P_{k+2}=\left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right)$となる確率を$q_k$とする．このとき，$q_1,\ q_2,\ q_3$を，それぞれ求めよ．
a & -b \\
b & c
\end{array} \right)$は$A^2-A+E=O$をみたすとする．ただし，$E$は2次の単位行列，$O$は2次の零行列を表し，$b>0$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$b$と$c$を，それぞれ$a$を用いて表せ．
(2)2つのベクトル$A \left( \begin{array}{c}
1 \\
1
\end{array} \right)$と$A \left( \begin{array}{c}
1 \\
-1
\end{array} \right)$が垂直であるとき，行列$A$を求めよ．
(3)$A$を(2)で求めた行列とする．1個のさいころを$k+1$回投げて，出た目を順に$m_1,\ m_2,\ \cdots,\ m_{k+1}$とする．このときベクトル$P_0,\ P_1,\ P_2,\ \cdots,\ P_{k+2}$を次のように定める．
\begin{itemize}
$P_0=\left( \begin{array}{c}
0 \\
0
\end{array} \right), P_1=\left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right)$
$P_{n+1}=P_n+A^{m_n}(P_n-P_{n-1}) \quad (n=1,\ 2,\ \cdots,\ k+1)$
\end{itemize}
さらに，ベクトル$P_1,\ \cdots,\ P_{k+1}$がすべて異なり$P_{k+2}=\left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right)$となる確率を$q_k$とする．このとき，$q_1,\ q_2,\ q_3$を，それぞれ求めよ．
国立 名古屋工業大学 2011年 第2問大中小3枚のコインがある．サイコロを投げて次の規則でコインの表裏を反転させる試行を繰り返す．
\mon[(i)] 1または2の目が出たら，大コインを反転
\mon[(ii)] 3または4の目が出たら，中コインを反転
\mon[(iii)] 5または6の目が出たら，小コインを反転
3枚とも表になっている状態から始めるとき，次の問いに答えよ．
(1)サイコロを5回投げたとき，3枚とも裏である確率を求めよ．
(2)サイコロを5回投げたとき，初めて3枚とも裏になる確率を求めよ．
(3)コインが3枚とも裏になったところでサイコロ投げを終了することにする．最初の状態を除きコインが3枚とも表になることが一度もなく終了する確率を求めよ．
\mon[(i)] 1または2の目が出たら，大コインを反転
\mon[(ii)] 3または4の目が出たら，中コインを反転
\mon[(iii)] 5または6の目が出たら，小コインを反転
3枚とも表になっている状態から始めるとき，次の問いに答えよ．
(1)サイコロを5回投げたとき，3枚とも裏である確率を求めよ．
(2)サイコロを5回投げたとき，初めて3枚とも裏になる確率を求めよ．
(3)コインが3枚とも裏になったところでサイコロ投げを終了することにする．最初の状態を除きコインが3枚とも表になることが一度もなく終了する確率を求めよ．
国立 九州工業大学 2011年 第4問図のような番号のついたマス目と駒とサイコロを使って，以下に示す規則にしたがうゲームを考える．
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline
\end{tabular}
\begin{itemize}
駒は最初0番のマス目に置く．
サイコロを投げ，出た目の数だけ駒を10番のマス目に向かって進める．
駒がちょうど10番のマス目に止まればゴールとする．
ただし，10番のマス目を超える場合は，その分だけ10番のマス目から0番のマス目側に戻る．
\end{itemize}
たとえば，7番のマス目に駒があり，出た目が5であった場合は，駒は8番のマス目に移動し，その次に出た目が2であった場合はゴールする．以下の問いに答えよ．
(1)2投目でゴールする確率を求めよ．
(2)2投目の後，9番のマス目に駒がある確率を求めよ．
(3)3投目でゴールする確率を求めよ．
(4)このゲームを使ってA，Bの2名が対戦する．Aから始めて，交互にサイコロを投げて各自の駒を進める試行を行ない，先にゴールした方を勝ちとする．ただし，どちらも2投以内でゴールしない場合は引き分けとする．引き分ける確率を求めよ．
(5)A，Bの駒をそれぞれ0番，$k$番$(0<k<10)$のマス目に置いて(4)と同様の対戦を開始するとき，Aが勝つ確率よりBが勝つ確率の方が高くなるための$k$の条件を求めよ．
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline
\end{tabular}
\begin{itemize}
駒は最初0番のマス目に置く．
サイコロを投げ，出た目の数だけ駒を10番のマス目に向かって進める．
駒がちょうど10番のマス目に止まればゴールとする．
ただし，10番のマス目を超える場合は，その分だけ10番のマス目から0番のマス目側に戻る．
\end{itemize}
たとえば，7番のマス目に駒があり，出た目が5であった場合は，駒は8番のマス目に移動し，その次に出た目が2であった場合はゴールする．以下の問いに答えよ．
(1)2投目でゴールする確率を求めよ．
(2)2投目の後，9番のマス目に駒がある確率を求めよ．
(3)3投目でゴールする確率を求めよ．
(4)このゲームを使ってA，Bの2名が対戦する．Aから始めて，交互にサイコロを投げて各自の駒を進める試行を行ない，先にゴールした方を勝ちとする．ただし，どちらも2投以内でゴールしない場合は引き分けとする．引き分ける確率を求めよ．
(5)A，Bの駒をそれぞれ0番，$k$番$(0<k<10)$のマス目に置いて(4)と同様の対戦を開始するとき，Aが勝つ確率よりBが勝つ確率の方が高くなるための$k$の条件を求めよ．
国立 宇都宮大学 2011年 第1問座標平面の$x$軸上を動く点$\mathrm{P}$と$y$軸上を動く点$\mathrm{Q}$に対して次の操作を行う．\\
「大小$2$つのさいころを同時に投げて，
\begin{itemize}
点$\mathrm{P}$を大きいさいころの目が奇数ならば$+1$，偶数ならば$+2$動かす
点$\mathrm{Q}$を小さいさいころの目が奇数ならば$+1$，偶数ならば$+2$動かす」
\end{itemize}
点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$は原点を出発点とするとき，座標平面上にできる三角形$\mathrm{OPQ}$について，次の問いに答えよ．
(1)この操作を$2$回続けたとき，$\triangle \mathrm{OPQ}$が二等辺三角形となる確率を求めよ．
(2)この操作を$2$回続けたときの$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積の期待値を求めよ．
(3)この操作を$3$回続けたとき，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積が整数になる確率を求めよ．
「大小$2$つのさいころを同時に投げて，
\begin{itemize}
点$\mathrm{P}$を大きいさいころの目が奇数ならば$+1$，偶数ならば$+2$動かす
点$\mathrm{Q}$を小さいさいころの目が奇数ならば$+1$，偶数ならば$+2$動かす」
\end{itemize}
点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$は原点を出発点とするとき，座標平面上にできる三角形$\mathrm{OPQ}$について，次の問いに答えよ．
(1)この操作を$2$回続けたとき，$\triangle \mathrm{OPQ}$が二等辺三角形となる確率を求めよ．
(2)この操作を$2$回続けたときの$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積の期待値を求めよ．
(3)この操作を$3$回続けたとき，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積が整数になる確率を求めよ．
国立 茨城大学 2011年 第3問1個のさいころを続けて4回投げて，出た目の数を順に$a,\ b,\ c,\ d$とする．このとき，座標平面上の点P$_1$，P$_2$，P$_3$，P$_4$を手順1から手順4で定める．
手順1．原点Oから$x$軸の正の向きに$a$だけ移動した点をP$_1$とする．
手順2．点P$_1$から$y$軸の正の向きに$b$だけ移動した点をP$_2$とする．
手順3．点P$_2$から$x$軸の負の向きに$c$だけ移動した点をP$_3$とする．
手順4．点P$_3$から$y$軸の負の向きに$d$だけ移動した点をP$_4$とする．
以下の各問に答えよ．
(1)点P$_4$の座標を$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表せ．
(2)点P$_4$の座標が$(1,\ 2)$である確率を求めよ．
(3)2つの線分OP$_1$とP$_3$P$_4$が共有点をもつ確率を求めよ．
手順1．原点Oから$x$軸の正の向きに$a$だけ移動した点をP$_1$とする．
手順2．点P$_1$から$y$軸の正の向きに$b$だけ移動した点をP$_2$とする．
手順3．点P$_2$から$x$軸の負の向きに$c$だけ移動した点をP$_3$とする．
手順4．点P$_3$から$y$軸の負の向きに$d$だけ移動した点をP$_4$とする．
以下の各問に答えよ．
(1)点P$_4$の座標を$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表せ．
(2)点P$_4$の座標が$(1,\ 2)$である確率を求めよ．
(3)2つの線分OP$_1$とP$_3$P$_4$が共有点をもつ確率を求めよ．
国立 福井大学 2011年 第1問1から6の目の出る確率がそれぞれ下の表のようになっているさいころがあるとする．このさいころの出る目の期待値が$\displaystyle \frac{15}{4}$であるとき，以下の問いに答えよ．
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
さいころの目 & \hspace{-3.5mm} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline
確率 & \hspace{-3.5mm} & $x$ & $y$ & $x$ & $x$ & $x$ & $y$ \\ \hline
\end{tabular}
(1)$x,\ y$の値を求めよ．
(2)このさいころを5回投げるとき，3回以上6の目が出る確率を求めよ．
(3)このさいころを2回投げるとき，出る目の最小値の期待値を求めよ．
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
さいころの目 & \hspace{-3.5mm} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline
確率 & \hspace{-3.5mm} & $x$ & $y$ & $x$ & $x$ & $x$ & $y$ \\ \hline
\end{tabular}
(1)$x,\ y$の値を求めよ．
(2)このさいころを5回投げるとき，3回以上6の目が出る確率を求めよ．
(3)このさいころを2回投げるとき，出る目の最小値の期待値を求めよ．
国立 熊本大学 2011年 第1問$1$個のさいころを$2$回続けて投げるとき，$1$回目に出る目の数を$a$，$2$回目に出る目の数を$b$とする．これらの$a,\ b$に対して，実数を要素とする集合$P,\ Q$を次のように定める．
\begin{align}
& P=\{x \;|\; x^2+ax+b>0 \} \nonumber \\
& Q=\{x \;|\; 5x+a \geqq 0 \} \nonumber
\end{align}
このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$P$が実数全体の集合となる確率を求めよ．
(2)$Q \subset P$となる確率を求めよ．
\begin{align}
& P=\{x \;|\; x^2+ax+b>0 \} \nonumber \\
& Q=\{x \;|\; 5x+a \geqq 0 \} \nonumber
\end{align}
このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$P$が実数全体の集合となる確率を求めよ．
(2)$Q \subset P$となる確率を求めよ．
国立 山形大学 2011年 第4問次の問に答えよ．
(1)自然数$p,\ q$を自然数$m$で割ったときの余りをそれぞれ$r,\ s$とする．このとき，$pq-rs$は$m$の倍数であることを示せ．
(2)$n$が自然数のとき，$3^n$を4で割ったときの余りを求めよ．
(3)$n$を自然数とし，$r$を実数とするとき，二項展開を利用して
\[ \sum_{k=1}^n {}_{2n} \text{C}_{2k-1} \cdot r^{2k-1} \]
を求めよ．
(4)サイコロを$2n$回振り，出た目をすべて掛け合わせた数を$X_n$とする．使用するサイコロの目は1，2，3，4，5，6であり，どの目の出る確率も$\displaystyle \frac{1}{6}$である．このとき，$X_n$を4で割ったときの余りが3である確率$P_n$を求めよ．
(1)自然数$p,\ q$を自然数$m$で割ったときの余りをそれぞれ$r,\ s$とする．このとき，$pq-rs$は$m$の倍数であることを示せ．
(2)$n$が自然数のとき，$3^n$を4で割ったときの余りを求めよ．
(3)$n$を自然数とし，$r$を実数とするとき，二項展開を利用して
\[ \sum_{k=1}^n {}_{2n} \text{C}_{2k-1} \cdot r^{2k-1} \]
を求めよ．
(4)サイコロを$2n$回振り，出た目をすべて掛け合わせた数を$X_n$とする．使用するサイコロの目は1，2，3，4，5，6であり，どの目の出る確率も$\displaystyle \frac{1}{6}$である．このとき，$X_n$を4で割ったときの余りが3である確率$P_n$を求めよ．