「さいころ」について
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国立 大阪大学 2012年 第1問$1$個のさいころを$3$回続けて投げるとき，$1$回目に出る目を$l$，$2$回目に出る目を$m$，$3$回目に出る目を$n$で表し，$3$次式
\[ f(x) = x^3+ l x^2 + mx+n \]
を考える．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$f(x)$が$(x+1)^2$で割り切れる確率を求めよ．
(2)関数$y=f(x)$が極大値も極小値もとる確率を求めよ．
\[ f(x) = x^3+ l x^2 + mx+n \]
を考える．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$f(x)$が$(x+1)^2$で割り切れる確率を求めよ．
(2)関数$y=f(x)$が極大値も極小値もとる確率を求めよ．
国立 埼玉大学 2012年 第3問正三角形の頂点を反時計回りにそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とし，頂点$\mathrm{A}$上に碁石が置かれているとする．さいころを何回か投げ，以下の規則[R]に従って碁石を移動させるゲームを考える．\\
$[\text{R}]$ \quad さいころの目が$3$の倍数のときは反時計回りに隣の頂点に移動し，$3$の倍数でないときは移動しないでその頂点に留まる．\\
このとき下記の設問に答えなさい．
(1)さいころを$3$回投げたとき，碁石が頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$上にある確率をそれぞれ求めなさい．
(2)さいころを$n$回投げたとき，碁石が頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$上にある確率をそれぞれ$p,\ q,\ r$とする．さらに続けて$4$回投げたとき，碁石が頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$上にある確率をそれぞれ求めなさい．
(3)さいころを$100$回投げたとき，碁石が置かれている確率の最も高い頂点は$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$のうちのどれか求めなさい．
$[\text{R}]$ \quad さいころの目が$3$の倍数のときは反時計回りに隣の頂点に移動し，$3$の倍数でないときは移動しないでその頂点に留まる．\\
このとき下記の設問に答えなさい．
(1)さいころを$3$回投げたとき，碁石が頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$上にある確率をそれぞれ求めなさい．
(2)さいころを$n$回投げたとき，碁石が頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$上にある確率をそれぞれ$p,\ q,\ r$とする．さらに続けて$4$回投げたとき，碁石が頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$上にある確率をそれぞれ求めなさい．
(3)さいころを$100$回投げたとき，碁石が置かれている確率の最も高い頂点は$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$のうちのどれか求めなさい．
国立 千葉大学 2012年 第3問さいころを$7$回投げ，$k$回目（$1 \leqq k \leqq 7$）に出る目を$X_k$とする．
(1)積$X_1X_2$が$18$以下である確率を求めよ．
(2)積$X_1X_2\cdots X_7$が偶数である確率を求めよ．
(3)積$X_1X_2\cdots X_7$が$4$の倍数である確率を求めよ．
(4)積$X_1X_2\cdots X_7$を$3$で割ったときの余りが$1$である確率を求めよ．
(1)積$X_1X_2$が$18$以下である確率を求めよ．
(2)積$X_1X_2\cdots X_7$が偶数である確率を求めよ．
(3)積$X_1X_2\cdots X_7$が$4$の倍数である確率を求めよ．
(4)積$X_1X_2\cdots X_7$を$3$で割ったときの余りが$1$である確率を求めよ．
国立 信州大学 2012年 第3問さいころを$1000$回投げるとき，$1$の目がちょうど$k$回出る確率を$P_k$とおく．$P_k$が最大となる$k$を求めよ．
国立 東京工業大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)辺の長さが$1$である正四面体$\mathrm{OABC}$において辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{OC}$の中点を$\mathrm{E}$とする．$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$との内積を求めよ．
(2)$1$から$6$までの目がそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{6}$の確率で出るさいころを同時に$3$個投げるとき，目の積が$10$の倍数になる確率を求めよ．
(1)辺の長さが$1$である正四面体$\mathrm{OABC}$において辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{OC}$の中点を$\mathrm{E}$とする．$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$との内積を求めよ．
(2)$1$から$6$までの目がそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{6}$の確率で出るさいころを同時に$3$個投げるとき，目の積が$10$の倍数になる確率を求めよ．
国立 広島大学 2012年 第4問$N$は$4$以上の整数とする．次の規則にしたがって$1$個のさいころを繰り返し投げる．
規則:出た目を毎回記録し，偶数の目が$3$回出るか，あるいは奇数の目が$N$回出たところで，さいころを投げる操作を終了する．
ただし，さいころの目の出方は同様に確からしいとする．次の問いに答えよ．
(1)さいころを投げる回数は，最大で何回か．
(2)さいころを$3$回投げて操作を終了する確率を求めよ．
(3)さいころを$N$回投げて操作を終了する確率を求めよ．
(4)最後に奇数の目が出て操作を終了する確率を求めよ．
(5)$N=4$のとき，さいころを投げる回数の期待値を求めよ．
規則:出た目を毎回記録し，偶数の目が$3$回出るか，あるいは奇数の目が$N$回出たところで，さいころを投げる操作を終了する．
ただし，さいころの目の出方は同様に確からしいとする．次の問いに答えよ．
(1)さいころを投げる回数は，最大で何回か．
(2)さいころを$3$回投げて操作を終了する確率を求めよ．
(3)さいころを$N$回投げて操作を終了する確率を求めよ．
(4)最後に奇数の目が出て操作を終了する確率を求めよ．
(5)$N=4$のとき，さいころを投げる回数の期待値を求めよ．
国立 広島大学 2012年 第5問$n$は自然数とし，点Pは次の規則にしたがって座標平面上を動くとする．\\
規則:\\
\quad (A) \ Pは，はじめに点$(1,\ 2)$にある．\\
\quad (B) \ さいころを投げて2以下の目が出ればPは原点を中心に反時計回りに$120^\circ$回転し，3以上の目が出れば時計回りに$60^\circ$回転する．\\
\quad (C) \ (B)を$n$回繰り返す．\\
ただし，さいころの目の出方は同様に確からしいとする．次の問いに答えよ．
(1)$n=3$のとき，出た目が$4,\ 1,\ 2$であったとする．このときPが最後に移った点の座標を求めよ．
(2)$n=3$のとき，Pが点$(1,\ 2)$にある確率を求めよ．
(3)$n=6$のとき，Pが点$(-1,\ -2)$にある確率を求めよ．
(4)$n=3m$のとき，Pが点$(1,\ 2)$にある確率を求めよ．ただし，$m$は自然数とする．
規則:\\
\quad (A) \ Pは，はじめに点$(1,\ 2)$にある．\\
\quad (B) \ さいころを投げて2以下の目が出ればPは原点を中心に反時計回りに$120^\circ$回転し，3以上の目が出れば時計回りに$60^\circ$回転する．\\
\quad (C) \ (B)を$n$回繰り返す．\\
ただし，さいころの目の出方は同様に確からしいとする．次の問いに答えよ．
(1)$n=3$のとき，出た目が$4,\ 1,\ 2$であったとする．このときPが最後に移った点の座標を求めよ．
(2)$n=3$のとき，Pが点$(1,\ 2)$にある確率を求めよ．
(3)$n=6$のとき，Pが点$(-1,\ -2)$にある確率を求めよ．
(4)$n=3m$のとき，Pが点$(1,\ 2)$にある確率を求めよ．ただし，$m$は自然数とする．
国立 九州工業大学 2012年 第1問1つのさいころを4回投げ，$i$回目($i=1,\ 2,\ 3,\ 4$)に出る目を$a_i$とする．また，出る目の種類を数え，その数を$m$とする．例えば，$a_1=2,\ a_2=3,\ a_3=2,\ a_4=5$のとき，$2,\ 3,\ 5$の3種類の目が出たので$m=3$とする．次に答えよ．
(1)$m=1$となる場合は何通りあるか．
(2)$m=2$となる確率を求めよ．
(3)$m$の期待値を求めよ．
(4)$a_1 \leqq a_2 \leqq a_3 \leqq a_4$となる確率を求めよ．
(1)$m=1$となる場合は何通りあるか．
(2)$m=2$となる確率を求めよ．
(3)$m$の期待値を求めよ．
(4)$a_1 \leqq a_2 \leqq a_3 \leqq a_4$となる確率を求めよ．
国立 滋賀大学 2012年 第3問3個のさいころを同時に投げる．このとき，次の問いに答えよ．
(1)出る目の最小値が3以上になる確率を求めよ．
(2)3個のうち，いずれか2個の目の和が8になる確率を求めよ．
(3)出る目の最小値が2以下になり，かつどの2個の目の和も8でない確率を求めよ．
(1)出る目の最小値が3以上になる確率を求めよ．
(2)3個のうち，いずれか2個の目の和が8になる確率を求めよ．
(3)出る目の最小値が2以下になり，かつどの2個の目の和も8でない確率を求めよ．
国立 千葉大学 2012年 第10問さいころを$n$回($n \geqq 2$)投げ，$k$回目$\; (1 \leqq k \leqq n)$に出る目を$X_k$とする．
(1)積$X_1X_2$が18以下である確率を求めよ．
(2)積$X_1X_2\cdots X_n$が偶数である確率を求めよ．
(3)積$X_1X_2\cdots X_n$が4の倍数である確率を求めよ．
(4)積$X_1X_2\cdots X_n$を3で割ったときの余りが1である確率を求めよ．
(1)積$X_1X_2$が18以下である確率を求めよ．
(2)積$X_1X_2\cdots X_n$が偶数である確率を求めよ．
(3)積$X_1X_2\cdots X_n$が4の倍数である確率を求めよ．
(4)積$X_1X_2\cdots X_n$を3で割ったときの余りが1である確率を求めよ．