$1$から$6$の目が等確率で出るサイコロを投げ，出た目の数が偶数のとき定数$a_1$の値を$1$，奇数のとき$-1$と決める．定数$b_1,\ c_1,\ a_2,\ b_2,\ c_2$の値についてもそれぞれ同じ方法で$1$または$-1$に決める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$1$次関数$y=a_1x+b_1$と$y=a_2x+b_2$が$xy$平面上で共有点をもつ確率を求めよ．
(2)$1$次関数$y=a_1x+b_1$と$y=a_2x+b_2$が$xy$平面上で共有点をもたないとき，$2$次関数$y=a_1(x-b_1)^2+c_1$と$y=a_2(x-b_2)^2+c_2$が$xy$平面上で共有点をもつ確率を求めよ．
(3)$2$次関数$y=a_1(x-b_1)^2+c_1$と$y=a_2(x-b_2)^2+c_2$が$xy$平面上で共有点をもつ確率を求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)$2$次不等式$3x^2-5x-12 \leqq 0$を満たす整数$x$をすべて求めよ．
(2)放物線$y=3x^2$を$x$軸方向へ$a$，$y$軸方向へ$b$だけ平行移動したグラフが$2$点$(-6,\ 0)$，$(2,\ 0)$を通るとき，定数$a,\ b$の値を求めよ．
(3)$1$つのさいころを$3$回投げて出た目の最小値が$3$である確率を求めよ．

次の$[　]$にあてはまる$0$から$9$までの数字を記入せよ．ただし，根号内の平方因数は根号外にくくり出し，分数は既約分数で表すこと．

(1)コインを$2$回投げたとき表の出る回数を$X$，さいころを$1$回投げたとき出る目の数を$Y$とする．$X+Y=1$となる確率は$\displaystyle \frac{[　]}{[][]}$であり，$X+Y=2$となる確率は$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}$である．$X+Y$の期待値は$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}$である．

(2)$n$を$3$の倍数でない自然数とする．
$n^3$を$9$で割った余りは$[　]$または$[　]$（ただし$[　]<[　]$）であり，$n^9$を$27$で割った余りは$[　]$または$[][]$である．

次の問に答えよ．

(1)実数$x$が$4^x+4^{-x}=7$をみたすとき，$8^x+8^{-x}$の値を求めよ．
(2)整数$x$の$1$桁目を四捨五入した値を$\langle x \rangle$と表す．例えば，$\langle 4 \rangle=0$，$\langle 5 \rangle=10$，$\langle 11 \rangle=10$である．サイコロを$2$回投げたとき，$1$回目に出る目の数を$x$，$2$回目に出る目の数を$y$とする．$\langle x+y \rangle=\langle x \rangle+\langle y \rangle$となる確率を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)$2$つのサイコロを同時にふるとき，出た目の和が$n$である確率を$P_n$とする．自然数$n (2 \leqq n \leqq 12)$に対して
\[ P_n=\frac{[ア]-|n-[イ]|}{[ウ]} \]
である．
(2)整数$p,\ q$に対して，多項式
\[ f(x)=2x^4+(p+2q)x^3+(pq+4)x^2+(2p+2)x+p \]
を考える．$f(0)$，$f(1)$，$f(2)$がすべて素数のとき，$p=[エ]$，$q=[オ]$である．

次の問いに答えなさい．

(1)座標平面上の原点に点$\mathrm{P}$がある．さいころを投げ，$1$または$2$がでたとき，$x$軸の正の方向へ$1$動き，出た目が$3,\ 4,\ 5,\ 6$のとき，$y$軸の正の方向に$1$動くとする．さいころを$5$回投げたとき，点$\mathrm{P}$が$(3,\ 2)$の位置にいる確率を求めなさい．
(2)$52$枚のトランプから$2$枚を引いたとき，$2$枚ともハートであるまたは$2$枚とも絵札でない確率を求めなさい．

$xy$平面で，$x$座標と$y$座標がともに整数である点を格子点という．点$\mathrm{P}$を次のルールで格子点上を移動させる．
\begin{itemize}
さいころをふって出た目が$1$または$2$のとき，$x$軸の正の方向に$1$だけ移動させる．
さいころをふって出た目が$3$または$4$のとき，$y$軸の正の方向に$1$だけ移動させる．
さいころをふって出た目が$5$または$6$のとき，動かさない．
\end{itemize}
以下の問いに答えなさい．ただし，答えのみでなく理由も述べなさい．

(1)点$\mathrm{P}$の最初の座標を$(0,\ 0)$とする．さいころを$3$回ふったあとの$\mathrm{P}$の座標が$(1,\ 1)$である確率を求めなさい．
(2)点$\mathrm{P}$の最初の座標を$(0,\ 0)$とする．さいころを$5$回ふったあとの$\mathrm{P}$の座標を$(m,\ n)$とする．$m$と$n$がともに正で$m+n=3$である確率を求めなさい．

$t$を$1 \leqq t \leqq 6$を満たす実数とする．原点を$\mathrm{O}(0,\ 0)$とする座標平面上に，点$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(3,\ 0)$，$\mathrm{C}(3,\ 12)$，$\mathrm{D}(1,\ 12)$，$\mathrm{P}(7,\ 0)$，$\mathrm{Q}(t,\ 7t-t^2)$をとる．長方形$\mathrm{ABCD}$と$\triangle \mathrm{OPQ}$の共通部分の面積を$f(t)$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)$f(t)$を求めよ．
(2)$3$個のさいころを同時に投げて，出た目の合計を$m$とする．このとき，
\[ f \left( \frac{m}{3} \right)<3m \]
となる確率を求めよ．

$1,\ 2,\ 3,\ 4$の目を持ったサイコロがある．$1$と$3$の目がそれぞれ$2$つずつあり，$2$と$4$の目は$1$つずつである．このサイコロを$1$以外の目が出るまで振り続ける．出た目の数の総和が$n$である確率を$P_n$とする．次の問に答えなさい．

(1)出た目の数の総和が$6$となるサイコロの目の出方を全て列挙しなさい．
(2)$P_2,\ P_3,\ P_4$をそれぞれ求めなさい．
(3)出た目の数の総和が$5$以上である確率を求めなさい．
(4)$P_n$が最大となる$n$の値を求めなさい．

点$\mathrm{P}$は数直線上を動くものとする．$1$個のさいころを投げて，奇数の目が出たときには$\mathrm{P}$は正の向きに$1$だけ進み，偶数の目が出たときには$\mathrm{P}$は正の向きに$2$だけ進む．$n$を自然数とする．さいころを続けて投げて，出発点から$\mathrm{P}$が進んだ距離が$n$以上になったら，そこでさいころを投げるのをやめるものとする．このときに，出発点から$\mathrm{P}$が進んだ距離がちょうど$n$である確率を$a_n$とする．また，$b_n=a_{n+1}-a_n$とおく．次の問いに答えよ．

(1)$a_1,\ a_2,\ a_3$を求めよ．
(2)$a_{n+2}$を$a_{n+1},\ a_n$を用いて表せ．
(3)$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ．
(4)$b_n,\ a_n$を求めよ．