数直線上の点$\mathrm{P}$を，サイコロを投げ，偶数の目が出たら正の方向に出た目の数だけ動かし，奇数の目が出たら負の方向に出た目の数だけ動かす．$\mathrm{P}$を最初原点$0$に置き，サイコロを$2$回投げたとき，$\mathrm{P}$の位置する場所について，次の問いに答えよ．ただし，サイコロは$1$から$6$までのどの目も同じ確率で出るものとする．

(1)$\mathrm{P}$が位置する可能性がある点（存在する確率が正の点）をすべて書け．
(2)$\mathrm{P}$が位置する可能性が最も高い点を求めよ．
(3)$\mathrm{P}$の座標の期待値を求めよ．

数直線上の点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$は，さいころ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を同時に投げた結果によって移動する．点$\mathrm{P}$は，さいころ$\mathrm{A}$の出る目が偶数ならば$+3$だけ移動し，奇数ならば$-1$だけ移動する．点$\mathrm{Q}$は，さいころ$\mathrm{B}$の出る目が$2$以下ならば$+3$だけ移動し，$3$以上ならば$+1$だけ移動する．点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$は最初に原点にあるものとし，このような操作をくり返すとき，次の問いに答えよ．

(1)$8$回目の操作で，点$\mathrm{P}$が原点に戻る確率$p_1$を求めよ．
(2)$6$回目の操作で，点$\mathrm{Q}$の座標が$14$以上である確率$p_2$を求めよ．
(3)$4$回目の操作で，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の座標が同じである確率$p_3$を求めよ．

AとBの2人が，1個のサイコロを次の手順により投げ合う．\\
\quad 1回目はAが投げる．\\
\quad $1,\ 2,\ 3$の目が出たら，次の回には同じ人が投げる．\\
\quad $4,\ 5$の目が出たら，次の回には別の人が投げる．\\
\quad 6の目が出たら，投げた人を勝ちとしそれ以降は投げない．

(1)$n$回目にAがサイコロを投げる確率$a_n$を求めよ．
(2)ちょうど$n$回目のサイコロ投げでAが勝つ確率$p_n$を求めよ．
(3)$n$回以内のサイコロ投げでAが勝つ確率$q_n$を求めよ．

空間内に点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$と点$\mathrm{A}(2,\ 2,\ 2)$がある．点$\mathrm{P}$は$\mathrm{O}$から出発し，一回につき$x$軸，$y$軸，$z$軸いずれか一つの方向に長さ$1$だけ移動する．

(1)$\mathrm{P}$が$\mathrm{O}$から$\mathrm{A}$へ移動する最短経路は何通りあるか求めよ．
(2)さいころを投げて$1,\ 2,\ 3$の目が出たら$\mathrm{P}$は$x$軸正の方向に移動し，$4,\ 5$の目が出たら$y$軸正の方向に移動し，$6$の目が出たら$z$軸正の方向に移動するものとする．さいころを$6$回投げて$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$に到達する確率を求めよ．
(3)$(2)$と同じルールで，さいころを$6$回投げて$\mathrm{P}$が点$\mathrm{B}(1,\ 1,\ 1)$を通って$\mathrm{A}$に到達する確率を求めよ．

$1$個のさいころを$3$回投げる．$1$回目に出る目を$a_1$，$2$回目に出る目を$a_2$，$3$回目に出る目を$a_3$とし，整数$n$を
\[ n=(a_1-a_2)(a_2-a_3)(a_3-a_1) \]
と定める．

(1)$n=0$である確率を求めよ．
(2)$|n|=30$である確率を求めよ．

大小$2$個のさいころを投げて，出る目をそれぞれ$a,\ b$とする．この$a,\ b$に対し，$f(x)=x^2-ax+b,\ g(x)=x^3-(a+b)x^2+(a+1)bx-b^2$とおく．次の問いに答えよ．

(1)方程式$f(x)=0$が，実数解をもつ確率を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が，整数の解を少なくとも$1$つもつ確率を求めよ．
(3)方程式$g(x)=0$が，異なる整数の解をちょうど$2$個もつ確率を求めよ．

大小$2$個のさいころを投げて，出る目をそれぞれ$a,\ b$とする．この$a,\ b$に対し，$f(x)=x^2-ax+b$とおく．次の問いに答えよ．

(1)方程式$f(x)=0$が，実数解をもつ確率を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が，整数の解を少なくとも$1$つもつ確率を求めよ．

先生と3人の生徒A，B，Cがおり，玉の入った箱がある．箱の中には最初，赤玉3個，白玉7個，全部で10個の玉が入っている．先生がサイコロをふって，1の目が出たらAが，2または3の目が出たらBが，その他の目が出たらCが箱の中から1つだけ玉を取り出す操作を行う．取り出した玉は箱の中に戻さず，取り出した生徒のものとする．この操作を2回続けて行うものとして以下の問いに答えよ．\\
\quad ただし，サイコロの1から6の目の出る確率は等しいものとし，また，箱の中のそれぞれの玉の取り出される確率は等しいものとする．

(1)Aが2個の赤玉を手に入れる確率を求めよ．
(2)Bが少なくとも1個の赤玉を手に入れる確率を求めよ．

先生と3人の生徒A，B，Cがおり，玉の入った箱がある．箱の中には最初，赤玉3個，白玉7個，全部で10個の玉が入っている．先生がサイコロをふって，1の目が出たらAが，2または3の目が出たらBが，その他の目が出たらCが箱の中
から1つだけ玉を取り出す操作を行う．取り出した玉は箱の中に戻さず，取り出した生徒のものとする．この操作を続けて行うものとして以下の問いに答えよ．ただし，サイコロの1から6の目の出る確率は等しいものとし，また，箱の中のそれぞれの玉の取り出される確率は等しいものとする．

(1)2回目の操作が終わったとき，Aが2個の赤玉を手に入れている確率を求めよ．
(2)2回目の操作が終わったとき，Bが少なくとも1個の赤玉を手に入れている確率を求めよ．
(3)3回目の操作で，Cが赤玉を取り出す確率を求めよ．

さいころを$n$回投げる．$k$回目($k=1,\ 2,\ \cdots,\ n$)に投げた結果，

1または2の目が出たとき$X_k=2$，
3または4の目が出たとき$X_k=3$，
5または6の目が出たとき$X_k=5$

とする．これらの積を$Y=X_1X_2\cdots X_n$とおく．次の問いに答えよ．

(1)$n=5$のとき，$Y$が偶数になる確率$p_1$を求めよ．
(2)$n=5$のとき，$Y$が100の倍数になる確率$p_2$を求めよ．
(3)$n=2$のとき，$Y$の期待値$E$を求めよ．