次の$[　]$を適当に補え．

(1)$|x+1|-3 |x-1|=4x+1$をみたす$x$は$x=[ア]$である．
(2)$3$つのさいころを同時に投げるとき，$2$つは同じで他の$1$つは異なる目が出る確率は$[イ]$であり，$3$つとも異なる目が出る確率は$[ウ]$である．
(3)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1} \right)$とする．$S_n$を$n$の式で表すと$S_n=[エ]$であり，$\displaystyle S_n>\frac{2011}{2012}$となるような最小の自然数$n$の値は$n=[オ]$である．
(4)$xy$平面において，点$(0,\ 1)$を$\mathrm{A}$とする．点$\mathrm{P}$が直線$y=2x-1$上を動くとき，線分$\mathrm{AP}$を$1:2$に内分する点は直線$y=[カ]$上を動く．
(5)$\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{1}{2}$のとき，$\sin 2\theta=[キ]$，$\sin \theta=[ク]$である．
(6)$f(x)=\sqrt{x}$のとき，$f^\prime(x)=[ケ]$である．また，$\displaystyle \int_{\left( \frac{\pi}{2} \right)^2}^{\pi^2} \frac{\cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \, dx=[コ]$である．

さいころを投げて，$1$か$5$の目が出たとき，点$\mathrm{P}$は原点から数直線上の正の方向に$2$進み，他の目が出たとき負の方向に$1$進むとする．

(1)さいころを続けて$3$回投げたとき，点$\mathrm{P}$が正の方向$3$の位置にある確率を求めなさい．
(2)さいころを続けて$3$回投げたとき，点$\mathrm{P}$がどの位置にある確率が最も高いか，その位置と確率を求めなさい．

1個のサイコロを3回投げて，1回目に出た目を$a$，2回目に出た目を$b$，3回目に出た目を$c$とする．次の問いに答えよ．

(1)$a>2b>c$となる確率を求めよ．
(2)$a,\ 2b,\ c$を辺の長さとする三角形を作ることができる$a,\ b,\ c$の条件を求めよ．
(3)$a,\ 2b,\ c$を辺の長さとする直角三角形を作ることができる$a,\ b,\ c$の組$(a,\ b,\ c)$のとり方は何通りあるか．
(4)$b=2$のとき，$a,\ 2b,\ c$を辺の長さとする三角形を作ることができる$a,\ c$の組$(a,\ c)$のとり方は何通りあるか．
(5)$a,\ 2b,\ c$を辺の長さとする三角形を作ることができる確率を求めよ．

次の[\phantom{ア]}に適する数または式を記入せよ．

(1)点Oを原点とする座標平面内に，2点A$(5,\ 10)$，B$(-2,\ 4)$がある．$\angle \text{AOB} = \theta$とするとき，$\cos \theta = [ア]$であり，$\sin \theta = [イ]$である．また，$\triangle \text{AOB}$の面積は[ウ]であり，内接円の半径$r$は[エ]である．また，外接円の半径$R$は[オ]であり，外心の座標は[カ]である．さらに，重心の座標は[キ]である．
(2)サイコロを3回投げ，出た目の数字を順に$a,\ b,\ c$とする．このとき，2次方程式$ax^2+bx+c=0$が異なる2つの実数解を持つ確率は[ク]である．また，$\log_{(a+b)}c$が整数となる確率は[ケ]であり，ベクトル$(a,\ b)$とベクトル$(c,\ -1)$が直交する確率は[コ]である．

$1$個のさいころを$5$回振る試行を行うとき，以下の問いに答えなさい．

(1)$3$の倍数の目がそれ以外の目より$1$回だけ多く出る確率を求めなさい．
(2)$3$の倍数の目がそれ以外の目より$2$回以上多く出る確率を求めなさい．
(3)$3$の倍数の目が出る回数を$x$とし，それ以外の目が出る回数を$y$とする．$x^2+y^2$が最小値をとる確率を求めなさい．

サイコロを$n$回ふって，数列$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$を次のように定める．ただし，$n \geqq 3$とする．

(i) $1$回目に$1$の目が出たときは$a_1=0$，それ以外の目が出たときは，$a_1=1$とする．
(ii) $k$回目に$1$の目が出たときは，$a_k=0$とする．
(iii) $k$回目に$6$の目が出たときは，$a_k=a_{k-1}+k$とする．
\mon[$\tokeishi$] $k$回目に$1$と$6$以外の目が出たときは，$a_k=a_{k-1}+1$とする．

自然数$k (1 \leqq k \leqq n)$に対して，$a_k=k$となる確率を$p_k$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$p_1,\ p_2,\ p_3$を求めよ．
(2)$p_k (2 \leqq k \leqq n)$を$p_{k-1}$を用いて表せ．
(3)$p_k (1 \leqq k \leqq n)$を$k$の式で表せ．

サイコロを$n$回ふって，数列$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$を次のように定める．ただし，$n \geqq 3$とする．

(i) $1$回目に$1$の目が出たときは$a_1=0$，それ以外の目が出たときは，$a_1=1$とする．
(ii) $k$回目に$1$の目が出たときは，$a_k=0$とする．
(iii) $k$回目に$6$の目が出たときは，$a_k=a_{k-1}+k$とする．
\mon[$\tokeishi$] $k$回目に$1$と$6$以外の目が出たときは，$a_k=a_{k-1}+1$とする．

自然数$k (1 \leqq k \leqq n)$に対して，$a_k=k$となる確率を$p_k$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$p_1,\ p_2,\ p_3$を求めよ．
(2)$p_k (2 \leqq k \leqq n)$を$p_{k-1}$を用いて表せ．
(3)$p_k (1 \leqq k \leqq n)$を$k$の式で表せ．

次の問いに答えよ．

(1)原点$\mathrm{O}$を中心とし，${150}^\circ$だけ回転すると，点$\mathrm{P}(x,\ y)$が点$(7,\ \sqrt{3})$に移った．$x$と$y$の値を求めよ．
(2)$x \geqq 0$と自然数$n$に対して，$2$つの曲線$y=\sqrt{x}$と$y=x^n \sqrt{x}$で囲まれる図形の面積を$S_1$とする．一方，曲線$y=\sqrt{x}$と直線$y=x$で囲まれる図形の面積を$S_2$とする．$7S_1=24S_2$をみたす$n$の値を求めよ．
(3)さいころを$3$回続けて投げたとき，第$3$回目に出た目の数が第$1$回目と第$2$回目に出た目の数のいずれよりも大きくなる確率$P$を求めよ．また，第$3$回目に出た目の数が第$1$回目と第$2$回目に出た目の数の積となる確率$Q$を求めよ．
(4)$\cos \theta=\sin^2 \theta$のとき，$\alpha=(1+\cos \theta)\cos \theta$と$\beta=\sin^8 \theta+2 \sin^6 \theta+3 \sin^4 \theta+2 \sin^2 \theta$の値を求めよ．

サイコロを$1$の目が出るまで投げる．ただし，$5$回投げて$1$の目が出なければそこで止める．それまでに出たサイコロの目の和を得点とする．例えば，$2,\ 3,\ 1$の順で目が出れば$2+3+1=6$点，$2,\ 4,\ 3,\ 2,\ 6$ならば$2+4+3+2+6=17$点となる．このとき次の問いに答えよ．

(1)$4$以下の自然数$k$に対して，$k$回目に$1$の目が出て終了する確率を求めよ．
(2)得点が$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$点である確率$P(1)$，$P(2)$，$P(3)$，$P(4)$，$P(5)$をそれぞれ求めよ．
(3)得点が$27$点である確率$P(27)$を求めよ．

サイコロを$1$の目が出るまで投げる．ただし，$5$回投げて$1$の目が出なければそこで止める．それまでに出たサイコロの目の和を得点とする．例えば，$2,\ 3,\ 1$の順で目が出れば$2+3+1=6$点，$2,\ 4,\ 3,\ 2,\ 6$ならば$2+4+3+2+6=17$点となる．このとき次の問いに答えよ．

(1)$4$以下の自然数$k$に対して，$k$回目に$1$の目が出て終了する確率を求めよ．
(2)得点が$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$点である確率$P(1)$，$P(2)$，$P(3)$，$P(4)$，$P(5)$をそれぞれ求めよ．
(3)得点が$27$点である確率$P(27)$を求めよ．