「さいころ」について
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国立 富山大学 2013年 第1問$6$つの面にそれぞれ$0,\ 0,\ 1,\ -1,\ i,\ -i$と書かれたさいころがある．ここで$i$は虚数単位である．このさいころを$3$回投げ，$1$回目に出た目の値を$X_1$，$2$回目に出た目の値を$X_2$，$3$回目に出た目の値を$X_3$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)積$X_1X_2$が実数となる確率を求めよ．
(2)和$X_1+X_2$が実数となる確率を求めよ．
(3)積$X_1X_2X_3$が実数となる確率を求めよ．
(1)積$X_1X_2$が実数となる確率を求めよ．
(2)和$X_1+X_2$が実数となる確率を求めよ．
(3)積$X_1X_2X_3$が実数となる確率を求めよ．
国立 神戸大学 2013年 第5問動点$\mathrm{P}$が，図のような正方形$\mathrm{ABCD}$の頂点$\mathrm{A}$から出発し，さいころをふるごとに，次の規則により正方形のある頂点から他の頂点に移動する．
出た目の数が$2$以下なら辺$\mathrm{AB}$と平行な方向に移動する．
出た目の数が$3$以上なら辺$\mathrm{AD}$と平行な方向に移動する．
$n$を自然数とするとき，さいころを$2n$回ふった後に動点$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$にいる確率を$a_n$，$\mathrm{C}$にいる確率を$c_n$とする．次の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)$a_1$を求めよ．
(2)さいころを$2n$回ふった後，動点$\mathrm{P}$は$\mathrm{A}$または$\mathrm{C}$にいることを証明せよ．
(3)$a_n,\ c_n$を$n$を用いてそれぞれ表せ．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}c_n$をそれぞれ求めよ．
出た目の数が$2$以下なら辺$\mathrm{AB}$と平行な方向に移動する．
出た目の数が$3$以上なら辺$\mathrm{AD}$と平行な方向に移動する．
$n$を自然数とするとき，さいころを$2n$回ふった後に動点$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$にいる確率を$a_n$，$\mathrm{C}$にいる確率を$c_n$とする．次の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)$a_1$を求めよ．
(2)さいころを$2n$回ふった後，動点$\mathrm{P}$は$\mathrm{A}$または$\mathrm{C}$にいることを証明せよ．
(3)$a_n,\ c_n$を$n$を用いてそれぞれ表せ．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}c_n$をそれぞれ求めよ．
国立 九州大学 2013年 第3問横一列に並んだ6枚の硬貨に対して，以下の操作$\mathrm{L}$と操作$\mathrm{R}$を考える．
\mon[$\mathrm{L}:$] さいころを投げて，出た目と同じ枚数だけ左端から順に硬貨の表と裏を反転する．
\mon[$\mathrm{R}:$] さいころを投げて，出た目と同じ枚数だけ右端から順に硬貨の表と裏を反転する．
たとえば，表表裏表裏表と並んだ状態で操作$\mathrm{L}$を行うときに，3の目が出た場合は，裏裏表表裏表となる．以下，「最初の状態」とは硬貨が6枚とも表であることとする．
(1)最初の状態から操作$\mathrm{L}$を2回続けて行うとき，表が1枚となる確率を求めよ．
(2)最初の状態から$\mathrm{L},\ \mathrm{R}$の順に操作を行うとき，表の枚数の期待値を求めよ．
(3)最初の状態から$\mathrm{L},\ \mathrm{R},\ \mathrm{L}$の順に操作を行うとき，すべての硬貨が表となる確率を求めよ．
\mon[$\mathrm{L}:$] さいころを投げて，出た目と同じ枚数だけ左端から順に硬貨の表と裏を反転する．
\mon[$\mathrm{R}:$] さいころを投げて，出た目と同じ枚数だけ右端から順に硬貨の表と裏を反転する．
たとえば，表表裏表裏表と並んだ状態で操作$\mathrm{L}$を行うときに，3の目が出た場合は，裏裏表表裏表となる．以下，「最初の状態」とは硬貨が6枚とも表であることとする．
(1)最初の状態から操作$\mathrm{L}$を2回続けて行うとき，表が1枚となる確率を求めよ．
(2)最初の状態から$\mathrm{L},\ \mathrm{R}$の順に操作を行うとき，表の枚数の期待値を求めよ．
(3)最初の状態から$\mathrm{L},\ \mathrm{R},\ \mathrm{L}$の順に操作を行うとき，すべての硬貨が表となる確率を求めよ．
国立 九州大学 2013年 第3問横一列に並んだ6枚の硬貨に対して，以下の操作$\mathrm{L}$と操作$\mathrm{R}$を考える．
\mon[$\mathrm{L}:$] さいころを投げて，出た目と同じ枚数だけ左端から順に硬貨の表と裏を反転する．
\mon[$\mathrm{R}:$] さいころを投げて，出た目と同じ枚数だけ右端から順に硬貨の表と裏を反転する．
たとえば，表表裏表裏表と並んだ状態で操作$\mathrm{L}$を行うときに，3の目が出た場合は，裏裏表表裏表となる．以下，「最初の状態」とは硬貨が6枚とも表であることとする．
(1)最初の状態から操作$\mathrm{L}$を2回続けて行うとき，表が1枚となる確率を求めよ．
(2)最初の状態から$\mathrm{L},\ \mathrm{R}$の順に操作を行うとき，表の枚数の期待値を求めよ．
(3)最初の状態から$\mathrm{L},\ \mathrm{R},\ \mathrm{L}$の順に操作を行うとき，すべての硬貨が表となる確率を求めよ．
\mon[$\mathrm{L}:$] さいころを投げて，出た目と同じ枚数だけ左端から順に硬貨の表と裏を反転する．
\mon[$\mathrm{R}:$] さいころを投げて，出た目と同じ枚数だけ右端から順に硬貨の表と裏を反転する．
たとえば，表表裏表裏表と並んだ状態で操作$\mathrm{L}$を行うときに，3の目が出た場合は，裏裏表表裏表となる．以下，「最初の状態」とは硬貨が6枚とも表であることとする．
(1)最初の状態から操作$\mathrm{L}$を2回続けて行うとき，表が1枚となる確率を求めよ．
(2)最初の状態から$\mathrm{L},\ \mathrm{R}$の順に操作を行うとき，表の枚数の期待値を求めよ．
(3)最初の状態から$\mathrm{L},\ \mathrm{R},\ \mathrm{L}$の順に操作を行うとき，すべての硬貨が表となる確率を求めよ．
国立 熊本大学 2013年 第1問$X,\ Y$は$\{ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6 \}$の空でない部分集合で，$X \cap Y$は空集合とする．また，$n$を自然数とする．$\mathrm{A}$君，$\mathrm{B}$君が以下のルールで対戦する．
(i) $1$回目の対戦では，まず$\mathrm{A}$君がさいころを投げて，出た目が$X$に属するならば$\mathrm{A}$君の勝ちとする．出た目が$X$に属さなければ$\mathrm{B}$君がさいころを投げて，出た目が$Y$に属するならば$\mathrm{B}$君の勝ちとする．
(ii) $1$回目の対戦で勝負がつかなかった場合は，$1$回目と同じ方法で$2$回目以降の対戦を行い，どちらかが勝つまで続ける．ただし，$n$回対戦して勝負がつかなかった場合は引き分けにする．
以下の問いに答えよ．
(1)さいころを投げたとき，$X,\ Y$に属する目が出る確率をそれぞれ$p,\ q$とする．$\mathrm{A}$君が勝つ確率を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$君が勝つ確率が，$\mathrm{B}$君が勝つ確率よりも大きくなるような集合の組$(X,\ Y)$は何通りあるか．
(i) $1$回目の対戦では，まず$\mathrm{A}$君がさいころを投げて，出た目が$X$に属するならば$\mathrm{A}$君の勝ちとする．出た目が$X$に属さなければ$\mathrm{B}$君がさいころを投げて，出た目が$Y$に属するならば$\mathrm{B}$君の勝ちとする．
(ii) $1$回目の対戦で勝負がつかなかった場合は，$1$回目と同じ方法で$2$回目以降の対戦を行い，どちらかが勝つまで続ける．ただし，$n$回対戦して勝負がつかなかった場合は引き分けにする．
以下の問いに答えよ．
(1)さいころを投げたとき，$X,\ Y$に属する目が出る確率をそれぞれ$p,\ q$とする．$\mathrm{A}$君が勝つ確率を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$君が勝つ確率が，$\mathrm{B}$君が勝つ確率よりも大きくなるような集合の組$(X,\ Y)$は何通りあるか．
国立 富山大学 2013年 第2問$6$つの面にそれぞれ$0,\ 0,\ 1,\ -1,\ i,\ -i$と書かれたさいころがある．ここで$i$は虚数単位である．このさいころを$3$回投げ，$1$回目に出た目の値を$X_1$，$2$回目に出た目の値を$X_2$，$3$回目に出た目の値を$X_3$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)積$X_1X_2$が実数となる確率を求めよ．
(2)和$X_1+X_2$が実数となる確率を求めよ．
(3)積$X_1X_2X_3$が$0$となる確率を求めよ．
(1)積$X_1X_2$が実数となる確率を求めよ．
(2)和$X_1+X_2$が実数となる確率を求めよ．
(3)積$X_1X_2X_3$が$0$となる確率を求めよ．
国立 豊橋技術科学大学 2013年 第4問$3$個のサイコロを同時に投げるとき，以下の問いに答えよ．ただし，答えは既約分数で示せ．
(1)$3$個のサイコロの目の積が奇数となる確率を求めよ．
(2)$3$個のサイコロの目の積が偶数となる確率を求めよ．
(3)$3$個のサイコロの目の積が$3$の倍数となる確率を求めよ．
(4)$3$個のサイコロの目の積が$3$の倍数で，かつ，奇数となる確率を求めよ．
(5)$3$個のサイコロの目の積または和が$3$の倍数となる確率を求めよ．
(1)$3$個のサイコロの目の積が奇数となる確率を求めよ．
(2)$3$個のサイコロの目の積が偶数となる確率を求めよ．
(3)$3$個のサイコロの目の積が$3$の倍数となる確率を求めよ．
(4)$3$個のサイコロの目の積が$3$の倍数で，かつ，奇数となる確率を求めよ．
(5)$3$個のサイコロの目の積または和が$3$の倍数となる確率を求めよ．
国立 徳島大学 2013年 第6問さいころを$5$回投げ，出た$5$つの目を出た順に並べたものを目の出方とする．
(1)すべての目の出方は何通りあるか．
(2)$5$以上の目が$2$つ以上ある目の出方は何通りあるか．
(3)和が$10$以上となる$2$つの目を選ぶことができる目の出方は何通りあるか．
(1)すべての目の出方は何通りあるか．
(2)$5$以上の目が$2$つ以上ある目の出方は何通りあるか．
(3)和が$10$以上となる$2$つの目を選ぶことができる目の出方は何通りあるか．
国立 佐賀大学 2013年 第2問さいころを$4$回振って出た目を順に$a,\ b,\ c,\ d$とし，
\[ N=1000a+100b+10c+d,\quad M=1000d+100c+10b+a \]
と定める．このとき，次の問に答えよ．ただし，$n$の倍数は，$0,\ \pm n,\ \pm 2n,\ \cdots$であるとする．
(1)$N-M$は$9$の倍数であることを示せ．
(2)$N-M$が$18$の倍数となる確率を求めよ．
(3)$N-M$が$37$の倍数となる確率を求めよ．
\[ N=1000a+100b+10c+d,\quad M=1000d+100c+10b+a \]
と定める．このとき，次の問に答えよ．ただし，$n$の倍数は，$0,\ \pm n,\ \pm 2n,\ \cdots$であるとする．
(1)$N-M$は$9$の倍数であることを示せ．
(2)$N-M$が$18$の倍数となる確率を求めよ．
(3)$N-M$が$37$の倍数となる確率を求めよ．
国立 浜松医科大学 2013年 第3問さいころを$4$回投げて，$k$回目（$k=1,\ 2,\ 3,\ 4$）に出る目の数を$X_k$とする．$1$から$6$までの目は等確率で出るものとするとき，以下の問いに答えよ．
(1)$j,\ k \ (j<k)$は数の集合$\{1,\ 2,\ 3,\ 4\}$を動くものとする．$X_1,\ X_2,\ X_3,\ X_4$の中で，$X_j=X_k$となる組$\{j,\ k\}$が少なくとも$1$つ存在する事象を$A$，$X_j=X_k$となる組$\{j,\ k\}$がただ$1$つ存在する事象を$B$，同じ目がちょうど$3$つ出る事象を$C$とする．確率$P(A)$，$P(B)$，$P(C)$をそれぞれ求めよ．
(2)$A$が起こったときの和事象$B \cup C$の条件つき確率$P_A(B \cup C)$を求めよ．
(3)$X_1,\ X_2,\ X_3,\ X_4$の値を小さい順に並べ替えて，$X_{(1)} \leqq X_{(2)} \leqq X_{(3)} \leqq X_{(4)}$を定める．例えば，$X_1=3,\ X_2=2,\ X_3=6,\ X_4=2$の場合，$X_{(1)}=2,\ X_{(2)}=2,\ X_{(3)}=3,\ X_{(4)}=6$である．確率$P(X_{(1)}=4)$と$P(X_{(1)}=X_{(2)}=4)$をそれぞれ求めよ．
(1)$j,\ k \ (j<k)$は数の集合$\{1,\ 2,\ 3,\ 4\}$を動くものとする．$X_1,\ X_2,\ X_3,\ X_4$の中で，$X_j=X_k$となる組$\{j,\ k\}$が少なくとも$1$つ存在する事象を$A$，$X_j=X_k$となる組$\{j,\ k\}$がただ$1$つ存在する事象を$B$，同じ目がちょうど$3$つ出る事象を$C$とする．確率$P(A)$，$P(B)$，$P(C)$をそれぞれ求めよ．
(2)$A$が起こったときの和事象$B \cup C$の条件つき確率$P_A(B \cup C)$を求めよ．
(3)$X_1,\ X_2,\ X_3,\ X_4$の値を小さい順に並べ替えて，$X_{(1)} \leqq X_{(2)} \leqq X_{(3)} \leqq X_{(4)}$を定める．例えば，$X_1=3,\ X_2=2,\ X_3=6,\ X_4=2$の場合，$X_{(1)}=2,\ X_{(2)}=2,\ X_{(3)}=3,\ X_{(4)}=6$である．確率$P(X_{(1)}=4)$と$P(X_{(1)}=X_{(2)}=4)$をそれぞれ求めよ．