「さいころ」について
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国立 佐賀大学 2012年 第4問サイコロを$4$回投げて，$1$，$2$，$3$，$4$回目に出た目をそれぞれ$a,\ b,\ c,\ d$とするとき，行列$A$を$\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
-c & -d
\end{array} \biggr)$で定める．次の問いに答えよ．
(1)$A^2-(a-d)A-(ad-bc)E=O$を示せ．ただし，$E,\ O$はそれぞれ$2$次の単位行列，零行列とする．
(2)$n$を$2$以上の自然数とするとき，$A^2=O$が成り立つための必要十分条件は，$ad=bc$および$a=d$が成り立つことである．これを示せ．
(3)$n$を$2$以上の自然数とする．$A^n=O$となる確率を求めよ．
a & b \\
-c & -d
\end{array} \biggr)$で定める．次の問いに答えよ．
(1)$A^2-(a-d)A-(ad-bc)E=O$を示せ．ただし，$E,\ O$はそれぞれ$2$次の単位行列，零行列とする．
(2)$n$を$2$以上の自然数とするとき，$A^2=O$が成り立つための必要十分条件は，$ad=bc$および$a=d$が成り立つことである．これを示せ．
(3)$n$を$2$以上の自然数とする．$A^n=O$となる確率を求めよ．
国立 大分大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)実数係数の二次方程式$x^2+2bx+c=0$の解を$\alpha,\ \beta$とする．この方程式が異なる2つの実数解を持たないとき，$\alpha+\beta+\alpha\beta$の最小値を求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{5\sqrt{2}}{3}$が無理数であることを示せ．
(3)動点Pが現在$x$軸上の原点にある．コイン1個とサイコロ1個を同時に投げ，コインが表であれば点Pはサイコロの目の数だけ正の方向に進み，コインが裏であればサイコロの目にかかわらず負の方向に2だけ進む．この試行を3回続けて行ったとき，点Pが原点にある確率を求めよ．
(1)実数係数の二次方程式$x^2+2bx+c=0$の解を$\alpha,\ \beta$とする．この方程式が異なる2つの実数解を持たないとき，$\alpha+\beta+\alpha\beta$の最小値を求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{5\sqrt{2}}{3}$が無理数であることを示せ．
(3)動点Pが現在$x$軸上の原点にある．コイン1個とサイコロ1個を同時に投げ，コインが表であれば点Pはサイコロの目の数だけ正の方向に進み，コインが裏であればサイコロの目にかかわらず負の方向に2だけ進む．この試行を3回続けて行ったとき，点Pが原点にある確率を求めよ．
国立 奈良女子大学 2012年 第5問$1$つのさいころを$4$回投げ，出た目を$1$回目から順に$a,\ b,\ c,\ d$とする．この$a,\ b,\ c,\ d$を用いて$x$の$2$次式
\[ f(x)=x^2-(a+d)x+(ad-bc) \]
を作る．次の問いに答えよ．
(1)どのようなさいころの目が出たとしても，$2$次方程式$f(x)=0$は異なる$2$つの実数解を持つことを示せ．
(2)どのようなさいころの目が出たとしても，$2$次方程式$f(x)=0$は少なくとも$1$つの正の実数解を持つことを示せ．
(3)$2$次方程式$f(x)=0$の$2$つの実数解がいずれも$0$以上である確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$以上であることを示せ．
\[ f(x)=x^2-(a+d)x+(ad-bc) \]
を作る．次の問いに答えよ．
(1)どのようなさいころの目が出たとしても，$2$次方程式$f(x)=0$は異なる$2$つの実数解を持つことを示せ．
(2)どのようなさいころの目が出たとしても，$2$次方程式$f(x)=0$は少なくとも$1$つの正の実数解を持つことを示せ．
(3)$2$次方程式$f(x)=0$の$2$つの実数解がいずれも$0$以上である確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$以上であることを示せ．
国立 九州工業大学 2012年 第4問1辺の長さが1の正三角形の頂点を時計回りにP，Q，Rとする．これらの頂点のいずれかにある動点が，次のように辺上を移動することを1回の試行とする．さいころを1回投げて，1の目が出れば反時計回りに長さ1だけ移動し，6の目が出れば移動せず，それ以外の場合は時計回りに長さ1だけ移動する．動点は最初に点Pにあり，$n$回の試行後に動点が点P，Q，Rにある確率をそれぞれ$p_n,\ q_n,\ r_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$p_1,\ p_2$をそれぞれ求めよ．
(2)$q_2,\ r_2$をそれぞれ求め，さらに$p_3$を求めよ．
(3)$p_{n+1}$を$r_n$を用いて表せ．
(4)$p_{n+3}$を$p_n$を用いて表せ．
(5)$p_{3n}$を$n$を用いて表せ．
(1)$p_1,\ p_2$をそれぞれ求めよ．
(2)$q_2,\ r_2$をそれぞれ求め，さらに$p_3$を求めよ．
(3)$p_{n+1}$を$r_n$を用いて表せ．
(4)$p_{n+3}$を$p_n$を用いて表せ．
(5)$p_{3n}$を$n$を用いて表せ．
国立 徳島大学 2012年 第4問$3$個のサイコロを同時に投げ，出た目の数を大きさの順に$a,\ b,\ c (a \leqq b \leqq c)$とする．
(1)$a<b<c$となる確率を求めよ．
(2)$a,\ b,\ c$のうち少なくとも二つが$3$となる確率を求めよ．
(3)$b=3$かつ$2$次方程式$ax^2+2bx+c=0$が実数解をもつ確率を求めよ．
(1)$a<b<c$となる確率を求めよ．
(2)$a,\ b,\ c$のうち少なくとも二つが$3$となる確率を求めよ．
(3)$b=3$かつ$2$次方程式$ax^2+2bx+c=0$が実数解をもつ確率を求めよ．
国立 お茶の水女子大学 2012年 第3問次の問いに答えよ．
(1)サイコロを$n$回ふって出た目の数字を1列に並べる．隣り合う2つの数がすべて異なる確率$a_n$を求めよ．
(2)サイコロを$n$回ふって出た目の数字を円周上に並べる．隣り合う2つの数がすべて異なる確率を$b_n$とする．(1)の確率$a_n$を$b_n$と$b_{n-1}$を用いて表せ．
(3)(2)の確率$b_n$を求めよ．
(1)サイコロを$n$回ふって出た目の数字を1列に並べる．隣り合う2つの数がすべて異なる確率$a_n$を求めよ．
(2)サイコロを$n$回ふって出た目の数字を円周上に並べる．隣り合う2つの数がすべて異なる確率を$b_n$とする．(1)の確率$a_n$を$b_n$と$b_{n-1}$を用いて表せ．
(3)(2)の確率$b_n$を求めよ．
国立 奈良教育大学 2012年 第3問$2$つのサイコロを投げたとき，その目の和を$S$とする．$3$つのサイコロを投げたとき，その目の和を$T$とする．ただし，$1$つのサイコロには，$1$から$6$までの目がかかれていて，その目の出方はどれも同様に確からしいものとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$S$の値が$6$となる確率を求めよ．
(2)$T$の値が$6$となる確率を求めよ．
(3)$S$の値が$7$以上となる確率を求めよ．
(4)$T$の値が$7$以上となる確率を求めよ．
(1)$S$の値が$6$となる確率を求めよ．
(2)$T$の値が$6$となる確率を求めよ．
(3)$S$の値が$7$以上となる確率を求めよ．
(4)$T$の値が$7$以上となる確率を求めよ．
国立 帯広畜産大学 2012年 第1問等式
\[ \begin{array}{lrr}
c=\sin 2\theta-2 \cos \theta & &\cdots\cdots① \\
\log_y(x-3)+\log_y(x+1)-1=0 \quad (y>0,\ y \neq 1) & & \cdots\cdots②
\end{array} \]
について，次の各問に解答しなさい．
(1)$①$式について，$\sin \theta+\cos \theta=1$とする．
(i) $\sin \theta$と$\cos \theta$のとりうる値を求めなさい．
(ii) $c$のとりうる値を求めなさい．
(iii) 1個のサイコロを投げるとき，2以下の目が出れば$\sin \theta=0$，3以上の目が出れば$\sin \theta=1$とする．$c$の確率分布を求め，さらに，$c$の平均と分散を求めなさい．
(2)$①$式について，$\displaystyle c=-\frac{\sqrt{3}}{2},\ \sin \theta=\frac{1}{2}$とする．
(i) $0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，$\tan \theta$および$\theta$の値を求めなさい．
(ii) $0 \leqq \theta \leqq 10\pi$のとき，$\theta$がとりうるすべての値の合計を求めなさい．
(3)$②$式について，$y$を$x$の関数として$y=f(x)$と表す．
(i) 関数$f(x)$を$x$で表し，$x$のとりうる値の範囲を求めなさい．
(ii) $y=a$とするとき，$x$の値を$a$で表しなさい．ただし，$a$は$a>0,\ a \neq 1$を満たす定数である．
\[ \begin{array}{lrr}
c=\sin 2\theta-2 \cos \theta & &\cdots\cdots① \\
\log_y(x-3)+\log_y(x+1)-1=0 \quad (y>0,\ y \neq 1) & & \cdots\cdots②
\end{array} \]
について，次の各問に解答しなさい．
(1)$①$式について，$\sin \theta+\cos \theta=1$とする．
(i) $\sin \theta$と$\cos \theta$のとりうる値を求めなさい．
(ii) $c$のとりうる値を求めなさい．
(iii) 1個のサイコロを投げるとき，2以下の目が出れば$\sin \theta=0$，3以上の目が出れば$\sin \theta=1$とする．$c$の確率分布を求め，さらに，$c$の平均と分散を求めなさい．
(2)$①$式について，$\displaystyle c=-\frac{\sqrt{3}}{2},\ \sin \theta=\frac{1}{2}$とする．
(i) $0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，$\tan \theta$および$\theta$の値を求めなさい．
(ii) $0 \leqq \theta \leqq 10\pi$のとき，$\theta$がとりうるすべての値の合計を求めなさい．
(3)$②$式について，$y$を$x$の関数として$y=f(x)$と表す．
(i) 関数$f(x)$を$x$で表し，$x$のとりうる値の範囲を求めなさい．
(ii) $y=a$とするとき，$x$の値を$a$で表しなさい．ただし，$a$は$a>0,\ a \neq 1$を満たす定数である．
国立 山形大学 2012年 第1問単位円の円周を$6$等分する点を時計回りの順に$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$，$\mathrm{P}_4$，$\mathrm{P}_5$，$\mathrm{P}_6$とする．さいころを投げて出た目$i$と点$\mathrm{P}_i$を対応させる．さいころを$3$回投げて出た目が全て異なる場合は対応する点を結ぶと三角形ができる．次の問に答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_5$と$\triangle \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_3 \mathrm{P}_5$の面積をそれぞれ求めよ．
(2)さいころを$3$回投げて，三角形ができる確率を求めよ．
(3)さいころを$3$回投げて，二等辺三角形（ただし正三角形は除く）ができる確率を求めよ．
(4)さいころを$3$回投げてできる図形の面積の期待値を求めよ．
(1)$\triangle \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_5$と$\triangle \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_3 \mathrm{P}_5$の面積をそれぞれ求めよ．
(2)さいころを$3$回投げて，三角形ができる確率を求めよ．
(3)さいころを$3$回投げて，二等辺三角形（ただし正三角形は除く）ができる確率を求めよ．
(4)さいころを$3$回投げてできる図形の面積の期待値を求めよ．
国立 福岡教育大学 2012年 第2問大小$2$個のさいころを同時に投げる．大きなさいころの出た目の数を小さなさいころの出た目の数で割った値を$X$とする．次の問いに答えよ．
(1)$X$が整数となる確率を求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{1}{4}<X<4$となる確率を求めよ．
(3)$X$の期待値を求めよ．
(1)$X$が整数となる確率を求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{1}{4}<X<4$となる確率を求めよ．
(3)$X$の期待値を求めよ．