大小$2$つのサイコロを同時に投げる試行について考える．出た目の積が偶数になる場合が$m$通り，出た目の積が$4$の倍数になる場合が$n$通りであるとする．$\displaystyle \frac{m-n}{6}$の値を求めよ．

次の$[　]$にあてはまる最も適当な数または式を記入しなさい．

(1)多項式$P(x)$を$x^3+1$で割ったときの余りが$2x^2+13x$であった．このとき，$P(x)$を$x+1$で割ったときの余りは$[カ]$である．また，$P(x)$を$x^2-x+1$で割ったときの余りは$[キ]$である．
(2)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が，
\[ S_n=n^3+2012 \]
で与えられるとする．この数列$\{a_n\}$の初項$a_1$は$a_1=[ク]$である．また，$2$以上の自然数$n$に対して，$a_n$を$n$を用いて表すと$a_n=[ケ]$となる．
(3)$a>1$とし，三角形$\mathrm{ABC}$で$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{BC}=a$，$\angle \mathrm{A}=30^\circ$であるようなものについて考える．このとき$k=[コ]$として，$1<a<k$の場合はこのような三角形は$2$つ存在するが，$a \geqq k$の場合はこのような三角形は$1$つしか存在しない．また$a \geqq k$の場合，$\mathrm{AC}$の長さを$a$を用いて表すと$\mathrm{AC}=[サ]$となる．
(4)$3$個のさいころを同時に投げるとき，出る目の数の積が$3$の倍数になる確率は$[シ]$であり，出る目の数の積が$15$の倍数になる確率は$[ス]$である．
(5)実数$x,\ y$が$2$つの不等式
\[ x^2+y^2 \leqq 25,\quad x-2y \geqq 5 \]
を同時に満たすとき，$y-2x$の最大値は$[セ]$であり，最小値は$[ソ]$である．

大中小$3$つのサイコロを振って，出た目をそれぞれ$a,\ b,\ c$とする．$2$次方程式
\[ ax^2+bx+c=0 \]
が実数解をもつ確率を求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)次の式を展開せよ．
\[ (x+1)(x-1)(2x+3)(3x-1) \]
(2)$m$は自然数である．$x$についての$2$次方程式
\[ x^2-2mx+6m-8=0 \]
が，実数解を持たないとき，$m$の値を求めよ．
(3)$0^\circ \leqq \theta \leqq 360^\circ$において，次の関数の最大値と最小値を求めよ．
\[ y=2 \sin^2 \theta+\cos \theta-2 \]
(4)次の定積分の値を求めよ．
\[ \int_1^2 (3x^2+4x+2) \, dx \]
(5)大小$2$つのさいころを投げ，出た目の数をそれぞれ$a,\ b$とするとき，$|a-b| \geqq 3$となる確率を求めよ．
(6)半径$r$の球の体積$\displaystyle V=\frac{4 \pi r^3}{3}$を，$r$で微分して，導関数$V^\prime$を求めよ．これは，半径$r$の球の何を表しているか．

以下の設問に答えよ．

(1)ゲーム$\mathrm{A}$を
\begin{itemize}
$5$枚の硬貨を同時に投げる．
表が出た硬貨が$3$枚以上ある場合は得点$1$，
それ以外の場合は得点$0$
\end{itemize}
とする．このゲーム$\mathrm{A}$を$3$回行うとき，合計得点が$2$以上になる確率を求めよ．
(2)ゲーム$\mathrm{B}$を
\begin{itemize}
$3$つのサイコロを同時に振る．
同じ目のサイコロが$2$つ以上ある場合は得点$1$，
それ以外の場合は得点$0$
\end{itemize}
とする．このゲーム$\mathrm{B}$を$3$回行うとき，合計得点が$2$以上になる確率を求めよ．

数直線上に動点$\mathrm{P}$がある．$1$個のさいころを投げるという試行により$\mathrm{P}$を次の規則にしたがって，数直線上を移動させる．

$(\mathrm{A})$ 出た目の数が偶数であったら負の方向に$1$だけ移動させる．
$(\mathrm{B})$ 出た目の数が$1$であったら$0$だけ移動させる（その点にとどまる）．
$(\mathrm{C})$ $(\mathrm{A})$，$(\mathrm{B})$以外であったら正の方向に$2$だけ移動させる．

最初動点$\mathrm{P}$は原点$\mathrm{O}$にあるものとする．

(1)試行を$4$回くり返したとき，規則$(\mathrm{A})$が$a$回，規則$(\mathrm{B})$が$b$回適用されたとすると，$a+b$のとりうる値の範囲は$[ア]$以上$[イ]$以下の整数全体であり，これを満たす$a,\ b$の組合わせは全部で$[ウ][エ]$通りである．
$a=1,\ b=1$となる確率は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カ]}$であり，そのときの$\mathrm{P}$の座標の値は$[キ]$である．また，$a=1$となる確率は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケ]}$である．
(2)試行を$4$回くり返したとき，$\mathrm{P}$が原点$\mathrm{O}$にある確率は$\displaystyle \frac{[コ][サ][シ]}{\kakkofour{ス}{セ}{ソ}{タ}}$である．
(3)試行を$1$回だけ行ったときの$\mathrm{P}$の座標の値の期待値は$\displaystyle \frac{[チ]}{[ツ]}$であり，試行を$4$回くり返したときの$\mathrm{P}$の座標の値の期待値は$\displaystyle \frac{[テ]}{[ト]}$である．

次の文章中の$[ア]$から$[タ]$までに当てはまる$0$から$9$までの数を求めよ．

$1$個のサイコロを$1$回投げ，出た目の回数だけ$1$枚の硬貨を投げることにする．このとき，$xy$平面上において，動点$\mathrm{A}$は原点$(0,\ 0)$から出発し，硬貨を投げるごとに，表が出れば$x$軸方向に$1$移動し，裏が出れば$y$軸方向に$1$移動する．ただし，サイコロを投げたとき，どの目の出る確率も$\displaystyle \frac{1}{6}$で，硬貨を投げたとき，表，裏の出る確率はどちらも$\displaystyle \frac{1}{2}$であるとする．
サイコロの出た目の回数だけ硬貨を投げ終えたときの$\mathrm{A}$の位置を$(x,\ y)$とする．

(1)$(x,\ y)=(0,\ 6)$である確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ][ウ][エ]}$である．

(2)$x=y$である確率は$\displaystyle \frac{[オ][カ]}{[キ][ク]}$である．

(3)$y=0$である確率は$\displaystyle \frac{[ケ][コ]}{[サ][シ][ス]}$である．

(4)$x=1$である確率は$\displaystyle \frac{[セ]}{[ソ][タ]}$である．

次の空欄を適当に補え．

(1)方程式$8 \times 8^x+7 \times 4^x=2^x$の解は$x=[$(\mathrm{a])$}$である．
(2)$\mathrm{O}$を原点$(0,\ 0,\ 0)$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(p,\ q,\ r)$が，$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 3)$を通る平面に垂直で，$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=1$，$p>0$を満たしているとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=[$(\mathrm{b])$}$である．
(3)$a_1=8$，$\displaystyle a_{n+1}=\frac{5}{4}a_n-10 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$によって定められる数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=[$(\mathrm{c])$}$である．
(4)正八面体の各面に$1$から$8$の数字を$1$つずつ書いた八面体サイコロが$2$つある．この$2$つを同時に投げたとき，少なくとも$1$つは$1$の目が出る確率は$[$(\mathrm{d])$}$である．

(5)関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x}$は，$x=[$(\mathrm{e])$}$のとき最大値をとる．

(6)$a \neq 0$とする．方程式$x^3-(a+1)x+a=0$が$1$以外の解を重解としてもつとき，$a=[$(\mathrm{f])$}$であり，そのときの重解は$x=[$(\mathrm{g])$}$である．

空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．

(1)不等式$x^2-x-6<0$の解は$[$1$]$であり，不等式$x^2-|x|-6<0$の解は$[$2$]$である．
(2)放物線$y=-x^2+4x$の頂点の座標は$[$3$]$である．また，この放物線を$x$軸方向に$[$4$]$，$y$軸方向に$[$5$]$だけ平行移動した放物線の方程式は$y=-x^2-2x-3$である．
(3)$x$についての不等式$\log_{\alpha}(3-x)-\log_{\alpha}(2x-3) \leqq 2$の解は，$\displaystyle \alpha=\frac{1}{2}$のとき$[$6$]$であり，$\alpha=2$のとき$[$7$]$である．
(4)$1$個のさいころを$3$回投げるとき，$3$回とも同じ目が出る確率は$[$8$]$である．また，目の和が$7$になる確率は$[$9$]$である．
(5)$(x-2)^{50}=a_0+a_1x+\cdots +a_{50}x^{50}$（$a_0,\ a_1,\ \cdots,\ a_{50}$は実数）のとき，$a_{47}$の値は$[$10$]$であり，$a_0+a_1+\cdots +a_{50}$の値は$[$11$]$である．

空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．

(1)$a,\ b$を実数とする．$2$次方程式$x^2+ax+b=0$の$1$つの解$\alpha$が$1-\sqrt{3}i$のとき，$a=[$1$]$，$b=[$2$]$となる．もう$1$つの解を$\beta$とするとき，$\alpha-2$，$\beta-2$を解とし，$x^2$の係数が$1$である$2$次方程式は$x^2+[$3$]x+[$4$]=0$となる．
(2)$a=\sqrt{3}$のとき，$|a-2|+|a+3|$の値は$[$5$]$である．また，方程式$|x+1|=4$の解は$[$6$]$である．
(3)$2+\sqrt{2}$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とするとき，$\displaystyle 2a^2-\left( b^3+\frac{1}{b^3} \right)$の値は$[$7$]$である．
(4)$1$個のさいころを投げて，出た目が奇数なら$2$ポイント，偶数なら$4$ポイント獲得できるゲームがある．$1$回投げて獲得できるポイントの期待値は$[$8$]$である．また，さいころを$3$回投げたとき，獲得したポイントの合計が$12$である確率は$[$9$]$であり，$10$以上である確率は$[$10$]$である．
(5)放物線$y=x^3-3x^2+2$上の点$(1,\ 0)$における接線の方程式は$[$11$]$である．