以下の問いに答えよ．

(1)大中小$3$個のサイコロを同時に投げる．大中小それぞれのサイコロの目を$x,\ y,\ z$とするとき，$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$となる確率を求めよ．
(2)正の実数$x$に対して定義された関数$y=2(\log_5 5x)^2+\log_5 (5x)^2+2 \log_5 x+2$の最小値と，そのときの$x$の値を求めよ．

以下の各問に答えよ．

(1)$2(3x^3-2x-2)^5$の展開式における$x^6$の項の係数を求めよ．
(2)$a+b+c=9$を満たす正の整数$a,\ b,\ c$の組$(a,\ b,\ c)$は何通りあるか．
(3)$3$個のさいころを同時に投げたときに，出た目の積が偶数である確率を求めよ．
(4)$1$から$500$までの整数のうち，以下の条件を満たす数の個数をそれぞれ求めよ．
$(ⅰ)$ $6$と$8$の両方で割り切れる数， \quad $(ⅱ)$ $6$でも$8$でも割り切れない数

次の$[　]$に適切な答えを入れよ．

(1)$f(x)$は$x$の$n$次の多項式で，$f^\prime(x) f^{\prime\prime}(x)=f(x)$および$\displaystyle f^{\prime\prime}(0)=\frac{1}{2}$を満たすとする．このとき$n=[ア]$であり，$f(0)=[イ]$である．
(2)さいころを$3$回投げ，出た目の最大値を$X$とする．このとき，$X=3$となる確率は$[ウ]$であり，$X$の平均は$[エ]$である．

$3$個のサイコロを同時に振ったときに出た目の数の積を$X$とする．

(1)$X$が$1$になる確率を求めよ．
(2)$X$が$4$以下になる確率を求めよ．
(3)$X$が$3$の倍数になる確率を求めよ．

数直線上を動く点$\mathrm{P}$が初め原点にある．サイコロを投げて，$1$の目が出たら負の向きに$2$動かし，$2$の目のときは負の向きに$1$，また，$3$と$4$の目のときは動かさず，$5$の目のときは正の向きに$1$，そして$6$の目のときは正の向きに$2$動かすものとする．サイコロを$2$回投げたとき，点$\mathrm{P}$の座標が$2$以上である確率は$[　]$であり，また，サイコロを$3$回投げたとき，点$\mathrm{P}$が原点にある確率は$[　]$である．

$x$軸上を動く点$\mathrm{P}$があり，最初は原点にあるとする．$1$個のさいころを投げて，$1$か$2$の目が出たら点$\mathrm{P}$を正の方向に$2$だけ進め，その他の目が出たら負の方向に$1$だけ進めるものとする．以下の問に答えよ．

(1)さいころを$6$回投げたとき，$6$回目に点$\mathrm{P}$が原点に戻っている確率は$\displaystyle \frac{[クケ]}{[コサシ]}$である．

(2)さいころを$6$回投げたとき，$6$回目に点$\mathrm{P}$が原点に初めて戻っている確率は$\displaystyle \frac{[スセ]}{[コサシ]}$である．ただし，原点を通過した場合は，戻ったとはみなさない．
(3)さいころを$6$回投げたときに，点$\mathrm{P}$が原点に戻っているのが$2$度目である確率は$\displaystyle \frac{[ソタ]}{[チツ]}$である．ただし，原点を通過した場合は，戻ったとはみなさない．

以下の$[　]$にあてはまる式または数値を入れよ．

$xy$平面を考える．大小$2$個のさいころを投げて，大のさいころの目の数を$x$座標，小のさいころの目の数を$y$座標とする点を$\mathrm{P}$とする．もう一度，大小$2$個のさいころを投げて，大のさいころの目の数を$x$座標，小のさいころの目の数を$y$座標とする点を$\mathrm{Q}$とする．
(1)点$\mathrm{P}$が直線$\ell:y=x$上にある確率は$[ア]$である．
(2)点$\mathrm{P}$が不等式$y>x$で表される領域にある確率は$[イ]$である．
(3)点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$が異なる確率は$[ウ]$である．
(4)$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$がどちらも直線$\ell:y=x$上になく，かつ線分$\mathrm{PQ}$が$\ell$と共有点をもつ確率は$[エ]$である．
(5)線分$\mathrm{PQ}$の長さが$1$である確率は$[オ]$である．

大中小$3$つのサイコロを同時に投げ，出た目をそれぞれ$a,\ b,\ c$とする．さらに，$a,\ b,\ c$のうちで，最小の数を$S$とし，最大の数を$T$とする．

(1)$S=2$となる確率を求めよ．
(2)$S \leqq 2$かつ$T=6$となる確率を求めよ．
(3)$S$の期待値を求めよ．

$1 \leqq p<q \leqq 6$を満たす整数$p$と$q$がある．$2$つのサイコロを同時に振り，出た目のうちで$p$または$q$に等しい目の合計を得点とする．例えば，$p$の目が$2$つ出たときは，得点は$2p$である．$p$の目も$q$の目も出なければ，得点は$0$である．

(1)得点が$0$となる確率を求めよ．
(2)得点の期待値を求めよ．

次の$[　]$にあてはまる適切な数値を記入せよ．

(1)数直線上を動く点$\mathrm{P}$が原点の位置にある．$2$個のさいころを同時に投げる試行を$\mathrm{T}$とし，試行$\mathrm{T}$の結果によって，$\mathrm{P}$は次の規則で動く．
（規則）$2$個のさいころの出た目の積が偶数ならば$+2$だけ移動し，奇数ならば$+1$だけ移動する．
試行$\mathrm{T}$を$n$回繰り返し行ったときの$\mathrm{P}$の座標を$x_n$とすると，$x_1=2$となる確率は$[ア]$であり，$x_3=3$かつ$x_4=5$となる確率は$[イ]$である．また，$\mathrm{P}$が座標$4$以上の点に初めて到達するまで試行$\mathrm{T}$を繰り返し行うとき，試行回数の期待値は$[ウ]$である．
(2)平面上に$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=|\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=|2 \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=1$をみたしている．このとき，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=[エ]$である．また，実数$s,\ t$が条件$1 \leqq s+3t \leqq 3$，$s \geqq 0$，$t \geqq 0$をみたしながら動くとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$で定められた点$\mathrm{P}$の存在する範囲の面積は$[オ]$である．